中考数学热点难点突破：第3.3讲动点型问题（解析版）

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1、 专题专题 03 动点型问题动点型问题 考纲要求考纲要求: 点动、线动、图形动构成的问题称为几何动态问题这类问题的特征是以几何图形为载体，运动变化为主 线，集多个知识点、多种解题思想于一题，它综合性强，能力要求高它的特点是：问题背景是特殊图形(或 函数图象)，把握好一般与特殊的关系；在分析过程中，要特别关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、 图形的特殊位置) 基础知识回顾基础知识回顾: 近几年来动点问题一直是中考的热点，主要考查探究运动中一些特殊图形(等腰三角形、直角三角形、平行 四边形、 梯形)的性质或面积的最大值 解题策略是： 把握运动规律， 寻找运动中的特殊位置， 在“动”中求“静”，

2、 在“静”中探索“动”的一般规律. 应用举例应用举例: 类型一、类型一、动点问题中的特殊图形 【例【例 1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx2 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，2），OB=4OA，tanBCO=2 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）点 M、N 分别是线段 BC、AB 上的动点，点 M 从点 B 出发以每秒个单位的速度向点 C 运动，同时 点 N 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度向点 B 运动， 当点 M、 N 中的一点到达终点时， 两点同时停止运动 过 点 M 作 MPx 轴于

3、点 E，交抛物线于点 P设点 M、点 N 的运动时间为 t（s），当 t 为多少时，PNE 是 等腰三角形？ 【答案】（1）A（1，0）；（2）y= x2 x2；（3）当 t=1 时，PNE 是等腰三角形 【解析】 （1）C（0，2），OC=2， 由 tanBCO=2 得 OB=4，则点 B（4，0）， OB=4OA，OA=1，则 A（1，0）； （2）将点 A（1，0）、B（4，0）代入 y=ax2+bx2， 得：， 解得：， 抛物线解析式为 y= x2 x2； （3）设点 M、点 N 的运动时间为 t（s），则 AN=2t、BM=t， PEx 轴，PEOC，BME=BCO， 则 tanBM

4、E=tanBCO，即=2，=，即 =， 则 BE=t，OE=OBBE=4t， PE= （4t）2 （4t）2= （4t）2+ （4t）+2， 点 N 在点 E 左侧时，即1+2t4t，解得 t ， 此时 NE=AO+OEAN=1+4t2t=53t， PNE 是等腰三角形，PE=NE， 即 （4t）2+ （4t）+2=53t， 整理，得：t211t+10=0， 解得：t=1 或 t=10 （舍）； 当点 N 在点 E 右侧时，即1+2t4t，解得 t ， 又且 2t5， t ， 此时 NE=ANAOOE=2t1（4t）=3t5， 由 PE=NE 得 （4t）2+ （4t）+2=3t5， 整理，得

5、：t2+t10=0， 解得：t=0，舍去；或 t= ，舍去； 综上，当 t=1 时，PNE 是等腰三角形 类型二、类型二、动点问题中的计算问题 【例【例 2】 如图， 点 A 在数轴上对应的数为 26， 以原点 O 为圆心， OA 为半径作优弧， 使点 B 在 O 右下方， 且 tanAOB= ，在优弧上任取一点 P，且能过 P 作直线 lOB 交数轴于点 Q，设 Q 在数轴上对应的数 为 x，连接 OP （1）若优弧上一段的长为 13，求AOP 的度数及 x 的值； （2）求 x 的最小值，并指出此时直线 l 与所在圆的位置关系； （3）若线段 PQ 的长为 12.5，直接写出这时 x 的值

6、 【答案】（1）POA=90 ，x= ；（2）当直线 PQ 与O 相切时时，此时 x 的值为32.5；（3）满足条件 的 x 的值为16.5 或 31.5 或31.5 【解析】【分析】（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题； （2）如图当直线 PQ 与O 相切时时，x 的值最小 （3）由于 P 是优弧上的任意一点，所以 P 点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题 【详解】（1）如图 1 中， 由=13，解得 n=90 ，POQ=90 ， PQOB，PQO=BOQ，tanPQO=tanQOB=， OQ= ，x= ； （2）如图当直线 PQ 与O 相切时时，x 的值最小 在 RtOPQ 中，O

7、Q=OP=32.5，此时 x 的值为32.5； （3）分三种情况： 如图 2 中，作 OHPQ 于 H，设 OH=4k，QH=3k 在 RtOPH 中，OP2=OH2+PH2， 262=（4k）2+（12.53k）2， 整理得：k23k20.79=0， 解得 k=6.3 或3.3（舍弃）， OQ=5k=31.5 此时 x 的值为 31.5 如图 3 中，作 OHPQ 交 PQ 的延长线于 H设 OH=4k，QH=3k 在 Rt在 RtOPH 中，OP2=OH2+PH2， 262=（4k）2+（12.5+3k）2， 整理得：k2+3k20.79=0， 解得 k=6.3（舍弃）或 3.3， OQ=

8、5k=16.5， 此时 x 的值为16.5 如图 4 中，作 OHPQ 于 H，设 OH=4k，AH=3k 在 RtOPH 中，OP2=OH2+PH2， 262=（4k）2+（12.53k）2， 整理得：k23k20.79=0， 解得 k=6.3 或3.3（舍弃）， OQ=5k=31.5 不合题意舍弃 此时 x 的值为31.5 综上所述，满足条件的 x 的值为16.5 或 31.5 或31.5 招数三、招数三、动点问题的函数图象问题 【例【例 3】如图，已知点 A 是直线 y=x 与反比例函数（k0，x0）的交点，B 是图象上的另一点， BCx 轴，交 y 轴于点 C动点 P 从坐标原点 O

9、出发，沿 OABC（图中“”所示路线）匀速运动， 终点为 C，过点 P 作 PMx 轴，PNy 轴，垂足分别为 M，N设四边形 OMPN 的面积为 S，P 点运动时 间为 t，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】试题解析：设点 P 的运动速度为 v，分三种情况讨论： 当点 P 在 OA 上时， 由于点 A 在直线 y=x 上， 所以四边形 OMPN 为正方形， 四边形 OMPN 的面积 S= （vt） 2，它的图象是抛物线的一部分； 当点 P 在反比例函数图象 AB 时，由反比例函数系数几何意义，四边形 OMPN 的面积 S=k，它的图象是 平行于 t

10、 轴的直线的一部分； 当点 P 在 BC 段时，设点 P 运动到点 C 的总路程为 a，则四边形 OMPN 的面积 S=OC（avt），由于 OC，a，v 都是定值，故它的图象是随 t 的增大而减小的直线的一部分 纵观各选项，只有 B 选项图形符合 故选 B 方法、规律归纳方法、规律归纳: 与线段有关的动态探究题，通常有以下几类： (1)要证明的线段在某一四边形中，考虑利用特殊四边形的性质，通过量的转换、等量代换进行求证； (2)如果所要证明的线段在某个三角形中，考虑利用等腰、直角三角形的性质进行求证； (3)如果所要证明的线段在两个三角形中，考虑通过三角形全等的判定及性质进行证明； (4)三

11、条线段的数量关系，可转化为两条线段进行探究 实战演练实战演练: 1. 如图，点 A（0，8），点 B（4，0），连接 AB，点 M，N 分别是 OA，AB 的中点，在射线 MN 上有一 动点 P若ABP 是直角三角形，则点 P 的坐标是_ 【答案】（ ，4）或（12，4） 【解析】试题解析：点 A（0，8），点 B（4，0）， OA=8，OB=4，AB=，点 M，N 分别是 OA，AB 的中点， AM=OM=4，MN=2，AN=BN=，分两种情况讨论： 当APB=90 时，AN=BN，PN=AN=，PM=MN+PN=， P（，4）； 当ABP=90 时，如图，过 P 作 PCx 轴于 C， 则

12、ABOBPC，=1，BP=AB=， PC=OB=4，BC=8，PM=OC=4+8=12，P（12，4） 故答案为：（ ，4）或（12，4） 2已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的距离与到 x 轴的距离始 终相等，如图，点 M 的坐标为（，3），P 是抛物线上一个动点，则PMF 周长的最小值是 （ ） A3 B4 C5 D6 【答案】C 【解析】解：过点 M 作 MEx 轴于点 E，交抛物线于点 P，此时PMF 周长最小值，F（0， 2） 、 M （， 3） ， ME=3， FM=2， PMF 周长的最小值=ME+FM=3+2=5 故 选 C 3问题探究：在边长为 4

13、 的正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O 探究 1：如图 1，若点 P 是对角线 BD 上任意一点，则线段 AP 的长的取值范围是_； 探究 2：如图 2，若点 P 是ABC 内任意一点，点 M、N 分别是 AB 边和对角线 AC 上的两个动点，则当 AP 的值在探究 1 中的取值范围内变化时，PMN 的周长是否存在最小值？如果存在，请求出PMN 周长 的最小值，若不存在，请说明理由； 问题解决：如图 3，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 是ABC 内任意一点，且 AP=4，点 M、N 分别 是 AB 边和对角线 AC 上的两个动点，则当PMN 的周长取到最小值时，

14、求四边形 AMPN 面积的最大值 【答案】（1）4（2）存在，2（3）168 【解析】（1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形，边长为 4， ACBD，AC=BD=4， 当 P 与 O 重合时，PA 的值最小最小值=2， 当 P 与 B 或 D 重合时，PA 的值最大，最大值为 4， 2PA4 故答案为 2PA4 （2）存在 理由：如图 2 中，作点 P 关于 AB、AC 的对称点 E、F，连接 EF 交 AB 于 M，交 AC 于 N，连接 AE、AF、 PA PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF， 点 P 位置确定时，此时PMN 的周长最小，最小值为线段 EF 的长， PAM=

15、EAM，PAN=FAN，BAC=45 ， EAF=2BAC=90 ， PA=PE=PF，EAF 是等腰直角三角形， PA 的最小值为，线段 EF 的最小值为 2， PMN 的周长的最小值为 2 （3）如图 3 中，在图 2 的基础上，以 A 为圆心 AB 为半径作A，PA 交 EF 于点 O 由题意点 P 在A 上， MAPMAE，NAPNAF， S四边形AMPN=SAEM+SANF=SAEFSAMN， PA=AE=AF=4， SEAF=8， AMN 的面积最小时，四边形 AMPN 的面积最大， 易知当 PAMN 时，AMN 的面积最小，此时 OA=2，OM=ON=OP=42， MN=84，

16、SAMN= （84）2=88， 四边形 AMPN 的面积的最大值=8（88）=168 4如图，ABC 为等边三角形，AB=2若 P 为ABC 内一动点，且满足PAB=ACP，则线段 PB 长度 的最小值为 【答案】 【解析】 5如图，在矩形 ABCO 中，AO=3，tanACB= ，以 O 为坐标原点，OC 为 轴，OA 为 轴建立平面直角 坐标系。设 D，E 分别是线段 AC，OC 上的动点，它们同时出发，点 D 以每秒 3 个单位的速度从点 A 向点 2 3 3 C 运动，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 向点 O 运动，设运动时间为 秒。 （1）求直线 AC 的解析式； （2）用

17、含 的代数式表示点 D 的坐标； （3）当 为何值时，ODE 为直角三角形？ （4）在什么条件下，以 RtODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于 轴的抛物线？并请选择一种情况， 求出所确定抛物线的解析式. 【答案】 （1）； （2）D（，）； （3），； （4） 【解析】 （1）根据题意，得 CO=AB=BCtanACB=4，则 A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）； 设直线 AC 的解析式为：y=kx+3，代入 C 点坐标，得： 4k+3=0，k=- ， 直线 AC：； （2）分别作 DFAO，DHCO，垂足分别为 F，H， 则有ADFDCHACO， AD：DC：AC=AF：DH：AO

18、=FD：HC：OC， 而 AD=（其中 0 ），OC=AB=4，AC=5，FD= AD=，AF= AD=， DH=，HC=， D（，）； （3）CE= ，E（ ，0），OE=OC-CE=4- ，HE=|CH-CE|=， 则 OD2=DH2+OH2=， DE2=DH2+HE2=， 当ODE 为 Rt时，有 OD2+DE2=OE2，或 OD2+OE2=DE2，或 DE2+OE2=OD2， 即， 或， 或， 上述三个方程在 0 内的所有实数解为 ，； （4）当 DOOE，及 DEOE 时，即和时， 以 RtODE 的三个顶点不确定对称轴平行于 轴的抛物线， 其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于

19、轴的抛物线 D（，），E（4- ，0）， 当时，D（， ），E（3，0），因为抛物线过 O（0，0）， 所以设所求抛物线为，将点 D，E 坐标代入，求得， 所求抛物线为. （当时，所求抛物线为）. 6如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE=1，P 是对角线 AC 上的一动点，连 接 PB、PE，当点 P 在 AC 上运动时，PBE 周长的最小值是 【答案】6 【解析】 7如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点，将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AEF，则 AC 的长的最小值是 【答

20、案】 【解析】 8. 已知，斜边，将绕点 顺时针旋转，如图 1，连 接 （1）填空： ； （2）如图 1，连接，作，垂足为 ，求的长度； （3）如图 2，点 ， 同时从点 出发，在边上运动， 沿路径匀速运动， 沿路 101 径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 的运动速度为 1.5 单位 秒，点 的运动速度为 1 单位 秒， 设运动时间为 秒，的面积为 ，求当 为何值时 取得最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）60；（2）；（3）x时，y 有最大值，最大值 【解析】 （1）由旋转性质可知：OBOC，BOC60 ， OBC 是等边三角形，OBC60 故答案为：60 （2）如图 1 中。 O

21、B4，ABO30 ，OAOB2，ABOA2， SAOCOAAB2 2 BOC 是等边三角形，OBC60 ，ABCABO+OBC90 ， AC，OP （3）当 0 x时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E 则 NEONsin60 x， SOMNOMNE1.5xx，yx2， x时，y 有最大值，最大值 当x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动 作 MHOB 于 H 则 BM81.5x，MHBMsin60（81.5x）， yON MHx2+2x 当 x时，y 取最大值，y， 当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动， 作

22、OGBC 于 GMN122.5x，OGAB2， yMNOG12x， 当 x4 时，y 有最大值，最大值2 综上所述：y 有最大值，最大值为 9.如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使 B 点落在边 AD 上的 E 处，折痕为 PQ， 过点 E 作 EFAB 交 PQ 于 F，连接 BF （1）求证：四边形 BFEP 为菱形； （2）当点 E 在 AD 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动； 当点 Q 与点 C 重合时（如图 2），求菱形 BFEP 的边长； 若限定 P、Q 分别在边 BA、BC 上移动，求出点 E 在边 AD 上移动的最大距离 【答案】

23、（1）证明见解析；（2）；2 【解析】 （1）证明：折叠纸片使 B 点落在边 AD 上的 E 处，折痕为 PQ，点 B 与点 E 关于 PQ 对称，PB=PE， BF=EF， BPF=EPF， 又EFAB， BPF=EFP， EPF=EFP， EP=EF， BP=BF=EF=EP， 四边形 BFEP 为菱形； （2）解：四边形 ABCD 是矩形，BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，A=D=90 ，点 B 与点 E 关于 PQ 对称，CE=BC=5cm，在 RtCDE 中，DE=4cm，AE=ADDE=5cm4cm=1cm； 在 RtAPE 中，AE=1，AP=3PB=3PE，EP2=12+

24、（3EP）2，解得：EP=cm，菱形 BFEP 的边长 为cm； 当点 Q 与点 C 重合时，如图 2： 点 E 离点 A 最近，由知，此时 AE=1cm； 当点 P 与点 A 重合时，如图 3 所示： 点 E 离点 A 最远，此时四边形 ABQE 为正方形，AE=AB=3cm，点 E 在边 AD 上移动的最大距离为 2cm 5 3 22 CECD 5 3 5 3 10如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4），抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）已知点 F（0，3），在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最

25、小，如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛物 线相交于点 M、N（点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧），当 MN 最大时，求PON 的面积 【答案】（1）yx2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2 【解析】 (1)设抛物线的表达式为：ya(x1)2+4， 把(0，3)代入得：3a(01)2+4， a1， 抛物线的表达式为：y(x1)2+4x2+2x+3； (2)存在，如图 1，作 E 关于对称轴的对称点 E，连接 EF 交对称轴于 G，此时 EG+FG

26、的值最小 E(0，3)，E(2，3)， 设 EF 的解析式为 y=kx+b， 把 F(0，3)，E(2，3)分别代入，得，解得， 所以 EF 的解析式为：y3x3， 当 x1 时，y3 130，G(1，0)； (3)如图 2 设 AB 的解析式为 y=kx+b， 把 A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得， 所以 AB 的解析式为：y2x+6， 过 N 作 NHx 轴于 H，交 AB 于 Q， 设 N(m，m2+2m+3)，则 Q(m，2m+6)，(1m3)， NQ(m2+2m+3)(2m+6)m2+4m3， ADNH，DABNQM， ADBQMN90 ，QMNADB， ， MN(m2)2 0， 当 m2 时，MN 有最大值； 过 N 作 NGy 轴于 G， GPNABD，NGPADB90 ，NGPADB， ，PGNGm， OPOGPGm2+2m+3mm2m+3， SPONOPGN(m2m+3)m， 当 m2 时，SPON2(4+3+3)2