2021年四川省德阳市绵竹市中考数学二诊试卷（含答案详解）

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1、2021 年四川省德阳市绵竹市中考数学二诊试卷年四川省德阳市绵竹市中考数学二诊试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每题小题，每题 4 分，满分分，满分 48 分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填 写）写） 1 （4 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （4 分）一个两位数，个位上是 a，十位上是 b，用代数式表示这个两位数（ ） Aab Bba C10a+b D10b+a 3 （4 分）计算（2x1） （5x+2）的结果是（ ） A10 x22 B10 x25x2 C10

2、x2+4x2 D10 x2x2 4 （4 分）有 10 位同学参加数学竞赛，成绩如表： 分数 75 80 85 90 人数 1 4 3 2 则上列数据中的中位数是（ ） A80 B82.5 C85 D87.5 5 （4 分）如果 m2+m30，那么的值是（ ） A2 B3 C4 D5 6 （4 分）我国古代数学著作孙子算经中有一道题： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈 绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是： “用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺，将绳子 对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？” ，设绳子长 x 尺，木条长 y 尺，根据题意所列方程组 正确的

3、是（ ） A B C D 7 （4 分）为了了解 2018 年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了 1000 人乘坐地 铁的月均花费 （单位： 元） ， 绘制了如下频数分布直方图， 根据图中信息， 下面 3 个推断中， 合理的是 （ ） 小明乘坐地铁的月均花费是75元， 那么在所调查的1000人中至少有一半以上的人月均花费超过小明； 估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 60120 元； 如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在 20%左右，那么乘坐 地铁的月均花费达到 120 元的人可享受折扣 A B C D 8 （4 分）实数 a，b，c

4、 在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（ ） Aa+c0 B Cb+a1 Dab0 9 （4 分）某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表： 砝码的 质量 x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位 置 y/cm 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 10（4 分） 如图， 矩形 ABCD 的顶点 A、 C 分别在直线 a、 b 上， 且 ab， 160， 则2 的度数为 （ ） A30 B45 C60 D75 1

5、1 （4 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55方向的 A 处，已知 PA6 海里，如果海轮沿正南方向 航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 AB 的长是（ ） A6 海里 B6cos55海里 C6sin55海里 D6tan55海里 12 （4 分）求二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x1，与 x 轴的交点为 （x1，0） 、 （x2，0） ，其中 0 x11，有下列结论： abc0；3x22；4a2b+c1；abam2+bm（m1） ；a；其中，正确的 结论有（ ） A5 B4 C3 D2 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 小题

6、，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，答案请填在答题卷相应位置上） 分，答案请填在答题卷相应位置上） 13 （4 分）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，若实数 c 满足 acbc，那么请你写出一个符合题意 的实数 c 的值：c 14 （4 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，如果，则ACD 的度数是 15（4 分） 中国人民银行近期下发通知， 决定自 2019 年 4 月 30 日停止兑换第四套人民币中菊花 1 角硬币 如 图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 16 （4 分）如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C（3，3） ，D（4，1

7、） ，以原点 O 为位似中心，在第一 象限内将线段 CD 扩大为原来的两倍，得到线段 AB，则线段 AB 的中点 E 的坐标为 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC8，AB6，经过点 B 和点 D 的两个动圆均与 AC 相切，且与 AB、 BC、AD、DC 分别交于点 G、H、E、F，则 EF+GH 的最小值是 18 （4 分）函数 yax2+bx+c 的三项系数分别为 a、b、c，则定义a，b，c为该函数的“特征数” 如：函 数 yx2+3x2 的“特征数”是1，3，2，函数 yx+4 的“特征数”是0，1，4如果将“特征 数”是2，0，4的函数图象向左平移 3 个单位，得到一个

8、新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表 达式是 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 7 小题，共小题，共 78 分分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 19 （7 分）计算：|12cos30|+（） 1（5）0 20 （8 分）如图，ABCD 中，CGAB 于点 G，ABF45，F 在 CD 上，BF 交 CG 于点 E，连接 AE， AEAD （1）若 BG1，BC，求 EF 的长度； （2）求证：ABBECF 21 （13 分）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中

9、国诗词大会” ，在相同的测试条件下，两人 5 次测试成 绩（单位：分）如下： 甲：79，86，82，85，83 乙：88，79，90，81，72 回答下列问题： （1）甲成绩的平均数是 ，乙成绩的平均数是 ； （2）经计算可知：S2甲6，S2乙42，你认为选谁参加竞赛比较合适，说明理由； （3） 如果从两个人 5 次的成绩中各随机抽取一次进行分析， 求抽到的两个人的成绩都大于 80 分的概率 22 （11 分）某县为落实“精准扶贫惠民政策” ，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队 单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的 1.5 倍如果由 甲、乙

10、队先合作施工 15 天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天 （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成则甲 乙两队合作完成该工程需要多少天？ 23 （12 分）矩形 AOBC 中，OB4，OA3分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如图 1 所示的 平面直角坐标系F 是 BC 边上一个动点（不与 B，C 重合） ，过点 F 的反比例函数 y（k0）的图象 与边 AC 交于点 E （1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标； （2）连接 EF，求EFC 的正切值； （3）如图 2，

11、将CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解析式 24 （13 分）如图，在ABC 中，ABAC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O 为圆心，OE 为半径 作半圆，交 AO 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若点 F 是 OA 的中点，OE3，求图中阴影部分的面积； （3）在（2）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP 的长 25 （14 分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，其对称轴与 x 轴相 交于点 M （1）求抛物线的解

12、析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由； （3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请求 出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年四川省德阳市绵竹市中考数学二诊试卷年四川省德阳市绵竹市中考数学二诊试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每题小题，每题 4 分，满分分，满分 48 分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填 写）写

13、） 1 （4 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误 故选：A 2 （4 分）一个两位数，个位上是 a，十位上是 b，用代数式表示这个两位数（ ） Aab Bba C10a+b D10b+a 【解答】解：个位上是 a，十位上是 b， 这个两位数是 10b+a 故选：D 3 （4 分）计算（2x1） （5x+2）的结果是（ ） A10 x22 B1

14、0 x25x2 C10 x2+4x2 D10 x2x2 【解答】解：原式10 x2+4x5x210 x2x2 故选：D 4 （4 分）有 10 位同学参加数学竞赛，成绩如表： 分数 75 80 85 90 人数 1 4 3 2 则上列数据中的中位数是（ ） A80 B82.5 C85 D87.5 【解答】解：共 10 人，排序后位于中间两个的分数为 80 和 85， 故中位数为82.5 分， 故选：B 5 （4 分）如果 m2+m30，那么的值是（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：原式 m（m+1） m2+m， 当 m2+m30，即 m2+m3 时， 原式3 故选：B 6 （4 分）我

15、国古代数学著作孙子算经中有一道题： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈 绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是： “用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺，将绳子 对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？” ，设绳子长 x 尺，木条长 y 尺，根据题意所列方程组 正确的是（ ） A B C D 【解答】解：设绳子长 x 尺，木条长 y 尺，依题意有 故选：B 7 （4 分）为了了解 2018 年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了 1000 人乘坐地 铁的月均花费 （单位： 元） ， 绘制了如下频数分布直方图， 根据图中信息， 下面 3 个推断中

16、， 合理的是 （ ） 小明乘坐地铁的月均花费是75元， 那么在所调查的1000人中至少有一半以上的人月均花费超过小明； 估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 60120 元； 如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在 20%左右，那么乘坐 地铁的月均花费达到 120 元的人可享受折扣 A B C D 【解答】解：200+100+80+50+25+25+15+5500 人，而 7580 元的人数不能确定， 所调查的 1000 人中一定有一半或超过一半的人月均花费超过小明，此结论错误； 根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在 60120 之间，估计平均每人乘

17、坐地铁的月均花 费的范围是 60120；所以估计平均每人乘坐地铁月均花费不低于 60 元，此结论正确； 100020%200，而 80+50+25+25+15+5200， 乘坐地铁的月均花费达到 120 元的人可享受折扣， 乘坐地铁的月均花费达到 120 元的人可享受折扣，此结论正确； 综上，正确的结论为， 故选：C 8 （4 分）实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（ ） Aa+c0 B Cb+a1 Dab0 【解答】解：由数轴知 acb，因此不能判断 a+c0，b+a1，故 A，B，C 错误； 而由得， 由于 ba0， 故 ab0， 因此 D 正确，

18、 故选：D 9 （4 分）某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表： 砝码的 质量 x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位 置 y/cm 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解： 由表格得点（0，2） ， （250，7） ， 设直线的解析式为 ykx+b 得，解得 即直线的解析式为：， 将点（200，7.5） ， （275，7.5） ， （300，7.5） ， （350，7.5）分别代入得， 仅点（275，7.5）满足上述

19、解析式 故选：B 10（4 分） 如图， 矩形 ABCD 的顶点 A、 C 分别在直线 a、 b 上， 且 ab， 160， 则2 的度数为 （ ） A30 B45 C60 D75 【解答】解：过点 D 作 DEa， 四边形 ABCD 是矩形， BADADC90， 3901906030， ab， DEab， 4330，25， 2903060 故选：C 11 （4 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55方向的 A 处，已知 PA6 海里，如果海轮沿正南方向 航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 AB 的长是（ ） A6 海里 B6cos55海里 C6sin55海里 D6tan55海里

20、【解答】解：如图所示： 由题意可知NPA55，PA6 海里，ABP90 ABNP， ANPA55 在 RtABP 中，ABP90，A55，PA6 海里， ABAPcosA6cos55海里 故选：B 12 （4 分）求二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x1，与 x 轴的交点为 （x1，0） 、 （x2，0） ，其中 0 x11，有下列结论： abc0；3x22；4a2b+c1；abam2+bm（m1） ；a；其中，正确的 结论有（ ） A5 B4 C3 D2 【解答】解：对称轴在 y 轴左侧，则 ab 同号，c0，故 abc0，故错误； 对称轴为直线 x1，0

21、x11，则3x22，正确； 对称轴为直线 x1，则 b2a，4a2b+cc1，故正确； x1 时，yax2+bx+cab+c，为最小值，故 ab+cam2+bm+c，故错误； x1 时，ya+b+c3a+c0，即 3ac，而 c1，故 a，正确； 故选：C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，答案请填在答题卷相应位置上） 分，答案请填在答题卷相应位置上） 13 （4 分）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，若实数 c 满足 acbc，那么请你写出一个符合题意 的实数 c 的值：c 1 【解答】解：由数轴可知 ab，

22、 而实数 c 满足 acbc， c0，于是答案不唯一 故答案为1 14 （4 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，如果，则ACD 的度数是 60 【解答】解：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E， ， ， ， 即、的度数是120， ACD60， 故答案为：60 15（4 分） 中国人民银行近期下发通知， 决定自 2019 年 4 月 30 日停止兑换第四套人民币中菊花 1 角硬币 如 图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 40 【解答】解：正多边形的外角和是 360， 360940 故答案为：40 16 （4 分）如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C（

23、3，3） ，D（4，1） ，以原点 O 为位似中心，在第一 象限内将线段 CD 扩大为原来的两倍，得到线段 AB，则线段 AB 的中点 E 的坐标为 （7，4） 【解答】解：C（3，3） ，D（4，1） ，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 CD 扩大为原来的两 倍， A（6，6） ，B（8，2） ， E 是 AB 中点， E（7，4） ， 故答案为： （7，4） 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC8，AB6，经过点 B 和点 D 的两个动圆均与 AC 相切，且与 AB、 BC、AD、DC 分别交于点 G、H、E、F，则 EF+GH 的最小值是 9.6 【解答】解：如图，

24、设 GH 的中点为 O，过 O 点作 OMAC，过 B 点作 BNAC，垂足分别为 M、N， 在 RtABC 中，BC8，AB6， AC10， 由面积法可知，BNACABBC， 解得 BN4.8， ABC90， 点 O 为过 B 点的圆的圆心，OM 为O 的半径，BO+OM 为直径， 又BO+OMBN， 当 BN 为直径时，直径的值最小， 此时，直径 GHBN4.8， 同理可得：EF 的最小值为 4.8， 故 EF+GH 的最小值是 9.6 故答案为：9.6 18 （4 分）函数 yax2+bx+c 的三项系数分别为 a、b、c，则定义a，b，c为该函数的“特征数” 如：函 数 yx2+3x2

25、 的“特征数”是1，3，2，函数 yx+4 的“特征数”是0，1，4如果将“特征 数”是2，0，4的函数图象向左平移 3 个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表 达式是 y2（x+3）2+4 【解答】解：“特征数”是2，0，4， 函数解析式为 y2x2+4， 函数的顶点坐标为（0，4） ， 函数图象向左平移 3 个单位， 得到的新的函数图象的顶点坐标为（3，4） ， 函数表达式为 y2（x+3）2+4 故答案为：y2（x+3）2+4 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 7 小题，共小题，共 78 分分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、请在答题卷

26、指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 19 （7 分）计算：|12cos30|+（） 1（5）0 【解答】解：原式21+2（2）1 1+2+21 3 20 （8 分）如图，ABCD 中，CGAB 于点 G，ABF45，F 在 CD 上，BF 交 CG 于点 E，连接 AE， AEAD （1）若 BG1，BC，求 EF 的长度； （2）求证：ABBECF 【解答】解： （1）CGAB，BG1， ABF45， BGE 是等腰直角三角形， EGBG1， ECCGEG312， 在平行四边形 ABCD 中，ABCD，ABF45，CGAB， CFEABF4

27、5，FCEBGE90， ECF 是等腰直角三角形， EF2； （2）证明：过 E 作 EHBE 交 AB 于 H， ABF45，BEH90， BEH 是等腰直角三角形， ，BEHE， BHE45， AHE180BHE18045135， 由（1）知，BGE 和ECF 都是等腰直角三角形， BEG45，CECF， BEC180BEG18045135， AHECEB， AEAD， DAE90， BADDAE+EAB90+EAB， 由（1）知，FCE90， BCDFCE+BCG90+BCG， 在平行四边形 ABCD 中，BADBCD， 90+EAB90+BCG， EABBCG， 即EAHBCE， 在E

28、AH 和BCE 中， EAHBCE（AAS） ， AHCECF， ABBEABBHAHCF， 即 ABBECF 21 （13 分）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中国诗词大会” ，在相同的测试条件下，两人 5 次测试成 绩（单位：分）如下： 甲：79，86，82，85，83 乙：88，79，90，81，72 回答下列问题： （1）甲成绩的平均数是 83 ，乙成绩的平均数是 82 ； （2）经计算可知：S2甲6，S2乙42，你认为选谁参加竞赛比较合适，说明理由； （3） 如果从两个人 5 次的成绩中各随机抽取一次进行分析， 求抽到的两个人的成绩都大于 80 分的概率 【解答】解： （1）甲成绩的

29、平均数为：（79+86+82+85+83）83， 乙成绩的平均数为（88+79+90+81+72）82， 故答案为：83，82； （2）选甲参加竞赛更合适，理由如下： 因为甲的平均成绩大于乙的平均成绩，且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定， 因此选甲参加竞赛更合适； （3）画树状图如图： 共有 25 种等可能的结果，抽到的两个人的成绩都大于 80 分的结果有 12 种， 抽到的两个人的成绩都大于 80 分的概率为 22 （11 分）某县为落实“精准扶贫惠民政策” ，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队 单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数

30、的 1.5 倍如果由 甲、乙队先合作施工 15 天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天 （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成则甲 乙两队合作完成该工程需要多少天？ 【解答】解： （1）设这项工程的规定时间是 x 天，则甲队单独施工需要 x 天完工，乙队单独施工需要 1.5x 天完工， 依题意，得：+1， 解得：x30， 经检验，x30 是原方程的解，且符合题意 答：这项工程的规定时间是 30 天 （2）由（1）可知：甲队单独施工需要 30 天完工，乙队单独施工需要 45 天完工， 1（+）18（天） 答

31、：甲乙两队合作完成该工程需要 18 天 23 （12 分）矩形 AOBC 中，OB4，OA3分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如图 1 所示的 平面直角坐标系F 是 BC 边上一个动点（不与 B，C 重合） ，过点 F 的反比例函数 y（k0）的图象 与边 AC 交于点 E （1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标； （2）连接 EF，求EFC 的正切值； （3）如图 2，将CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解析式 【解答】解： （1）OA3，OB4， B（4，0） ，C（4，3） ， F 是 BC 的中点，

32、 F（4，） ， F 在反比例函数 y的图象上， k46， 反比例函数的解析式为 y， E 点的纵坐标为 3， E（2，3） ； （2）F 点的横坐标为 4， F（4，） ， CFBCBF3 E 的纵坐标为 3， E（，3） ， CEACAE4， 在 RtCEF 中，tanEFC， （3）如图，由（2）知，CF，CE， 过点 E 作 EHOB 于 H， EHOA3，EHGGBF90， EGH+HEG90， 由折叠知，EGCE，FGCF，EGFC90， EGH+BGF90， HEGBGF， EHGGBF90， EHGGBF， ， ， BG， 在 RtFBG 中，FG2BF2BG2， （）2（）2

33、， k， 反比例函数解析式为 y 24 （13 分）如图，在ABC 中，ABAC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O 为圆心，OE 为半径 作半圆，交 AO 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若点 F 是 OA 的中点，OE3，求图中阴影部分的面积； （3）在（2）的条件下，点 P 是 BC 边上的动点，当 PE+PF 取最小值时，直接写出 BP 的长 【解答】 （1）证明：作 OHAC 于 H，如图， ABAC，AOBC 于点 O， AO 平分BAC， OEAB，OHAC， OHOE， AC 是O 的切线； （2）解：点 F 是 AO 的中点， AO2OF6，

34、而 OE3， OAE30，AOE60， AEOE3， 图中阴影部分的面积SAOES扇形EOF33； （3）解：作 F 点关于 BC 的对称点 F，连接 EF交 BC 于 P，如图， PFPF， PE+PFPE+PFEF，此时 EP+FP 最小， OFOFOE， FOEF， 而AOEF+OEF60， F30， FEAF， EFEA3， 即 PE+PF 最小值为 3， 在 RtOPF中，OPOF， 在 RtABO 中，OBOA62， BP2， 即当 PE+PF 取最小值时，BP 的长为 25 （14 分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，其对称轴与

35、 x 轴相 交于点 M （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由； （3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请求 出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 ya（x1） （x5） ， 把点 A（0，4）代入上式得：a， y（x1） （x5）x2x+4（x3）2， 抛物线的对称轴是：直线 x3； （2）P 点坐标为（3，） 理由如下： 点 A（0，4） ，抛物线的对称轴是直线 x

36、3， 点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为（6，4） 如图 1，连接 BA交对称轴于点 P，连接 AP，此时PAB 的周长最小 设直线 BA的解析式为 ykx+b， 把 A（6，4） ，B（1，0）代入得， 解得， yx， 点 P 的横坐标为 3， y3， P（3，） （3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使NAC 面积最大 设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（t，t2t+4） （0t5） ， 如图 2，过点 N 作 NGy 轴交 AC 于 G；作 ADNG 于 D， 由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直线 AC 的解析式为：yx+4， 把 xt 代入得：yt+4，则 G（t，t+4） ， 此时：NGt+4（t2t+4）t2+4t， AD+CFCO5， SACNSANG+SCGNADNG+NGCFNGOC（t2+4t）52t2+10t2（t ）2+， 当 t时，CAN 面积的最大值为， 由 t，得：yt2t+43， N（，3）