2021年中考数学微专题讲义专题9.16分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题

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1、分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题分类例析二次函数与三角形相关联的综合问题 【专题综述】 我们常会遇到一类二次函数与三角形相关联的综合问题.解决这类问题需要用到数形结合思想，把数与形结 合起来，互相渗透.此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定和 性质，直角三角形、等腰三角形的判定.要注意的是，当相似三角形的对应边和对应角不明确，或者三角形 的顶点不确定时，要分类讨论，以免漏解.本文通过梳理知识点，理清解题思路，从以下几个方面来分类例 说这类问题的解题方法. 【方法解读】 一、与三角形的形状相关联 例 1 如图 1，已知直线 1 1 2 yx与y轴交于点

2、A，与x轴交于点D,抛物线 2 1 2 yxbxc与直线交 于,(4,)A Em两点，与x轴交于,B C两点，且B点坐标为(1 ,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)设动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标. 分析 (1)先确定直线与y轴交点A的坐标.用待定系数法将(0,1),(1,0)AB坐标代入 2 1 2 yxbxc，通 过解方程组得出抛物线的解折式为 2 13 1 22 yxx. (2)将点(4,)Em代入直线 1 1 2 yx可得E的坐标为(4,3)，再得D点坐标为(-2,0).因直角顶点不确定，可 分为以下几类讨论. 当A为直角顶点时，过点A作 1 APDE

3、交x轴于 1 P点.设 1( ,0) P a，利用相似三角形的知识，证明 1 Rt AODRt POA:，得 1 DOOA OAOP ,即 1 1 2111 ,( ,0) 122 aP OP ，. 同理，当E为直角顶点时， 2 P点坐标为 11 (,0) 2 . 当P为 直 角 顶 点 时 ， 过 点E作EFx轴 于F. 设 3( ,0) P b， 由 33 90OPAFPE， 得 33 OP AFEP，可证 33 Rt AOPRt PFE:，得 3 3 1 43 OPAOb PFEFb ，解得 12 3,1bb. 此时的点 3 P的坐标为(1 ,0)或(3,0).所以满足条件的点P的坐标为

4、1 ( ,0) 2 或(1,0)，或(3,0)，或 11 (,0) 2 . 小结解题时要仔细观察几何图形，作辅助线，通过三角形相似求出线段的长度，再确定点的坐标. 二、与三角形的面积相关联 例 2 如图 2，己知抛物线 2 yxbxc与x轴交于点A(1,0)和点B、与y轴交于点 C(0,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)如图 3，己知点H(0,-1)，在抛物线上是否存在点G(点G在y轴的左侧).使得 GHCGHA SS ?若存在， 求出点G的坐标;若不存在，请说明理由. 分析 (1)利用待定系数法得出抛物线表达式为 2 23yxx (过程略). (2)假设存在点G，使得 GHCGHA

5、SS ,GHC和GHA有一公共边GH,如果以GH 为底，对应的高相等，根据G点所处位置，分两种情况讨论: 如图 2，当点,A C在GH的同侧，/ACGH时， GHCGHA SS .根据A(1,0)、C(0，-3)得出直线AC的 表达式为33yx，再根据H(0,-1)得出直线GH的表达式为31yx.解方程组 2 31 23 yx yxx , 得出 1 4 x y 或 2 5 x y (舍) 于是G(-1,-4). 如图 3，当点,A C在GH的异侧、线段AC的中点在GH上时， GHCGHA SS , A(1,0)、C(0,-3)，得 到线段AC的中点P为 13 ( ,) 22 . 又因H(0,-

6、1)，此时直线GH的表达式为1yx .解方程组来源:Zxxk.Com 2 1 23 yx yxx , 得出 317 2 117 2 x y 或 317 2 117 2 x y (舍) 于是 317 117 (,) 22 G . 综上知存在两点( 1, 4)G 或 317 117 (,) 22 G . 小结要使等底的两个三角形面积相等，可巧妙利用平行线的性质和三角形中线的性质来确定动点的位置. 三、与三角形相似相关联， 例 3 如图 4，已知抛物线与x轴交于A(-1 ,0) , E(3,0)两点，与y轴交于点B(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线顶点为,DAOB与DBE是否相似

7、?如果相似，请给出证明;如果不相似，请说明理由. 分析 (1)由A(-1 ,0) , E(3,0)和B(0,3)，根据待定系数法，可得抛物线解析式为 2 23yxx . (2)假设相似，由顶点坐标公式得顶点D坐标为(1,4)，分别求出线段,BD BE DE的长度. 2222 112BDBGDG; 2222 333 2BEBOOE; 2222 242 5DEDFEF. 故有 222 20,20BDBEDE, 即 222 BDBEDE，所以BDE是直角三角形，得到90AOBDBE. 又 AOBO BDBE Q 2 = 2 ,AOBDBE:. 小结 本题利用两点坐标求线段的长度，再依据勾股定理的逆定

8、理判定直角三角形，然后根据两边对应成 比例且夹角相等，证明两三角形相似. 【强化训练】 1.（2017 辽宁省辽阳市）如图，抛物线与 y 轴交于点 C，点 D 的坐标为（0，1），在第 四象限抛物线上有一点 P，若PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，则点 P 的横坐标为（ ） A B C D或 【答案】A 【解析】 考点：1二次函数图象上点的坐标特征；2等腰三角形的性质 2.（2017 山东省莱芜市）二次函数（a0）图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为3， 1，与 y 轴交于点 C，下面四个结论： 2 23yxx 12122 11212 2 yaxbxc 16a4b+c0；若 P（

9、5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则 y1y2；a=c；若ABC 是等腰三角形，则 b=其中正确的有 （请将结论正确的序号全部填上） 【答案】 【解析】 要使ACB 为等腰三角形，则必须保证 AB=BC=4 或 AB=AC=4 或 AC=BC，先计算c 的值，再联立方程组 可得结论 试题解析：a0，抛物线开口向下，图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为3，1，当 x=4 时，y0，即 16a4b+c0； 故正确； 图象与 x 轴的交点 A、 B 的横坐标分别为3， 1， 抛物线的对称轴是： x=1， P （5， y1） ， Q （， y2），1（5）=4，（1）=3.5，由对称

10、性得：（4.5，y3）与 Q（，y2）是对称点，则 y1 y2； 故不正确； =1，b=2a，当 x=1 时，y=0，即 a+b+c=0，3a+c=0，a=c； 要使ACB 为等腰三角形， 则必须保证 AB=BC=4 或 AB=AC=4 或 AC=BC， 当 AB=BC=4 时， AO=1， BOC 为直角三角形， 又OC 的长即为|c|， c2=169=7， 由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c=， 与 b=2a、a+b+c=0 联立组成解方程组，解得 b=； 同理当 AB=AC=4 时，AO=1，AOC 为直角三角形，又OC 的长即为|c|，c2=161=15，由抛物线与 y

11、 轴的交点在 y轴的正半轴上，c=，与 b=2a、a+b+c=0 联立组成解方程组，解得 b=； 同理当 AC=BC 时，在AOC 中，AC2=1+c2，在BOC 中 BC2=c2+9，AC=BC，1+c2=c2+9，此方程无实 5 2 1 3 2 7 3 5 2 5 2 5 2 2 b a 1 3 7 2 7 3 15 2 15 3 数解 经解方程组可知有两个 b 值满足条件 故错误 综上所述，正确的结论是 故答案为： 考点：1二次函数图象与系数的关系；2抛物线与 x 轴的交点；3等腰三角形的性质；4综合题 3.如图，二次函数 2 yaxbxc（a0）图象的顶点为 D，其图象与 x 轴的交点

12、 A、B 的横坐标分别为 1 和 3，则下列结论正确的是（ ） A2ab=0 Ba+b+c0 C3ac=0 D当 a= 1 2 时，ABD 是等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 当 a= 1 2 ， 则 b=1， c= 3 2 ， 对称轴 x=1 与 x 轴的交点为 E， 如图， 抛物线的解析式为 2 13 22 yxx， 把 x=1 代入得 y= 13 1 22 =2，D 点坐标为（1，2），AE=2，BE=2，DE=2，ADE 和BDE 都 为等腰直角三角形，ADB 为等腰直角三角形，选项 D 正确 故选 D 考点：二次函数图象与系数的关系 4.已知直线与坐标轴分别交于点 A，B，点 P

13、 在抛物线上，能使ABP 为等腰三角形的点 P 的个数有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【答案】A 【解析】 试题分析：以点 B 为圆心线段 AB 长为半径做圆，交抛物线于点 C、M、N 点，连接 AC、BC，如图所示 ABP 为等腰三角形分三种情况： 当 AB=BP 时，以 B 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于 C、M、N 三点； 当 AB=AP 时，以 A 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于 C、M 两点，； 当 AP=BP 时，作线段 AB 的垂直平分线，交抛物线交于 C、M 两点； 33yx 2 1 (3)4 3 yx 能使ABP 为等腰三角形的点

14、 P 的个数有 3 个 故选 A 考点：1二次函数图象上点的坐标特征；2一次函数图象上点的坐标特征；3等腰三角形的判定；4分 类讨论 5. 如图，抛物线与 y 轴交于点 C，点 D（0，1），点 P 是抛物线上的动点若PCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点 P 的坐标为 【答案】（，2）或（，2） 【解析】 试题分析： 考点：1二次函数图象上点的坐标特征；2等腰三角形的判定；3动点型 6. 如图 1， 抛物线与 x 轴交于点 A （m2， 0） 和 B （2m+3， 0） （点 A 在点 B 的左侧） ， 与y 轴交于点 C，连结 BC （1）求 m、n 的值； （2）如图 2，点 N 为

15、抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN、BN求NBC 面积的最大值； （3）如图 3，点 M、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM、PC，是否存在这样的点 P，使PCM 为等腰三角形，PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2 23yxx 1212 2 3( 2) 5 yxn 【答案】（1）m=1，n=9；（2）；（3）P（，0）或（，0） 【解析】 （2）作 NDy 轴交 BC 于 D，如图 2，抛物线解析式为 =，当 x=0 时，y=3，则 C（0，3），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（5，0），C（

16、0，3）代入得， 解得：， 直线 BC 的解析式为， 设 N （x，） ， 则 D （x，） ， ND=， S NBC =SNDC+SNDB=5ND= ，当 x=时，NBC 面积最大，最大值为； （3）存在 B（5，0），C（0，3），BC=；分两种情况讨论： 当PMB=90 ，则PMC=90 ，PMC 为等腰直角三角形，MP=MC，设 PM=t，则 CM=t，MB=t， MBP=OBC，BMPBOC，即，解得 t=， 75 8 3 349 5 3 4 2 3( 2)9 5 yx 2 312 3 55 xx 50 3 kb b 3 5 3 k b 3 3 5 yx 2 312 3 55 xx

17、3 3 5 x 2 3123 3(3) 555 xxx 2 3 3 5 xx 1 2 2 315 22 xx 2 575 () 28 x 5 2 75 8 22 3534 34 PMBMBP OCOBBC 34 3534 ttBP 3 34 8 BP=，OP=OBBP=5=，此时 P 点坐标为（，0）； 当MPB=90 ，则 MP=MC，设 PM=t，则 CM=t，MB=t，MBP=CBO，BMPBCO， ，即，解得 t=，BP=，OP=OBBP=5 =，此时 P 点坐标为（，0）； 综上所述，P 点坐标为（，0）或（，0） 考点：1二次函数综合题；2动点型；3存在型；4探究型；5最值问题；6

18、二次函数的最值；7分 类讨论；8压轴题 7. （2017 辽宁省盘锦市） 如图， 直线 y=2x+4 交 y 轴于点 A， 交抛物线 于点 B （3， 2） ， 抛物线经过点 C（1，0），交 y 轴于点 D，点 P 是抛物线上的动点，作 PEDB 交 DB 所在直线于点 E （1）求抛物线的解析式； （2）当PDE 为等腰直角三角形时，求出 PE 的长及 P 点坐标； （3）在（2）的条件下，连接 PB，将PBE 沿直线 AB 翻折，直接写出翻折点后 E 的对称点坐标 17 4 17 4 3 4 3 4 34 PMBMBP OCCBBO 34 3534 ttBP 1029 34 25 343

19、 34 5 343 34 5 3 349 5 3 349 5 3 349 5 3 4 2 1 2 yxbxc 【答案】 （1）； （2）PE=5 或 2，P（2，3）或（5，3）； （3）E 的对称点坐标为（， ）或（3.6，1.2） 【解析】 （3）当 P 点在直线 BD 的上方时，如图 1，设点 E 关于直线 AB 的对称点为 E，过 E作 EHDE 于 H， 求得直线 EE的解析式为，设 E（m，），根据勾股定理即可得到结论；当 P 点在直 线 BD 的下方时，如图 2，设点 E 关于直线 AB 的对称点为 E，过 E作 EHDE 于 H，得到直线 EE的解析 式为，设 E（m，），根据

20、勾股定理即可得到结论 试题解析： （1） 把 B （3， 2） ， C （1， 0） 代入得：， ， 抛物线的解析式为； （2）设 P（m，），在中，当 x=0 时，y=2，D（0，2），B（3， 2） ， BDx 轴， PEBD， E （m， 2） ， DE=m， PE=， 或 PE=， PDE 为等腰直角三角形，且PED=90 ，DE=PE，m=，或 m=，解得： m=5，m=2，m=0（不合题意，舍去），PE=5 或 2，P（2，3）或（5，3）； （3）当 P 点在直线 BD 的上方时，如图 1，设点 E 关于直线 AB 的对称点为 E，过 E作 EHDE 于 H， 2 13 2 22

21、 yxx 9 5 18 5 19 22 yx 19 22 m 1 3 2 yx 1 3 2 m 2 1 2 yxbxc 1 932 2 1 0 2 bc bc 3 2 2 b c 2 13 2 22 yxx 2 13 2 22 mm 2 13 2 22 yxx 2 13 22 22 mm 2 13 22 22 mm 2 13 22 mm 2 13 22 mm 由 （2） 知， 此时， E （5， 2） ， DE=5， BE=BE=2， EEAB， 设直线 EE的解析式为 ， 2= 5+b， b=， 直线 EE的解析式为， 设 E （m，） ， EH=2 =，BH=3m，EH2+BH2=BE2，

22、（）2+（3m）2=4，m=，m=5（舍去），E （，）； 当 P 点在直线 BD 的下方时， 如图 2， 设点 E 关于直线 AB 的对称点为 E， 过 E作 EHDE 于 H， 由 （2） 知，此时，E（2，2），DE=2，BE=BE=1，EEAB，设直线 EE的解析式为， 2= 2+b， b=3， 直线 EE的解析式为， 设 E （m，） ， EH=， BH=m3，EH2+BH2=BE2，（） 2+（m3）2=1，m=3.6，m=2（舍去），E（3.6，1.2） 综上所述，E 的对称点坐标为（，）或（3.6，1.2） 考点：1二次函数综合题；2动点型；3翻折变换（折叠问题）；4分类讨论；

23、5压轴题 8.（2017 四川省雅安市）如图，已知抛物线的图象经过点 A（l，0），B（-3，0），与 y 轴 交于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD （1）求抛物线的解析式 （2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标 （3）在（2）的条件下，作 PFx 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一 动点，当以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M 的坐标 1 2 yxb 1 2 9 2 19 22 yx 19 22 m 19 22 m 51 22 m 51 22 m 9 5

24、 9 5 18 5 1 2 yxb 1 2 1 3 2 yx 1 3 2 m 1 32 2 m 1 1 2 m 1 1 2 m 9 5 18 5 2 yxbxc 【答案】 （1）； （2）P（2，2）； （3）点 M 的坐标为（，0）， （， 0），（，0），（，0） 【解析】 （3）设出点 D 的坐标，进而得出点 G，N 的坐标，利用 FM=MG 建立方程求解即可得出结论 试题解析：（1）抛物线的图象经过点 A（1，0），B（3，0）， ，抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为，C（0，3），抛物线的顶点 D（1，4）， E（1，0），设直线 BD 的解析式为 y=mx+n，

25、直线 BD 的解析式为 y= 2x6，设点 P（a，2a6），C（0，3），E（1，0），根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（ 2a6）2，PC2=a2+（2a6+3）2，PC=PE，（a+1）2+（2a6）2=a2+（2a6+3）2，a=2， y=2 （2）6=2，P（2，2）； （3）如图，作 PFx 轴于 F，F（2，0），设 D（d，0），G（d，d2+2d3），N（2，d2+2d3）， 以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有 FM=MG，|d+2|=|d2+2d3|，d=或 2 23yxx 121 2 121 2 313 2 313 2 2 yxbxc 10 93

26、0 bc bc 2 3 b c 2 23yxx 2 23yxx 30 4 mn mn 2 6 m n 121 2 d=，点 M 的坐标为（，0），（，0），（，0），（， 0） 考点：1二次函数综合题；2动点型；3压轴题 9.（2017 四川省眉山市）如图，抛物线 2 2yaxbx与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 A （3，0），且 M（1， 8 3 ）是抛物线上另一点 （1）求 a、b 的值； （2）连结 AC， 设点 P 是 y 轴上任一点，若以 P、A、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 P 点的坐标； （3）若点 N 是 x 轴正半轴上且在抛物线内的一动

27、点（不与 O、A 重合），过点 N 作 NHAC 交抛物线的对 称轴于 H 点设 ON=t，ONH 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式 【答案】（1） 2 3 4 3 a b ；（2）P 点的坐标1（0，2）或（0，132）或（0， 5 4 ）或（0，132）； （3） 2 2 11 (01) 33 11 (13) 33 ttt S ttt 313 2 121 2 121 2 313 2 313 2 【解析】 （3）过 H 作 HGOA 于 G，设 HN 交 Y 轴于 M，根据平行线分线段成比例定理得到 OM= 2 3 t ，求得抛物线 的对称轴为直线x= 1 5 5 2 3 =

28、13 10 ， 得到OG= 13 10 ， 求得GN=t 13 10 ， 根据相似三角形的性质得到HG= 213 315 t ， 于是得到结论 试题解析： （1） 把 A （3， 0） ， 且 M （1， 8 3 ） 代入 2 2yaxbx得： 9320 8 2 3 ab ab ， 解得： 2 3 4 3 a b ； （2） 在 2 2ya xb x中， 当 x=0 时 y=2， C （0， 2） ， OC=2， 如图， 设 P （0， m） ， 则 PC=m+2， OA=3，AC= 22 23=13，分三种情况： 当 PA=CA 时，则 OP1=OC=2，P1（0，2）； 当 PC=CA=1

29、3时，即 m+2=13，m=132，P2（0，132）； 当 PC=PA 时，点 P 在 AC 的垂直平分线上，则AOCP3EC， 3 132 13 2 PC ，P3C=13 4 ，m= 5 4 ， P3（0， 5 4 ），当 PC=CA=13时，m=213，P4（0，213），综上所述，P 点的坐标1 （0，2）或（0，132）或（0， 5 4 ）或（0，132）； （3）过 H 作 HGOA 于 G，设 HN 交 Y 轴于 M，NHAC， OMON OCOA ， 23 OMt ，OM= 2 3 t ， 抛物线的对称轴为直线 x= 1 5 5 2 3 = 13 10 ，OG= 13 10 ，

30、GN=t 13 10 ，GHOC，NGHNOM， HGGN OMON ，即 13 10 2 3 t HG t t ，HG= 213 315 t ，S=ONGH=t（t）=t2t（0t3） 当 0t1 时， EN=1-t， 由 E NE H A EE F 得， 13 24 tEH ， EH= 2 (1) 3 t ， ONH S= 1 2 ONEH= 1 (1) 3 tt， 即 2 11 33 Stt； 当 1t3 时， EN=t-1， 由 E NE H A EE F 得， 13 24 tEH ， EH= 2 (1) 3 t ， ONH S= 1 2 ONEH= 1 (1) 3 t t ， 即 2

31、 11 33 Stt； 2 2 11 (01) 33 11 (13) 33 ttt S ttt 考点：二次函数综合题 10.（2017 内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 3 2 yxbxc与 x 轴交于 A（1， 0），B（2，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2） 直线 y=x+n 与该抛物线在第四象限内交于点 D， 与线段 BC 交于点 E， 与 x 轴交于点 F， 且 BE=4EC 求 n 的值； 连接 AC，CD，线段 AC 与线段 DF 交于点 G，AGF 与CGD 是否全等？请说明理由； （3）直线 y=m（m0）与该抛物线的交点为

32、 M，N（点 M 在点 N 的左侧），点 M 关于 y 轴的对称点为点 M，点 H 的坐标为（1，0）若四边形 OMNH 的面积为 5 3 求点 H 到 OM的距离 d 的值 【答案】（1） 2 33 3 22 yxx；（2）n=2；AGF 与CGD 全等；（3） 5 41 41 【解析】 （2）过点 E 作 EEx 轴于 E，则 EEOC，根据平行线分线段成比例定理，可得 BE=4OE，设点 E 的 坐标为（x，y），则 OE=x，BE=4x，根据 OB=2，可得 x 的值，再根据直线 BC 的解析式即可得到 E 的坐 标，把 E 的坐标代入直线 y=x+n，可得 n 的值； 根据 F（2，

33、0），A（1，0），可得 AF=1，再根据点 D 的坐标为（1，3），点 C 的坐标为（0， 3），可得 CDx 轴，CD=1，再根据AFG=CDG，FAG=DCG，即可判定AGFCGD； （3）根据轴对称的性质得出 OH=1=MN，进而判定四边形 OMNH 是平行四边形，再根据四边形 OMNH 的 面积，求得 OP 的长，再根据点 M 的坐标得到 PM的长，RtOPM中，运用勾股定理可得 OM的值，最后 根据 OM d= 5 3 ，即可得到 d 的值 试题解析：（1）抛物线 2 3 2 yxbxc与 x 轴交于 A（1，0），B（2，0）两点， 3 0 2 620 bc bc ， 解得： 3

34、 2 3 b c ，该抛物线的解析式 2 33 3 22 yxx； （2）如图，过点 E 作 EEx 轴于 E，则 EEOC， BEBE OECE ，BE=4EC，BE=4OE，设点 E 的坐标为 （x， y） ， 则 OE=x， BE=4x， B （2， 0） ， OB=2， 即 x+4x=2， x= 2 5 ， 抛物线 2 33 3 22 yxx 与 y 轴交于点 C， C （0， 3） ， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， B （2， 0） ， C （0， 3） ， 20 3 kb b ， 解得： 3 2 3 k b ，直线 BC 的解析式为 3 3 2 yx，当 x= 2 5

35、时，y=12 5 ，E（ 2 5 ，12 5 ），把 E 的 坐标代入直线 y=x+n，可得 2 5 +n=12 5 ，解得 n=2； （3）抛物线的对称轴为 x= 2 b a = 1 2 ，直线 y=m（m0）与该抛物线的交点为 M，N，点 M、N 关于 直线 x= 1 2 对称，设 N（t，m），则 M（1t，m），点 M 关于 y 轴的对称点为点 M，M（t1，m）， 点 M在直线 y=m 上，MNx 轴，MN=t（t1）=1，H（1，0），OH=1=MN，四边形 OMNH 是平行四边形， 设直线 y=m 与 y 轴交于点 P， 四边形 OMNH 的面积为 5 3 ， OH OP=1 m= 5 3 ， 即 m= 5 3 ， OP= 5 3 ， 当 2 33 3 22 xx= 5 3 时， 解得 x1= 4 3 ， x2= 7 3 ， 点 M 的坐标为 （ 4 3 ，5 3 ） ， M （ 4 3 ，5 3 ） ， 即 PM= 4 3 ，RtOPM中，OM= 22 OPPM= 41 3 ，四边形 OMNH 的面积为 5 3 ，OM d= 5 3 ， d= 5 41 41 考点：1二次函数综合题；2探究型；3压轴题