2021年重庆市中考数学真题（B卷）含答案

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1、4题图题图 y xO D C B A 5题图题图 O C BA 7题题 4 3 3 2 2 1 1t/h y/km O 8题图题图 D C B A 重庆市重庆市 2 2021021 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B B 卷）卷） （全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式：抛物线 y=ax 2+bx+c(a0

2、)的顶点坐标为( 2， 4;2 4 )，对称轴为 = 2. 一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每个小题的下面，都给出了代号为 A，B，C，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1.3 的相反数是（ ） A.3 B.1 3 C.-3 D. 1 3 2.不等式 x5 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3.计算 x 4x 结果正确的是（ ） A.x 4 B.x3 C.x2 D.x 4.如图，在平面直角坐标系中，将OAB 以原点 O 为位似中心放大后得到OCD，若 B(0，1)，D(0，3)，则 OAB 与OCD 的相

3、似比是（ ） A.21 B.12 C.31 D.13 5.如图，AB 是O 的直径，AC，BC 是O 的弦，若A=20，则B 的度数为（ ） A.70 B.90 C.40 D.60 6.下列计算中，正确的是（ ） A.57 27 = 21 B.2 + 2 = 22 C.3 6 = 32 D.15 5 = 3 7.小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家.如图，反映了小明离家的距离 y(单位：km)与时间 t(单位：h)之间的对应关系.下列描述错误的是（ ） A.小明家距图书馆 3km B.小明在图书馆阅读时间为 2h C.小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4h D.

4、小明去图书馆的速度比回家时的速度快 8.如图，在ABC 和DCB 中，ACB=DBC，添加一个条件，不能证明ABC 和DCB 全等的是（ ） A.ABC=DCB B.AB=DC C.AC=DB D.A=D 9.如图，把含 30的直角三角板 PMN 放置在正方形 ABCD 中，PMN=30，直角顶点 P 在正方形 ABCD 的对 9题图题图 N M P O DC BA 10题图题图 E D CB A 12题图题图 y= k x y x F E D C BAO 16题图题图 D C B A 17题图题图 C/ DCB A O E 角线 BD 上， 点 M， N 分别在 AB 和 CD 边上， MN

5、 与 BD 交于点 O， 且点 O 为 MN 的中点， 则AMP 的度数为 （ ） A.60 B.65 C.75 D.80 10.如图， 在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡， 斜坡CD的坡度(或坡比)为i=12.4， 坡顶 D 到 BC 的垂直距离 DE=50 米(点 A，B，C，D，E 在同一平面内)，在点 D 处测得建筑物顶 A 点的仰角为 50，则建筑物 AB 的高度约为（ ）(参考数据：sin500.77； cos500.64；tan501.19) A.69.2 米 B.73.1 米 C.80.0 米 D.85.7 米 11.关于 x 的分式方程ax;3 x;2

6、+ 1 = 3x;1 2;x 的解为正数，且使关于 y 的一元一次不等式组 3y;2 2 y 1 y + 2 a ，有解，则 所有满足条件的整数 a 的值之和是（ ） A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 12.如图， 在平面直角坐标系中， 矩形ABCD的顶点A， B在x轴的正半轴上， 反比例函数 = ( 0, 0)的图 象经过顶点 D，分别与对角线 AC，边 BC 交于点 E，F，连接 EF，AF.若点 E 为 AC 的中点，AEF 的面积为 1， 则 k 的值为（ ） A.12 5 B.3 2 C.2 D.3 二、填空题： （本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的

7、答案直接填在答题卡中对应的横线 上. 13.计算：9 ( 1)0= . 14.不透明袋子中装有黑球 1 个、白球 2 个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，记 下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率 是 . 15.方程 2(x-3)=6 的解是 . 16.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=12，BD=16，分别以点 A，B，C，D 为圆心，1 2AB 的长为半径画弧，与 该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留 ） 17.如图，ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，连接 AD，将ADC 沿直线 AD 翻

8、折至ABC 所在平面内，得ADC /，连接 CC/，分别与边 AB 交于点 E， 与 AD 交于点 O.若 AE=BE，BC /=2，则 AD 的长为 . 18.盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味 体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接 口优盘、迷你音箱共 22 个，搭配为 A，B，C 三种盲盒各一个，其中 A 盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优 盘，1 个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量；蓝牙耳机与迷你音箱的 数量之比为 32；C 盒中有 1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱.经核算，A 盒的成

9、本为 145 元， B 盒的成本为 245 元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则 C 盒的成 本为 元. 八年级教师竞赛成绩扇形统计图八年级教师竞赛成绩扇形统计图 E 10分分 D 9分分 C 8分分 B 7分分 A 6分分 40%D 30%C 15%E 10%B A 5% 七七、八年级教师竞赛成绩统计表八年级教师竞赛成绩统计表 55% 45% b8 9a 8.58.5 八年级八年级七年级七年级 优秀率优秀率 众数众数 中位数中位数 平均数平均数 年级年级 21题图题图 D CB A 三、解答题： （本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时

10、每小题必须给出必要的演算过程或推理步 骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19.计算： （1）a(2a+3b)+(a-b) 2； （2）x2;9 x2:2x:1 (x + 3;x2 x:1 ). 20.2021 年是中国共产党建党 100 周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、 八年级中各随机抽取了 20 名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为 10 分，9 分及 以上为优秀）.相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） ： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10

11、，10，10，10，10. 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a= ，b= ； （2）估计该校七年级 120 名教师中竞赛成绩达到 8 分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异. 21.如图，四边形 ABCD 为平行四边形，连接 AC，且 AC=2AB.请用尺规完成基本作图：作出BAC 的角平分线 与 BC 交于点 E.连接 BD 交 AE 于点 F， 交 AC 于点 O， 猜想线段 BF 和线段 DF 的数量关系， 并证明你的猜想.(尺 规作图保留作图痕迹，不写作法) 22.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观

12、察分析图象特征，概括函数性质的过程. 22题答图题答图 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 3 4 5 6 7 8 87654321-8 -7 -6 -5 -4 -3-2 -1-99 9 O x y 以下是我们研究函数 y=x+|-2x+6|+m 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题. x -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 6 5 4 a 2 1 b 7 （1）写出函数关系式中 m 及表格中 a，b 的值：m= ，a= ，b= ； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性 质： ； （3）已知函数 = 16

13、 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 + |2 + 6| + 16 的 解集. 23.重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面， 顾客可到店食用（简称“堂食”小面） ，也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）.已知 3 份“堂 食”小面和 2 份“生食”小面的总售价为 31 元，4 份“堂食”小面和 1 份“生食”小面的总售价为 33 元. （1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少？ （2）该面馆在 4 月共卖出“堂食”小面 4500 份， “生食”小面 2500 份.为回馈广大食客，该面馆从 5 月 1

14、日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3 4a%.统计 5 月的销量和销售额发现： “堂食”小面的销量与 4 月相同， “生食”小面的销量在 4 月的基础上增加5 2a%，这两种小面的总销售额在 4 月的基础上增加 5 11a%.求 a 的值. 24.对于任意一个四位数 m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的 2 倍，则称这个四位数 m 为“共生数”.例如：m=3507，因为 3+7=2(5+0)，所以 3507 是“共生数” ；m=4135， 因为 4+52(1+3)，所以 4135 不是“共生数”. （1）判断 5313，6437 是

15、否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的 2 倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被 9 整除时，记 F(n)=n 3.求满足 F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有 n. 25题图题图 l y x OA B C D P 25题备用图题备用图 l y x OA B C D P 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx-4(a0)与 x 轴交于点 A(-1，0)，B(4，0)，与 y 轴交于 点 C. （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点 D 与点 C 关于直线l对称，点 P 为直线 AD 下方抛物线上一动点

16、，连 接 PA，PD，求PAD 面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线 y=ax 2+bx-4(a0)沿射线 AD 平移42个单位，得到新抛物线 y 1，点 E 为 点 P 的对应点，点 F 为 y1的对称轴上任意一点，在 y1上确定一点 G，使得以点 D，E，F，G 为顶点的四边形 是平行四边形，写出所有符合条件的点 G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程. 26题图题图1 F G D C(E)B A 26题图题图2 H G F E D CB A 26题图题图3 N M Q P F E D CB A 四、解答题： （本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算

17、过程或推理步骤，画出必要的图形（包 括辅助线） ，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 26.在等边ABC 中，AB=6，BDAC，垂足为 D，点 E 为 AB 边上一点，点 F 为直线 BD 上一点，连接 EF. （1）将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 EG，连接 FG. 如图 1，当点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C 时，连接 DG，求线段 DG 的长； 如图 2，点 E 不与点 A，B 重合，GF 的延长线交 BC 边于点 H，连接 EH，求证：BE+BH=3BF； （2）如图 3，当点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，点 N 在边 AC

18、 上，且 DN=2NC，点 F 从 BD 中点 Q 沿射线 QD 运动，将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EP，连接 FP，当 NP+1 2MP 最小时，直接写出DPN 的面 积. 重庆市 2021 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷） 参考答案（含选择填空题提示）与评分标准 一、选择题： 1.C 提示：根据相反数的意义. 2.A 提示：根据不等式解集在数轴上表示的意义. 3.B 提示：根据同底数幂的除法. 4.D 根据位似与相似的性质. 5.A 提示：根据圆周角性质. 6.C 提示：根据二次根式的运算. 7.D 提示：根据函数图象获取信息知识与方法. 8.B 提示：

19、根据三角形全等的判定. 9.C 提示：由PMN 的特殊性易得MPO=30，从而DPM=150，再由四边形 ADPM 内角和即可得. 10.D 提示：易由坡度求得 CD=130 米，CE=120 米，BE=30 米.再由虚线三角形求解即可. 11.B 提示：由分式方程解的条件得 a-4 且 a -1；由不等式组的条件得 a3 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x3 时，y 随 x 的增大而减小. （8 分） （3）x4. （10 分） 23.解： （1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是 x 元，y 元，由题意得： 3x + 2y = 31 4x + y = 33 ，解得 x = 7

20、 y = 5 答：每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是 7 元，5 元. （4 分） （2）根据题意得： 4500 7 + 2500(1 + 5 2%) 5(1 3 4%) = (4500 7 + 2500 5)(1 + 5 11%).（7 分） 令 a%=m，方程可化为 25m 2-2m=0， （8 分） l y x OA B C D P H 答图答图1 O F E P D C BA G x y O y x 答图答图2 G A B C D P E F y x O F G 答图答图3 F E P D C BA 解得 m1=0（不合题意，舍去） ，m2= 2 25 所以 a%= 2 25，

21、a=8. 答：a 的值是 8. （10 分） 24.解： （1）5313 是“共生数” ；6437 不是“共生数” （2 分） 理由如下： 5+3=2(3+1)，5313 是“共生数” ； （3 分） 6+72(4+3)，6437 不是“共生数” （4 分） （2） 设 “共生数” n 的千位， 百位， 十位， 个位上的数字分别是 a， b， c， d （其中 1a9， 0b9， 0c9， 0d9，a，b，c，d 均为整数） ，则 a+d=2(b+c) 当十位上的数字是千位上的数字的 2 倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被 9 整除时 当 c=2a 时，b+d=9k（k 为 0 或 1 或

22、 2） 当 k=0 时，由 b+d=9k，c=2a，a+d=2(b+c)得 a=b=c=d=0，不合理，应舍去；（5 分） 当 k=2 时，由 b+d=9k，c=2a，a+d=2(b+c)得 b=d=9，a=-3，c=-6，不合理，应舍去；（6 分） 当 k=1 时，由 b+d=9k，c=2a，a+d=2(b+c)得 a+b=3，a 的值可取 1，2，3. （7 分） 当 a=1 时，b=2，c=2，d=7，n=1227，F(1227)= 1227 3 = 409，4+0+9=13 不符合. 当 a=2 时，b=1，c=4，d=8，n=2148，F(2148)= 2148 3 = 716，7+

23、1+6=14 符合， 当 a=3 时，b=0，c=6，d=9，n=3069，F(3069)= 3069 3 = 1023，1+0+2+3=6 符合（9 分） 综上，满足条件的 n 为 2148，3069. （10 分） 25.解： （1）抛物线 y=ax 2+bx-4(a0)经过 A(-1，0)，B(4，0)， a b 4 = 0 16a + 4b 4 = 0，解得 a = 1 b = 3. 抛物线的解析式为 y=x 2-3x-4. （3 分） （2）由（1）得抛物线的对称轴l为 x= 3 2，C(0，-4)， D 点坐标为(3，-4)，（4 分） 易求直线 AD 的解析式为 y=-x-1.过

24、 P 作 y 轴的平行线交 AD 于点 H（如图） ， 设 P(x，x 2-3x-4)，则 H(x，-x-1)， PH=(-x-1)-(x 2-3x-4)=-x2+2x+3， SAPD= 1 23-(-1)(-x 2+2x+3)=-2x2+4x+6，-20 当 x=1，PAD 面积最大，其最大值为 8. （7 分） （3）满足条件的点 G 的坐标为(15 2 ， 25 4 )或(15 2 ， 25 4 )或(5 2， 5 4) 26题答图题答图1 F G D C(E)B A K 26题答图题答图2 H G F E D CB A A E D F N C P J M Q B 注意 AD 与 x 轴

25、夹角为 45，因此将抛物线 y=ax 2+bx-4(a0) 沿射线 AD 平移42个单位，即为向右平移 4 个单位，再向下平移 4 个单位. 易求得平移后的新抛物线 y1=x 2-11x+20，其新的对称轴为 x= 11 2 . 又由（2）可得 P(1，-6)，E(5，-10)，设 F(11 2 ，f)，G(xG，yG)，又 D(3，-4). 当 EF 为平行四边形对角线时，如答图 1 所示，利用中点坐标公式，先求出 G 点的横坐标 再代入新抛物线解析式求出 G 点的纵坐标答：(15 2 ， 25 4 ) 当 DF 为平行四边形对角线时，如答图 2 所示，利用中点坐标公式，先求出 G 点的横坐

26、标 再代入新抛物线解析式求出 G 点的纵坐标答：(7 2， 25 4 ) 当 DE 为平行四边形对角线时，如答图 3 所示，由 DE 中点横坐标为 4，FG 的横坐标为1 2( 11 2 + xG)，根据平行 四边形对角线互相平分，得1 2( 11 2 + xG)=4，解得xG= 5 2，代入 y1=x 2-11x+20，可求得y G= 5 4，所以 G 点坐标 为(5 2， 5 4). （10 分） 四、解答题： 26.（1）解：连接 AG，如答图 1 ABC 和BGF 都是等边三角形，BDAC， BFG=60，CBD=30 BCG=30，ACG=30，GBC=90 AC=BC，GC=GC，

27、GACGBC（SAS） GAC=GBC=90，AG=BG， AB=6，AC=AB=6，AD=3，AG=BG=23 在 RtADG 中，DG=AG2+ AD2=(23)2+ 32= 21. （3 分） 证明：以点 F 为圆心，FB 的长为半径画弧，与 BH 的延长线交于点 K，连接 FK，如答图 2 所示. ABC 和EFG 都是等边三角形，ABC=60，EFH=120 BEF+BHF=180，又KHF+BHF=180，BEF=KHF. 由辅助线得 FB=FK，且 BD 是等边ABC 的高，EBF=FBK=K EBFHKF（AAS） ，BE=KH，BE+BH=BK. FB=FK，BFK=120，

28、 BE+BH=BK=3BF，即 BE+BH=3BF （6 分） （2）DPN 的面积4 33. （8 分） I A E M Q D F N C P J B K30 J NM Q P F E D CB A 26题答图题答图3 提示： 如图所示，易证PEMFEQ（PE=FE，PEM=FEQ，EM=EQ） PME=FQE=90（E、Q 分别是 AB、BD 中点，EQAD） P 点在过 M 与 AB 垂直的直线上 过 N 作 AC 的垂线与过 M 作 BD 的垂线相交于点 J， 如下图所示， 过 P 作 PIMJ 于点 I， 易得PMI=30， PI=1 2MP，NP+ 1 2MP=NP+PINJ 如答图 3，NJ 的长即为 NP+1 2MP 的最小值.设 MJ 与 BD 交于点 K 易得 KJ=DN=2，NJ=BD-BK=33 3 43 = 9 43，MJ=MK+KJ= 11 4 ，PJ=11 123， NP=NJ-PJ=4 33，SDPN= 1 2 2 4 33 = 4 33 DPN 的面积4 33.