2021年江苏省苏州市高新区中考数学三模试卷（含答案详解）

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1、2021 年江苏省苏州市高新年江苏省苏州市高新区区中考数学三模试卷中考数学三模试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。分。 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2 （3 分）下列图形中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）据统计，2020 年上半年，全国铁路累计运送货物达 1 690 000 000t，数据 1 690 000 000 用科学记 数法表示为（ ） A169107 B1.69108 C1.69109 D0.1691010 4 （3 分

2、） 一副三角板如图摆放 （直角顶点 C 重合） ， 边 AB 与 CE 交于点 F， DEBC， 则BFC 等于 （ ） A105 B100 C75 D60 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2）3a5 Ca6a3a2 D （ab2）3a3b6 6 （3 分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A20 B15 C12 D9 7 （3 分） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 连接 BD 若， BDC50， 则ADC 的度数是 （ ） A125 B130 C135 D140 8 （3 分）一次函数 ykx+k2+1 与反比例函数

3、y同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 9 （3 分）函数 yx2+bx+c 与 yx 的图象如图所示，有以下结论： b24c0；b+c+10；3b+c+60；当 1x3 时，x2+（b1）x+c0；（1+c）2b2 正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 边长为 2，BM、DN 分别是正方形的两个外角的平分线，点 P，Q 分别是 平分线 BM、DN 上的点，且满足PAQ45，连接 PQ、PC、CQ则下列结论： BPDQ3.6， QADAPB， PCQ135 BP2+DQ2PQ2，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个

4、 D4 个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。分。 11 （3 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12 （3 分）分解因式：a22a 13 （3 分）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共 10 个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球 的概率为，则袋子中红色球的个数是 14 （3 分）将直线 y3x 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得到的直线解析式是 15（3分） 关于x的一元二次方程 （a+1） x2+bx+10有两个相等的实数根， 则代数式8a2b2+6的值是 16 （3 分）如图，在 R

5、tABC 中，C90，BE，AF 分别是ABC，CAB 平分线，BE，AF 交于点 O， OMAB，AB10，AC8，则 OM 17 （3 分）如图，已知双曲线 y（x0）和 y（x0） ，直线 OA 与双曲线 y交于点 A，将直 线 OA 向下平移与双曲线 y交于点 B，与 y 轴交于点 P，与双曲线 y交于点 C，SABC6，BP： CP2：1，则 k 的值为 18 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，ABC45，点 E 为射线 AD 上一动点，连接 BE， 将 BE 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BF，连接 AF，则 AF 的最小值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本

6、大题共 10 小题，共小题，共 76 分。分。 19 （5 分）计算： （2021）02cos45+|1| 20 （5 分）先化简，再求值：，其中 21 （8 分）为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动该校随机抽取部分学生，四个类别：A 表示“很喜欢” ，B 表示“喜欢” ，C 表示“一般” ，D 表示“不喜欢” ，调查他们对戏剧的喜爱情况，将 结果绘制成如图两幅不完整的统计图， 根据图中提供的信息解决下列问题： （1）此次共调查了 名学生； （2）扇形统计图中B 类所对应的扇形圆心角的大小为 度； （3）请通过计算补全条形统计图； （4）该校共有 1560 名学生估计该校表示“很喜

7、欢”的 A 类的学生有多少人？ 22 （6 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（1，m） 、B（n， 1）两点 （1）求一次函数表达式； （2）求AOB 的面积 23 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若ABE30，AE2，求 EF 的长 24 （6 分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点 E 处测得塔帽 A 的仰角为 30，在点 E 的正下 方 23 米处的点 D 处测得塔帽 A 的仰角为 53， 请你依据相关数据计算塔

8、帽与地面的距离 AC 的高度（计 算结果精确到 0.1 米，参考数据：1.732，sin530.80，cos530.60，tan53） 25 （8 分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超 过 60 元） ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件设销 售单价增加 x 元，每天售出 y 件 （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 26

9、（10 分）如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 ACFC （1）求证：AC 是O 的切线： （2）若 BF8，DF，求O 的半径； （3）若ADB60，BD1，求阴影部分的面积 （结果保留根号） 27 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A（0，2） ，C（2，0） ，点 D 是对角线 AC 上一点（不与 A、C 重合） ，连接 BD，作 DEBD，交 x 轴于点 E，以线段 DE、DB 为邻边 作矩形 BDEF （1）是否存在这

10、样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长；若不存在，请说明理 由； （2）求证：； （3）设 ADx，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出当 x 取何值时，y 有最小值？ 28 （10 分）定义：与坐标轴不重合的直线交坐标轴于 A、B 两点（A、B 不重合） ，若抛物线 L 过点 A，点 B，则称此抛物线为直线的“友谊线” （1）若抛物线 L 为直线 yx+3 的“友谊线” ，且过点（1，0） ，求此抛物线的解析式； （2）已知直线 ykx+b 的“友谊线”为 yx2+x+1，且直线与双曲线 y交于 M，N，求线段 MN 的长； （3）

11、若有直线 ymx+n， 且 m+n1， 对任意的实数 a， 一定存在其 “友谊线” 为抛物线 L： yax2+bx+c， 求 b 的取值范围 2021 年江苏省苏州市高新年江苏省苏州市高新区区中考数学三模试卷中考数学三模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。分。 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：B 2 （3 分）下列图形中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解

12、：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意 故选：D 3 （3 分）据统计，2020 年上半年，全国铁路累计运送货物达 1 690 000 000t，数据 1 690 000 000 用科学记 数法表示为（ ） A169107 B1.69108 C1.69109 D0.1691010 【解答】解：16900000001.69109 故选：C 4 （3 分） 一副三角板如图摆放 （直角顶点 C 重合） ， 边 AB 与 CE 交于点 F， D

13、EBC， 则BFC 等于 （ ） A105 B100 C75 D60 【解答】解：由题意知E45，B30， DECB， BCFE45， 在CFB 中， BFC180BBCF1803045105， 故选：A 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2）3a5 Ca6a3a2 D （ab2）3a3b6 【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误； B、 （a2）3a6，故此选项错误； C、a6a3a3，故此选项错误； D、 （ab2）3a3b6，正确； 故选：D 6 （3 分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A20 B15 C1

14、2 D9 【解答】解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长6，底面半径3， 由图得，母线长5， 侧面面积6515 故选：B 7 （3 分） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 连接 BD 若， BDC50， 则ADC 的度数是 （ ） A125 B130 C135 D140 【解答】解：连接 OA，OB，OC， BDC50， BOC2BDC100， ， BOCAOC100， ABCAOC50， ADC180ABC130 故选：B 8 （3 分）一次函数 ykx+k2+1 与反比例函数 y同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【解答】解：一次函数 ykx+k2+1 中，k

15、2+10， 直线与 y 轴的交点在正半轴，故 A、B 不合题意，C、D 符合题意， C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知 k0，由反比例函数的图象在二、四象限可知 k0，两结 论相矛盾，故选项 C 错误； D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知 k0，由反比例函数的图象在二、四象限可知 k0，故选 项 D 正确； 故选：D 9 （3 分）函数 yx2+bx+c 与 yx 的图象如图所示，有以下结论： b24c0；b+c+10；3b+c+60；当 1x3 时，x2+（b1）x+c0；（1+c）2b2 正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：函数 yx2+bx+c 与 x

16、 轴无交点， b24ac0； 故错误； 当 x1 时，y1+b+c1， 故错误； 当 x3 时，y9+3b+c3， 3b+c+60； 故正确； 当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值， x2+bx+cx， x2+（b1）x+c0 故正确 如图所示，抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，3） ，则 c3 对称轴 x，则 b3， 所以（1+c）2（1+3）216，b2（3）29， 则（1+c）2b2， 故错误 综上所述，正确的结论有 2 个 故选：B 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 边长为 2，BM、DN 分别是正方形的两个外角的平分线，点 P，Q 分别是 平分线 BM、DN 上的点，且满足

17、PAQ45，连接 PQ、PC、CQ则下列结论： BPDQ3.6， QADAPB， PCQ135 BP2+DQ2PQ2，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：BM、DN 分别是正方形 ABCD 的两个外角平分线， ADQABP135， BAP+APB45， PAQ45， QAD+BAP45， QADAPB，故正确； ABPQDA， ， 正方形 ABCD 边长为 2， BPDQADAB4，故错误； ， ， 即， PBCCDQ45， PBCCDQ， BCPDQC， PCQ36090DQCDCQ， DQC+DCQ180CDQ18045， PCQ135，故正确； 如图，

18、将AQD 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABG，连接 GP，AB 与 GP 相交于点 H， ADQABG， GABQAD，AGAQ，BGDQ，AGBAQD， GAPGAB+BAPQAD+BAPBADPAQ45， GAPPAQ45， APAP， AGPAQP（SAS） ， GPQP， PBC45，HBC90， HBP45， GBPGBH+HBPAGB+GAB+45AQD+QAD+45， AQD+QAD180ADQ18013545， GBP90， GBP 是直角三角形， BP2+BG2GP2， BP2+DQ2PQ2，故正确 属于其中正确的有，共 3 个 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本

19、大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。分。 11 （3 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x4 【解答】解：式子在实数范围内有意义， x+40，解得 x4 故答案为：x4 12 （3 分）分解因式：a22a a（a2） 【解答】解：a22aa（a2） 故答案为：a（a2） 13 （3 分）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共 10 个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球 的概率为，则袋子中红色球的个数是 6 【解答】解：设袋子中红球有 x 个，根据题意可得：， 解得：x6， 故答案为：6 14 （3 分）将直线 y3x 先向右平移 3 个单位

20、，再向下平移 2 个单位得到的直线解析式是 y3x11 【解答】解：直线 y3x 先向右平移 3 个单位， y3（x3） ， 再向下平移 2 个单位得到 y3（x3）2，即 y3x11 故答案为 y3x11 15 （3 分） 关于 x 的一元二次方程 （a+1） x2+bx+10 有两个相等的实数根， 则代数式 8a2b2+6 的值是 2 【解答】解：根据题意得 a+10 且b24（a+1）0，即 b24a40， b24a4， 所以原式2（b24a）+624+62， 故答案为2 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，BE，AF 分别是ABC，CAB 平分线，BE，AF 交于点 O，

21、 OMAB，AB10，AC8，则 OM 2 【解答】解：过 O 作 OGAC 于 G，OHBC 于 H，连接 OC， AF 平分CAB，BE 平分ABC， OGOHOM， C90，AB10，AC8， BC6 SABCACBCABOM+ACOG+BCOH， 86+8OG+， OM2， 故答案为：2 17 （3 分）如图，已知双曲线 y（x0）和 y（x0） ，直线 OA 与双曲线 y交于点 A，将直 线 OA 向下平移与双曲线 y交于点 B，与 y 轴交于点 P，与双曲线 y交于点 C，SABC6，BP： CP2：1，则 k 的值为 3 【解答】解：如图连接 OB，OC，作 BEOP 于 E，C

22、Fy 轴于 F OABC， SOBCSABC6， PB：PC2：1， SOPB4，SOPC2， SOBE126， SPBE2， BEPCFP， SCFP2， SOCF， k3 故答案为：3 18 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，ABC45，点 E 为射线 AD 上一动点，连接 BE， 将 BE 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BF，连接 AF，则 AF 的最小值是 【解答】解：如图，以 AB 为边向下作等边ABK，连接 EK，在 EK 上取一点 T，使得 ATTK BEBF，BKBA，EBFABK60， ABFKBE， ABFKBE（SAS） ， AFEK， 根据垂线段最短

23、可知，当 KEAD 时，KE 的值最小， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ABC45， BAD180ABC135， BAK60， EAK75， AEK90， AKE15， TATK， TAKAKT15， ATETAK+AKT30， 设 AEa，则 ATTK2a，ETa， 在 RtAEK 中，AK2AE2+EK2， a2+（2a+a）24， a， EK2a+a， AF 的最小值为 故答案为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76 分。分。 19 （5 分）计算： （2021）02cos45+|1| 【解答】解:原式124+1 14+1 4 20 （5

24、 分）先化简，再求值：，其中 【解答】解： 当时，原式 21 （8 分）为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动该校随机抽取部分学生，四个类别：A 表示“很喜欢” ，B 表示“喜欢” ，C 表示“一般” ，D 表示“不喜欢” ，调查他们对戏剧的喜爱情况，将 结果绘制成如图两幅不完整的统计图， 根据图中提供的信息解决下列问题： （1）此次共调查了 60 名学生； （2）扇形统计图中B 类所对应的扇形圆心角的大小为 150 度； （3）请通过计算补全条形统计图； （4）该校共有 1560 名学生估计该校表示“很喜欢”的 A 类的学生有多少人？ 【解答】解： （1）此次共调查的学生数是： （

25、10+25+10）（125%）60（人） 故答案为：60 （2）B 类所对应的扇形圆心角的大小为：360150 故答案为：150； （3）C 类的人数有：6025%15（人） ，补全条形统计图如图所示： （4）1560260（人） ， 答：该校 1560 名学生中“很喜欢”的 A 类的学生有 260 人 22 （6 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（1，m） 、B（n， 1）两点 （1）求一次函数表达式； （2）求AOB 的面积 【解答】解： （1）把 A（1m） ，B（n，1）代入 y，得 m5，n5， A（1，5） ，B（5，1） ， 把 A（1，5

26、） ，B（5，1）代入 ykx+b 得 ，解得， 一次函数解析式为 yx+4； （2）x0 时，y4， OD4， AOB 的面积SAOD+SBOD41+12 23 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若ABE30，AE2，求 EF 的长 【解答】 （1）证明：AEBD，AEBD， 四边形 AEBD 是平行四边形， ABAC，D 为 BC 的中点， ADBC， ADB90， 四边形 AEBD 是矩形 （2）解：四边形 AEBD 是矩形， AEB90， ABE30，AE2，

27、 BE2，BC4， EC2， AEBC， AEFBCF， ， EFEC 24 （6 分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点 E 处测得塔帽 A 的仰角为 30，在点 E 的正下 方 23 米处的点 D 处测得塔帽 A 的仰角为 53， 请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离 AC 的高度（计 算结果精确到 0.1 米，参考数据：1.732，sin530.80，cos530.60，tan53） 【解答】解：连接 DE，如图所示： 由题意得：DECD，BEAC，DCAC，DE23 米， ABECBECCDE90， 四边形 BCDE 是矩形， BECD，BCDE23 米， AEB30， BEA

28、B， 在 RtACD 中，tanADCtan53， ACCD， 设 ABx 米，则 CDBEx 米，ACx 米， BCACAB23， xx23， 解得：x17.6， ACAB+BC17.6+2340.6（米） ， 答：塔帽与地面的距离 AC 的高度约为 40.6 米 25 （8 分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超 过 60 元） ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件设销 售单价增加 x 元，每天售出 y 件 （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天

29、销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 【解答】解： （1）根据题意得，yx+50（0 x20） ； （2）根据题意得， （40+x） （x+50）2250， 解得：x150，x210， 每件利润不能超过 60 元， x10， 答：当 x 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元； （3）根据题意得，w（40+x） （x+50）x2+30 x+2000（x30）2+2450， a0， 当 x30 时，w 随 x 的增大而增大， 40+x60，x20， 当 x20 时，w最大2400， 答：当

30、x 为 20 时 w 最大，最大值是 2400 元 26 （10 分）如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 ACFC （1）求证：AC 是O 的切线： （2）若 BF8，DF，求O 的半径； （3）若ADB60，BD1，求阴影部分的面积 （结果保留根号） 【解答】 （1）证明：连接 OA、OD，如图， D 为 BE 的下半圆弧的中点， ODBE， ODF+OFD90， CACF， CAFCFA， 而CFAOFD， ODF+CAF90， OAOD， ODAOAD， OAD

31、+CAF90，即OAC90， OAAC， AC 是O 的切线； （2）解：设O 的半径为 r，则 OF8r， 在 RtODF 中， （8r）2+r2（）2，解得 r16，r22（舍去） ， 即O 的半径为 6； （3）解：BOD90，OBOD， BOD 为等腰直角三角形， OBBD， OA， AOB2ADB120， AOE60， 在 RtOAC 中，ACOA， 阴影部分的面积 27 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A（0，2） ，C（2，0） ，点 D 是对角线 AC 上一点（不与 A、C 重合） ，连接 BD，作 DEBD，交 x 轴于点 E，以线段

32、 DE、DB 为邻边 作矩形 BDEF （1）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长；若不存在，请说明理 由； （2）求证：； （3）设 ADx，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出当 x 取何值时，y 有最小值？ 【解答】解： （1）存在；理由如下： 点 A（0，2） ，C（2，0） ， OA2，OC2， tanACO， ACO30，ACB60， 分两种情况： 当 E 在线段 CO 上时，DEC 是等腰三角形，观察图像可知，只有 EDEC，如图 1 所示： DCEEDC30， DBCBCD60， DBC 是等边三角形， DC

33、BC2， 在 RtAOC 中，ACO30，OA2， AC2AO4， ADACCD422， 当 AD2 时，DEC 是等腰三角形； 当 E 在 OC 的延长线上时，DCE 是等腰三角形，只有 CDCE，DBCDECCDE15， 如图 2 所示： ABDADB75， ABAD2， 综上所述，满足条件的 AD 的值为 2 或 2； （2）证明：过点 D 作 MNAB 交 AB 于 M，交 OC 于 N，如图 3 所示： 设 DNa， ACO30， ， BDE90， BDM+NDE90，BDM+DBM90， DBMEDN， BMDDNE90， BMDDNE， ； （3）作 DHAB 于 H，如图 4

34、所示： 在 RtADH 中，ADx，DAHACO30， DHADx， BH2x， 在 RtBDH 中，BD2， 由（2）得， ， 矩形 BDEF 的面积为， ， 0， x3 时，y 有最小值为， 即当点 D 运动到距 A 点的距离为 3 时，y 有最小值 28 （10 分）定义：与坐标轴不重合的直线交坐标轴于 A、B 两点（A、B 不重合） ，若抛物线 L 过点 A，点 B，则称此抛物线为直线的“友谊线” （1）若抛物线 L 为直线 yx+3 的“友谊线” ，且过点（1，0） ，求此抛物线的解析式； （2）已知直线 ykx+b 的“友谊线”为 yx2+x+1，且直线与双曲线 y交于 M，N，求

35、线段 MN 的长； （3） 若有直线 ymx+n， 且 m+n1， 对任意的实数 a， 一定存在其 “友谊线” 为抛物线 L： yax2+bx+c， 求 b 的取值范围 【解答】解： （1）直线 yx+3 与 x 轴交点为（3，0） ，与 y 轴交点为（0，3） ， 抛物线 L 为直线 yx+3 的“友谊线” ， 抛物线 L 经过点（3，0） ， （0，3） ， 设抛物线解析式为 yax2+bx+c， 抛物线又过点（1，0） ， ， 解得：， 抛物线解析式为 yx2+2x+3； （2）令 x0，则 y1， yx2+x+1 与 y 轴的交点为（0，1） ， 令 y0，则x2+x+10， 解得 x

36、2 或 x1， yx2+x+1 与 x 轴的交点为（2，0） 、 （1，0） ， 直线与双曲线 y交于 M，N， 直线 ykx+b 经过第一、三象限， 直线 ykx+b 的“友谊线”为 yx2+x+1， 直线 ykx+b 经过点（0，1） 、 （1，0） ， ， 解得：， yx+1， 联立方程， 解得：或， M（1，2） ，N（2，1） ， MN3； （3）直线 ymx+n，且 m+n1， ymx+（1m） ， 令 x0，y1m，令 y0，x1， 直线 ymx+（1m）与 x 轴的交点为（1，0） ，与 y 轴的交点为（0，1m） ， 直线 ymx+（1m）的“友谊线”为抛物线 L：yax2+bx+c， 抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ， （0，1m） ， a（1）2+b（1）+（1m）0， 整理得：a（1m）+bmm20， m1 或 a（1m）+bmm20， 当 m1 时，yx，此时 yx 与坐标轴的两个交点重合，不合题意； a（1m）+bmm20 即 m2（a+b）m+a0， 0，即（a+b）24a0， a2+2ab4a+b20， 对任意的实数 a，直线 ymx+n 的“友谊线”一定存在， （2b4）24b20， b1