2021年四川省凉山州中考数学真题试卷（含答案详解）

《2021年四川省凉山州中考数学真题试卷（含答案详解）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年四川省凉山州中考数学真题试卷（含答案详解）（27页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2021 年四川省凉山州中考数学试卷年四川省凉山州中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把 正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。 1|2021|（ ） A2021 B2021 C D 2下列数轴表示正确的是（ ） A B C D 3 “天问一号”在经历了 7 个月的“奔火”之旅和 3 个月的“环火”探测，完成了长达 5 亿千米的行程， 登陆器“祝融”号火星车于 2021 年 5 月 15

2、日 7 时 18 分从火星发来“短信” （ ） A5107 B5108 C5109 D51010 4下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ） A B C D 5的平方根是（ ） A9 B9 C3 D3 6在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移后得到线段 AB，点 A（2，1） （2，3） ，则点 B（2，3）的 对应点 B的坐标为（ ） A （6，1） B （3，7） C （6，1） D （2，1） 7某校七年级 1 班 50 名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示： 成绩 60 70 80 90 100 人数 3 9 13 16 9 则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ） A

3、90，80 B16，85 C16，24.5 D90，85 8下列命题中，假命题是（ ） A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 C若 ABBC，则点 B 是线段 AC 的中点 D三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心 9函数 ykx+b 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+bx+k10 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 10如图，ABC 中，ACB90，BC6，将ADE 沿 DE 翻折，则 CE 的长为（ ） A B2 C D 11点 P 是O 内一点

4、，过点 P 的最长弦的长为 10cm，最短弦的长为 6cm（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） Aabc0 B函数的最大值为 ab+c C当3x1 时，y0 D4a2b+c0 二、填空题（共二、填空题（共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13函数 y中，自变量 x 的取值范围是 14已知是方程 ax+y2 的解，则 a 的值为 15菱形 ABCD 中，对角线 AC10，BD24则菱形的高等于 16如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 120得到ABC，已知 AC3

5、，则线段 AB 扫过的图形（阴影部 分）的面积为 17如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要 3 根火柴棍；拼第三个图形共需 要 7 根火柴棍；照这样拼图 根火柴棍 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18 （5 分）解不等式：x3 19 （5 分）已知 xy2，1，求 x2yxy2的值 20 （7 分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响为了保护学生 视力， 防止学生沉迷网络和游戏， 促进学生身心健康发展， 教育部办公厅于 2021 年 1 月 15 日颁发了 教 育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通

6、知 为贯彻通知精神，根据参赛同学的得分情况绘 制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中 A 表示“一等奖” ，B 表示“二等奖” ，C 表示“三等奖” ，D 表示“优秀奖” ） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为 人，m ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的 4 名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛， 请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率 21 （7 分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 AB 的 高度，他在点 C 处测得大树顶端 A 的仰角为 45

7、米到达斜坡上 D 点，在点 D 处测得树顶端 A 的仰 角为 30（点 E、C、B 在同一水平线上） （1）求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度； （2）求大树 AB 的高度（结果保留根号） 22 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADCB90，若 DEBE （1）求证：DADC； （2）连接 AC 交 DE 于点 F，若ADE30，AD6 四、填空题（共四、填空题（共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 23 （5 分）若关于 x 的分式方程的解为正数，则 m 的取值范围是 24（5 分） 如图， 等边三角形 ABC 的边长为 4， C 的半径为

8、， 过点 P 作C 的切线 PQ， 切点为 Q 五、解答题（共五、解答题（共 4 小题，共小题，共 40 分）分） 25 （8 分）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617 年）是对数的创始人他发明对数是在指数书写方式之前， 直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783 年） 对数的定义：一般地，若 axN（a0 且 a1） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，比如 指数式 2416 可以转化为对数式 4log216，对数式 2log39 可以转化为指数式 329 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（MN）lo

9、gaM+logaN（a0，a1，M0，N0） ，理由如下： 设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， MNamanam+n，由对数的定义得 m+nloga（MN） 又m+nlogaM+logaN， loga（MN）logaM+logaN 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：log232 ，log327 ，log71 ； （2）求证：logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ； （3）拓展运用：计算 log5125+log56log530 26 （10 分）如图，AOB 中，ABO90，反比例函数 y（x0）的图象经过斜边 OA 的中点 M，S

10、AOB12，AN （1）求 k 的值； （2）求直线 MN 的解析式 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 D 在 AB 上，DEAE，交 AC 于点 F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC8，求 SBDE 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OBOC 3OA （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，使点 P、B、M、Q 为顶点的四边形是平

11、行四边形，若存 在；若不存在，请说明理由 2021 年四川省凉山州中考数学试卷年四川省凉山州中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把 正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。 1|2021|（ ） A2021 B2021 C D 【分析】根据绝对值解答即可 【解答】解：2021 的绝对值是 2021， 故选：A 2下列数轴表示正确的是（ ） A B C D

12、 【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断 【解答】解：A 选项，应该正数在右边，故该选项错误； B 选项，负数的大小顺序不对； C 选项，没有原点； D 选项，有原点，单位长度； 故选：D 3 “天问一号”在经历了 7 个月的“奔火”之旅和 3 个月的“环火”探测，完成了长达 5 亿千米的行程， 登陆器“祝融”号火星车于 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分从火星发来“短信” （ ） A5107 B5108 C5109 D51010 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的 整数位数

13、少 1，据此判断即可 【解答】解：5 亿5000000005105 故选：B 4下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 【解答】解：A不是轴对称图形； B不是轴对称图形； C是轴对称图形； D不是轴对称图形 故选：C 5的平方根是（ ） A9 B9 C3 D3 【分析】求出9，求出 9 的平方根即可 【解答】解：9， 的平方根是3， 故选：D 6在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移后得到线段 AB，点 A（2，1） （2，3） ，则点 B（2，3）的 对应点 B的坐标为（ ） A （6，1） B （3，7） C （6，1

14、） D （2，1） 【分析】根据点 A 到 A确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点 B的坐标 【解答】解：A（2，1）平移后得到点 A的坐标为（7， 向下平移了 4 个单位，向左平移了 4 个单位， B（6，3）的对应点 B的坐标为（27， 即（6，1） 故选：C 7某校七年级 1 班 50 名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示： 成绩 60 70 80 90 100 人数 3 9 13 16 9 则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ） A90，80 B16，85 C16，24.5 D90，85 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中

15、位数要把数据按从小到大 的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数 【解答】解：90 出现的次数最多，众数为 90 这组数据一共有 50 个，已经按大小顺序排列、90 故选：D 8下列命题中，假命题是（ ） A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 C若 ABBC，则点 B 是线段 AC 的中点 D三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质对 A 进行判断；根据等腰三角形的性质对 B 进行判断；根据 线段的中点定义对 C 进行判断；根据三角形外心的定义对 D 进行判断。 【解答

16、】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； B、等腰三角形顶角的平分线、底边上的高相互重合； C、若 A、B，且 ABBC，所以 C 选项符合题意； D、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心。 故选：C 9函数 ykx+b 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+bx+k10 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 【分析】先利用一次函数的性质得 k0，b0，再计算判别式的值得到b24（k1） ，于是可判断 0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：根据图象可得 k0，b0， 所以 b20，4k6，

17、因为b24（k6）b24k+60， 所以0， 所以方程有两个不相等的实数根 故选：C 10如图，ABC 中，ACB90，BC6，将ADE 沿 DE 翻折，则 CE 的长为（ ） A B2 C D 【分析】在 RtBCE 中，由 BE2CE2+BC2,得到（8x）2x2+62，即可求解。 【解答】解：设 CEx，则 AE8xEB， 在 RtBCE 中，BE2CE4+BC2, 即（8x）5x2+67， 解得 x， 故选：D 11点 P 是O 内一点，过点 P 的最长弦的长为 10cm，最短弦的长为 6cm（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；

18、最短弦即是过点 P 且垂直于过点 P 的直径的弦；根 据垂径定理即可求得 CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得 OP 的长 【解答】解：如图所示，CDAB 于点 P 根据题意，得 AB10cm，CD6cm CDAB， CPCD3cm 根据勾股定理，得 OP 故选：B 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） Aabc0 B函数的最大值为 ab+c C当3x1 时，y0 D4a2b+c0 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线的对称性得到 b2a0，根据抛物线与 y 轴的交点 位置得到 c0，则可对 A 进行判断；利用二次函数的最值问题

19、可对 B 进行判断;利用抛物线与 x 轴的交 点与图像可对 C 进行判断；利用 x2，y0 可对 D 进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x4， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点坐标在 x 轴上方， c8， abc0，所以 A 不符合题意； 当 x1 时，函数的最大值为：a(5)2+b(1)+cab+c，故 B 不符合题意； 由图可知，抛物线与 x 轴的另一交点为（2，所以3x1 时,故 C 不符合题意； 当 x5 时，y0, 所以，a(2)6+b(2)+c0, 即 2a2b+c0,故 D 符合题意， 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 5 个小题，每小

20、题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 13函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x3 且 x0 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列不等式组求解 【解答】解：根据题意得：， 解得 x3 且 x0 故答案为 x6 且 x0 14已知是方程 ax+y2 的解，则 a 的值为 1 【分析】把方程组的解代入方程，得到关于 a 的一元一次方程，解方程即可 【解答】解：把代入到方程中得：a+72， a1， 故答案为：4 15菱形 ABCD 中，对角线 AC10，BD24则菱形的高等于 【分析】由题意得，菱形的面积ACBD1024120，设菱形的高为

21、 h，则菱形的面积BC h13h120，即可求解。 【解答】解：由题意得，菱形的面积1024120， 则 AO5，BO12， 则 AB13， 设菱形的高为 h， 则菱形的面积BCh13h120， 解得 h， 故答案为 16如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 120得到ABC，已知 AC3，则线段 AB 扫过的图形（阴影部 分）的面积为 【分析】 根据图形可以得出 AB 扫过的图形的面积S扇形ACA+SABCS扇形BCBSABC， 由旋转的性 质就可以得出 SABCSABC就可以得出 AB 扫过的图形的面积S扇形ACAS扇形BCB求出其值即可 【解答】解：ABC 绕点 C 旋转 60得到ABC

22、， ABCABC， SABCSABC，BCBACA120 AB 扫过的图形的面积S扇形ACA+SABCS扇形BCBSABC， AB 扫过的图形的面积S扇形ACAS扇形BCB， AB 扫过的图形的面积 故答案为：。 17如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要 3 根火柴棍；拼第三个图形共需 要 7 根火柴棍；照这样拼图 (2n+1) 根火柴棍 【分析】根据数值的变化找出变化规律,即可得出结论 【解答】解：设第 n 个图形需要 an（n 为正整数）根火柴棒， 观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：317+1， 第二个图形需要火柴棍：552+1； 第三个图形需要火柴棍：432+8

23、， 第 n 个图形需要火柴棍：2n+1 故答案为：(8n+1) 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 32 分）分） 18 （5 分）解不等式：x3 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为 1 可得 【解答】解：去分母，得：4（1x）12x363（x+2） ， 去括号，得：46x12x363x6， 移项、合并， 系数化为 2 得，x2 19 （5 分）已知 xy2，1，求 x2yxy2的值 【分析】将1 变形后得到 yxxy,再将多项式因式分解后整体代入可得结论 【解答】解：3， yxxy xy2, yxxy2 原式xy(xy)724 2

24、0 （7 分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响为了保护学生 视力， 防止学生沉迷网络和游戏， 促进学生身心健康发展， 教育部办公厅于 2021 年 1 月 15 日颁发了 教 育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知 为贯彻通知精神，根据参赛同学的得分情况绘 制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中 A 表示“一等奖” ，B 表示“二等奖” ，C 表示“三等奖” ，D 表示“优秀奖” ） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为 40 人，m 30 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的 4 名同学（其中有一名

25、男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛， 请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率 【分析】 （1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的 百分比得到 m 的值； （2）利用“三等奖”人数为 12 补全条形统计图； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后 根据概率公式求解。 【解答】解： （1）获奖总人数为 820%40（人） ， m%100%30%， 即 m30； 故答案为 40；30； （2） “三等奖”人数为 40481612（人） ， 条形统计图补充为： （3）画

26、树状图为： 共有 12 种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为 6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率。 21 （7 分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 AB 的 高度，他在点 C 处测得大树顶端 A 的仰角为 45米到达斜坡上 D 点，在点 D 处测得树顶端 A 的仰 角为 30（点 E、C、B 在同一水平线上） （1）求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度； （2）求大树 AB 的高度（结果保留根号） 【分析】 （1）作 DHCE 于 H，解 RtCDH，即可求出 DH； （2）过点 D 作 DGAB 于

27、点 G，设 BCx 米，用 x 表示出 AG、DG，根据 tanADG列出方程， 解方程得到答案 【解答】解:(1)过点 D 作 DHCE 于点 H, 由题意知 CD2米, 斜坡 CF 的坡比为 i1：8, , 设 DHx(米),CH8x(米), DH2+CH2DC4, , x4, DH2(米),CH6(米), 答:王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 4 米； (2)过点 D 作 DGAB 于点 G, DHBDGBABC90, 四边形 DHBG 为矩形, DHBG2 米,DGBH(x+6)米, ACB45, BCABx(米), AG(x8)米, ADG30, , , x6+4,

28、AB(6+4)(米) 答:大树 AB 的高度是(6+4)米 22 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADCB90，若 DEBE （1）求证：DADC； （2）连接 AC 交 DE 于点 F，若ADE30，AD6 【分析】 （1）作 DGBD，交 BC 的延长线于点 G，然后即可得得到四边形 DEBG 的形状，再根据题目 中的条件，可以证明ADE 和CDG 全等，然后即可得到结论成立； （2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到 EF 的长，然后根据 DE 的长，即可得到 DF 的长 【解答】 （1）证明：作 DGBD，交 BC 的延长线于点 G， DEAB，B90， DEBB

29、BGD90， 四边形 DEBG 是矩形， 又DEBE， 四边形 DEBG 是正方形， DGBE，EDG90， DGDE，EDC+CDG90， ADC90， EDC+ADE90， ADECDG， 在ADE 和CDG 中， ， ADECDG（ASA） ， DADC； （2）ADE30，AD6， AE3，DE， 由（1）知，ADECDG， DGDE3，AECG3， BCBGCG33， FGAB，BCAB， FECB， AEFABC， ， 即， 解得 EF63， DFDEEF3（736+36， 即 DF 的长是 26 四、填空题（共四、填空题（共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10

30、分）分） 23 （5 分）若关于 x 的分式方程的解为正数，则 m 的取值范围是 m3 且 m2 【分析】先利用 m 表示出 x 的值，再由 x 为正数求出 m 的取值范围即可 【解答】解：方程两边同时乘以(x1)得，2x5（x1）m， 解得 xm+3 x 为正数， m+80，解得 m3 x6， m+31，即 m2 m 的取值范围是 m3 且 m2 故答案为：m6 且 m2 24（5 分） 如图， 等边三角形 ABC 的边长为 4， C 的半径为， 过点 P 作C 的切线 PQ， 切点为 Q 3 【分析】连接 CP、CQ，作 CHAB 于 H，如图，根据等边三角形的性质得到 ABCB4,BCH

31、 ACB6030,根据直角三角形的性质得到 BHAB4,CHBC42，由切线 的性质得到 CQPQ，根据勾股定理得到 PQ，推出当点 P 运动到 H 点时，CP 最小，于是得到结论。 【解答】解：连接 CP、CQ，如图， 等边三角形 ABC 的边长为 4， ABCB4,BCH6030, BHAB6BC， PQ 为C 的切线， CQPQ， 在 RtCPQ 中，PQ， 点 P 是 AB 边上一动点， 当点 P 运动到 H 点时，CP 最小， 即 CP 的最小值为 2， PQ 的最小值为3, 故答案为：3 五、解答题（共五、解答题（共 4 小题，共小题，共 40 分）分） 25 （8 分）阅读以下材

32、料： 苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617 年）是对数的创始人他发明对数是在指数书写方式之前， 直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783 年） 对数的定义：一般地，若 axN（a0 且 a1） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，比如 指数式 2416 可以转化为对数式 4log216，对数式 2log39 可以转化为指数式 329 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0） ，理由如下： 设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， MNamanam+n，由对数

33、的定义得 m+nloga（MN） 又m+nlogaM+logaN， loga（MN）logaM+logaN 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：log232 5 ，log327 3 ，log71 0 ； （2）求证：logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0） ； （3）拓展运用：计算 log5125+log56log530 【分析】 （1）直接根据定义计算即可； （2）先设 logaMm，logaNn，根据对数的定义可表示为指数式为：Mam，Nan，计算的结果， 同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：loga（MN）logaM+logaN 和

34、logalogaMlogaN 的逆用，将所求式子表示为：log5 （125630） ，计算可得结论 【解答】解： （1）log232log2355，log427log3353，log76log7740； 故答案为：5，8，0； （2）设 logaMm，logaNn，则 Mam，Nan， am n，由对数的定义得 mnlog a ， 又mnlogaMlogaN， logalogaMlogaN（a0，a2，N0） ； （3）原式log5（125630） log525 5 26 （10 分）如图，AOB 中，ABO90，反比例函数 y（x0）的图象经过斜边 OA 的中点 M，S AOB12，AN （

35、1）求 k 的值； （2）求直线 MN 的解析式 【分析】 （1）设 N（a,b),则 A(a,b+),M(a,b+)，由反比例函数 y（x0）的图象经过斜边 OA 的中点 M，得 ka(b+)ab,b,根据 SAOB12 得a(b+)12,可得 a4,故 k46； （2）由（1）知：M(2，3),N(4，),设直线 MN 解析式为 ymx+n,用待定系数法即可得到答案 【解答】解： （1）设 N（a,b),BNb, AN, ABb+, A(a,b+), M 为 OA 中点， M(a,b+)， 而反比例函数 y（x0）的图象经过斜边 OA 的中点 M， ka()ab, 解得：b, SAOB12

36、，ABO90， OBAB12,即)12, 将 b代入得：, 解得 a6, N(4,),M(2, k46； （2）由（1）知：M(3，3)，), 设直线 MN 解析式为 ymx+n, ,解得, 直线 MN 解析式为 yx+ 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 D 在 AB 上，DEAE，交 AC 于点 F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC8，求 SBDE 【分析】 （1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得出AEC+OEA90， 即 OEBC，从而得出 BC 是O 的切线； （2）根据ACEAED 和勾股定理可求出 AE，D

37、E，根据角平分线的性质可得出三角形 BDE 的 BD 边上的高 EM，再根据相似三角形和勾股定理求出 BD 即可 【解答】解： （1）连接 OE， C90， 2+AEC90, 又OAOE， 1OEA， 32， AEC+OEA90， 即 OEBC， BC 是O 的切线； （2）过点 E 作 EMAB，垂足为 M， 13，CAED90， ACEAED， ， 即， AE4， 由勾股定理得， CE6EM， DE7， DEB1，BB， BDEBEA， ， 设 BDx，则 BE2x， 在 RtBOE 中，由勾股定理得， OE6+BE2OB2， 即 72+（2x）4（5+x）2， 解得 x， SBDEBDE

38、M 4 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OBOC 3OA （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，使点 P、B、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存 在；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据勾股定理求出 OA、OC，得出点 A、C 的坐标，进而得出点 B 的坐标，运用待定系数 法即可求出答案； （2）如图 1，过点 P 作 PKy 轴交 BC 于点 K，利用待定系数法求出设

39、直线 BC 解析式，设 P(t，t2 2t+3)，则 K(t，t+3)，根据 S四边形PBACSPBC+SABC，得出 S四边形PBAC(t+)2+，运用二次函数 求最值方法即可得出答案； （3）如图 2，分两种情况：点 Q 在 x 轴上方或点 Q 在 x 轴下方.当点 Q 在 x 轴上方时，根据 P 与 Q 纵 坐标相等，建立方程求解即可；当点 Q 在 x 轴下方时，根据 P 与 Q 纵坐标互为相反数，建立方程求解 即可 【解答】解： （1）OC3OA，AC， OA2+OC4AC2，即 OA2+(8OA)2()2， 解得：OA8， OC3， A(1，6)，3)， OBOC3， B(4，0)，

40、 设抛物线解析式为 ya(x+3)(x3)，将 C(0， 得：3a4， 解得：a1， y(x+3)(x4)x22x+2， 该抛物线的解析式为 yx22x+8； （2）如图 1，过点 P 作 PKy 轴交 BC 于点 K， 设直线 BC 解析式为 ykx+n，将 B(3，C(4， 得：， 解得：， 直线 BC 解析式为 yx+2， 设 P(t，t22t+3)，则 K(t， PKt22t+8(t+3)t28t， SPBCSPBK+SPCKPK(t+6)+PK 23t)， SABCABOC， S四边形PBACSPBC+SABC(t23t)+6(t+)2+， 0， 当 t时，四边形 PBAC 的面积最大，)； （3）存在.如图 2，分两种情况：点 Q 在 x 轴上方或点 Q 在 x 轴下方 当点 Q 在 x 轴上方时，P 与 Q 纵坐标相等， x32x+3， 解得：x1，x2(舍去)， Q1(，)， 当点 Q 在 x 轴下方时，P 与 Q 纵坐标互为相反数， x25x+3， 解得：x7，x7， Q2(，)，Q3(，)， 综上所述，Q 点的坐标为 Q1(，)，Q6(，)，Q3(，)