江苏省扬州市2021年中考数学试题（解析版）

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1、 江苏省扬州市江苏省扬州市 2021 年中考数学试题年中考数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰分在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 ） 1. 实数 100的倒数是（ ） A. 100 B. 100 C. 1 100 D. 1 100 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据倒数的定义求解 【详解】解：100的倒数为 1 100 ， 故选 C 【点睛】本题考查了

2、倒数的定义：a（a0）的倒数为 1 a 2. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ） A. 五棱锥 B. 五棱柱 C. 六棱锥 D. 六棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形， 则该几何体为五棱锥， 故选 A 【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键 3. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ） A. 3天内将下雨 B. 打开电视，正在播新闻 C. 买一张电影票，座位号是偶数号 D. 没有水分，种子发芽 【答案】D 【解

3、析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【详解】解：A、3 天内将下雨，是随机事件； B、打开电视，正在播新闻，是随机事件； C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件； D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件； 故选 D 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的 事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可 能发生也可能不发生的事件 4. 不论 x取何值，下列代数式的值不可能为 0 的是（ ） A. 1x B. 2 1x C. 1 1x D. 2 1x 【答案】C 【解析】 【分析

4、】分别找到各式为 0 时的 x值，即可判断 【详解】解：A、当 x=-1 时，x+1=0，故不合题意； B、当 x= 1时，x2-1=0，故不合题意； C、分子是 1，而 10，则 1 1x 0，故符合题意； D、当 x=-1 时， 2 10 x，故不合题意； 故选 C 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值若分式的值为零，需同时具备两个条件： （1）分 子为 0； （2）分母不为 0这两个条件缺一不可 5. 如图，点 A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若100BCD，则 ABDE （ ） A. 220 B. 240 C. 260 D. 280 【答案

5、】D 【解析】 【分析】 连接 BD， 根据三角形内角和求出CBD+CDB， 再利用四边形内角和减去CBD 和CDB的和， 即可得到结果 【详解】解：连接 BD，BCD=100 ， CBD+CDB=180 -100 =80 ， A+ABC+E+CDE=360 -CBD-CDB=360 -80 =280 ， 故选 D 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形 6. 如图，在4 4的正方形网格中有两个格点 A、B，连接AB，在网格中再找一个格点 C，使得ABC是 等腰直角 三角形，满足条件的格点 C的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.

6、5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB 为等腰直角ABC 底边；AB 为等腰直角ABC 其中的一条腰 【详解】解：如图：分情况讨论： AB 为等腰直角ABC底边时，符合条件的 C点有 0 个； AB 为等腰直角ABC其中的一条腰时，符合条件的 C 点有 3个 故共有 3个点， 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合 的思想是数学解题中很重要的解题思想 7. 如图，一次函数2yx的图像与 x轴、y 轴分别交于点 A、B，把直线AB绕点 B顺时针旋转30交 x 轴于点 C，则线段AC长为（ ） A.

7、 62 B. 3 2 C. 23 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数表达式求出点 A 和点 B 坐标，得到OAB 为等腰直角三角形和 AB 的长，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，证明ACD 为等腰直角三角形，设 CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出 BD，得到关于 x 的方程，解之即可 【详解】解：一次函数2yx的图像与 x 轴、y轴分别交于点 A、B， 令 x=0，则 y= 2，令 y=0，则 x=2 ， 则 A（ 2 ，0） ，B（0， 2） ， 则OAB为等腰直角三角形，ABO=45 ， AB= 22 22 =2， 过点 C作 CDAB，垂足为 D，

8、CAD=OAB=45 ， ACD为等腰直角三角形，设 CD=AD=x， AC= 22 ADCD = 2x， 旋转， ABC=30 ， BC=2CD=2x， BD= 22 BCCD = 3x， 又 BD=AB+AD=2+x， 2+x= 3x， 解得：x= 3+1， AC= 2x=2（3+1）=62 ， 故选 A 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质， 勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形 8. 如图，点 P 是函数 1 1 0,0 k ykx x 的图像上一点，过点 P分别作 x 轴和 y轴的垂线，

9、垂足分别为点 A、B，交函数 2 2 0,0 k ykx x 的图像于点 C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中 12 kk，下列 结论：/CDAB； 12 2 OCD kk S ； 2 12 1 2 DCP kk S k ，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设 P（m， 1 k m ） ，分别求出 A，B，C，D 的坐标，得到 PD，PC，PB，PA 的长，判断 PD PB 和 PC PA 的 关 系 ， 可 判 断 ； 利 用 三 角 形 面 积 公 式 计 算 ， 可 得 PDC 的 面 积 ， 可 判 断 ； 再 利 用 OCDOAPBOBDO

10、CADPC SSSSS 计算OCD的面积，可判断 【详解】解：PBy 轴，PAx 轴，点 P 在 1 k y x 上，点 C，D 在 2 k y x 上， 设 P（m， 1 k m ） ， 则 C（m， 2 k m ） ，A（m，0） ，B（0， 1 k m ） ，令 12 kk mx ， 则 2 1 k m x k ，即 D（ 2 1 k m k ， 1 k m ） ， PC= 12 kk mm = 12 kk m ，PD= 2 1 k m m k = 12 1 m kk k ， 12 112 1 m kk kkkPD PBmk ， 12 12 1 1 kk kkPC m k PAk m ，

11、即 PDPC PBPA ， 又DPC=BPA， PDCPBA， PDC=PBC， CDAB，故正确； PDC 的面积= 1 2 PDPC= 12 12 1 1 2 m kkkk km = 2 12 1 2 kk k ，故正确； OCDOAPBOBDOCADPC SSSSS = 1 122 2 12 22 11 2 k k kk k k = 2 12 1 12 2 k k k k k = 2 112 11 12 2 22 kkkk k k k = 2 2 112 2 1 1 22 2 kkkkk k = 22 12 1 2 kk k ，故错误； 故选 B 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和

12、性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是 表示出各点坐标，得到相应线段的长度 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接 填写在填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上）上） 9. 2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博 览会”约有 3020000 个相关结果，数据 3020000用科学记数法表示为_ 【答案】3.02 106 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10

13、，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变 成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】解：将 3020000用科学记数法表示为 3.02 106 故答案为：3.02 106 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 10. 计算： 22 20212020_ 【答案】4041 【解析】 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可 【详解】解： 22 20212020 = 2021 20202021 2020 =4041 1 =4041 故答案为：4041 【点睛

14、】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序 11. 在平面直角坐标系中，若点1,52Pmm在第二象限，则整数 m 的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据第二象限的点的横坐标小于 0，纵坐标大于 0列出不等式组，然后求解即可 【详解】解：由题意得： 10 520 m m ， 解得： 5 1 2 m， 整数 m 的值为 2， 故答案为：2 【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键 12. 已知一组数据：a、4、5、6、7 的平均数为 5，则这组数据的中位数是_ 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数的定义先算出 a 的值，再把数据按从小到

15、大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位 数 【详解】解：这组数据的平均数为 5， 则 4567 5 5 a ， 解得：a=3， 将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7， 观察数据可知最中间的数是 5， 则中位数是 5 故答案为：5 【点睛】本题考查了平均数和中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后， 最中间的那个数（或最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数 13. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数 学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日， 问良马几

16、何日追及之？”题意是：快马每天走 240里，慢马每天走 150 里，慢马先走 12天，试问快马几天 追上慢马？答：快马_天追上慢马 【答案】20 【解析】 【分析】设良马行 x 日追上驽马，根据路程=速度 时间结合两马的路程相等，即可得出关于 x 的一元一次 方程，解之即可得出结论 【详解】解：设快马行 x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日， 依题意，得：240 x=150（x+12） ， 解得：x=20， 快马 20 天追上慢马， 故答案为：20 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 14. 如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm

17、的正方形，该果罐侧面积为_ 2 cm 【答案】100 【解析】 【分析】根据圆柱体的主视图为边长为 10cm 的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积 【详解】解：果罐的主视图是边长为 10cm 的正方形，为圆柱体， 圆柱体的底面直径和高为 10cm， 侧面积1010=100， 故答案为：100 【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据 15. 如图， 在Rt ABC中，90ACB， 点 D是AB的中点， 过点 D作DEBC ， 垂足为点 E， 连接CD， 若5CD ，8BC ，则DE _ 【答案】3 【解析】 【分析】 根据直角三角形的性质得到 A

18、B=10， 利用勾股定理求出 AC， 再说明 DEAC， 得到 1 2 DEBD ACAB ， 即可求出 DE 【详解】解：ACB=90 ，点 D为 AB中点， AB=2CD=10， BC=8， AC= 22 ABBC =6， DEBC，ACBC， DEAC， 1 2 DEBD ACAB ，即 1 62 DEBD AB ， DE=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比 例式 16. 如图，在ABCD中，点 E 在AD上，且EC平分BED，若30EBC，10BE ，则ABCD 的面积为_ 【答案】50 【解析】 【分析】过

19、点 E 作 EFBC，垂足为 F，利用直角三角形的性质求出 EF，再根据平行线的性质和角平分线 的定义得到BCE=BEC，可得 BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可 【详解】解：过点 E作 EFBC，垂足为 F， EBC=30 ，BE=10， EF= 1 2 BE=5， 四边形 ABCD是平行四边形， ADBC， DEC=BCE， 又 EC平分BED，即BEC=DEC， BCE=BEC， BE=BC=10， 四边形 ABCD的面积=BCEF=10 5=50， 故答案为：50 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识 点较多

20、，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出 EF 的长是解题的关键 17. 如图，在ABC中，ACBC，矩形DEFG的顶点 D、E 在AB上，点 F、G 分别在BC、AC上， 若4CF ，3BF ，且2DEEF，则EF的长为_ 【答案】 12 5 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到 GFAB，证明CGFCAB，可得 7 2 x AB ，证明ADGBEF，得到 AD=BE= 3 4 x，在BEF中，利用勾股定理求出 x 值即可 【详解】解：DE=2EF，设 EF=x，则 DE=2x， 四边形 DEFG是矩形， GFAB， CGFCAB， 44 437 GFCF ABCB ，即

21、 24 7 x AB ， 7 2 x AB ， AD+BE=AB-DE= 7 2 2 x x= 3 2 x， AC=BC， A=B，又 DG=EF，ADG=BEF=90 ， ADGBEF（AAS） ， AD=BE= 13 22 x= 3 4 x， 在BEF中， 222 BEEFBF ， 即 2 22 3 3 4 xx ， 解得：x= 12 5 或 12 5 （舍） ， EF= 12 5 ， 故答案为：12 5 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边 对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到 AB 的长 18. 将黑色圆点按如图所示的规律

22、进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，将其中所 有能被 3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第 33 个数为_ 【答案】1275 【解析】 【分析】首先得到前 n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第 n 个图形中的黑色圆点的个数为 1 2 n n ，再判断其中能被 3 整除的数，得到每 3 个数中，都有 2 个能被 3 整除，再计算出第 33 个能被 3 整除的数所在组，为原数列中第 50 个数，代入计算即可 【详解】解：第个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第个图形中的黑色圆点的个数为： 122 2 =3， 第个图形中的黑色圆点的个数为： 133

23、 2 =6， 第个图形中的黑色圆点的个数为： 144 2 =10， . 第 n个图形中的黑色圆点的个数为 1 2 n n ， 则这列数为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，.， 其中每 3个数中，都有 2个能被 3整除， 33 2=16.1， 16 3+2=50， 则第 33个被 3 整除的数为原数列中第 50 个数，即 5051 2 =1275， 故答案为：1275 【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分，请在分，请在答题卡指定区域答题卡

24、指定区域 内作答，解答时应写出必要内作答，解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤）的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1） 0 1 |33|tan60 3 ； （2） 11 ab ab 【答案】 （1）4； （2）ab 【解析】 【分析】 （1）分别化简各数，再作加减法； （2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算 【详解】解： （1） 0 1 |33|tan60 3 =1 3 33 =4； （2） 11 ab ab = ab ab ab = ab ab ab =ab 【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，

25、解题的关键是 熟练掌握运算法则 20. 已知方程组 27 1 xy xy 的解也是关于 x、y的方程 4axy的一个解，求 a 的值 【答案】 1 2 a 【解析】 【分析】求出方程组的解得到 x 与 y 的值，代入方程计算即可求出 a的值 【详解】解：方程组 27 1 xy xy ， 把代入得： 217yy ， 解得： 3y ，代入中， 解得：2x， 把2x， 3y 代入方程 4axy得，2 34a ， 解得： 1 2 a 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程 成立的未知数的值 21. 为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日

26、健身操”活动，为了解学生对“每日健身操” 活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图 A非常喜欢 B比较喜欢 C无所谓 D不喜欢 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度 人数 A非常喜欢 50 人 B比较喜欢 m人 C无所谓 n 人 D不喜欢 16 人 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_； （2）扇形统计图中表示 A程度的扇形圆心角为_，统计表中m_； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校 2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包 含非常喜欢和比较喜欢） 【答案】

27、 （1）200； （2）90，94； （3）1440 名 【解析】 【分析】 （1）用 D 程度人数除以对应百分比即可； （2）用 A程度的人数与样本人数的比值乘以 360 即可得到对应圆心角，算出 B 等级对应百分比，乘以样本 容量可得 m值； （3）用样本中 A、B程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可 【详解】解： （1）16 8%=200， 则样本容量是 200； （2） 50 200 360 =90 ， 则表示 A 程度的扇形圆心角为 90 ； 200 （1-8%-20%- 50 200 100%）=94， 则 m=94； （3） 5094 2000 200 =1440名，

28、 该校 2000名学生中大约有 1440名学生喜欢“每日健身操”活动 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 22. 一张圆桌旁设有 4 个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙 2 人等可能地坐到、中的 2 个座位上 （1）甲坐在号座位的概率是_； （2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率 【答案】 （1） 1 3 ； （2） 2 3 【解析】 【分析】 （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画树状图，共有 6 种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有 4种

29、，再由概率公式求解即可 【详解】解： （1）丙坐了一张座位， 甲坐在号座位的概率是 1 3 ； （2）画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有 4种， 甲与乙相邻而坐的概率为 4 6 = 2 3 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了 20%，现在 生产 240万剂疫苗所用的时间比原先生产 220 万剂疫苗所用的时间少 0.5天，问原先每天生产多少万剂疫 苗？ 【答案】40 万 【解析】 【分析】设原先每天生产 x 万剂疫

30、苗，根据现在生产 240 万剂疫苗所用的时间比原先生产 220万剂疫苗所用 的时间少 0.5天可得方程，解之即可 【详解】解：设原先每天生产 x 万剂疫苗， 由题意可得： 240220 0.5 120% xx ， 解得：x=40， 经检验：x=40 是原方程的解， 原先每天生产 40 万剂疫苗 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答必须 严格按照这 5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性 24. 如图，在ABC中，BAC的角平分线交BC于点 D， / /,/ /DEAB DFAC （1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由； （2）若9

31、0BAC，且2 2AD ，求四边形AFDE的面积 【答案】 （1）菱形，理由见解析； （2）4 【解析】 【分析】 （1）根据 DEAB，DFAC判定四边形 AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的 定义得到EDA=EAD，可得 AE=DE，即可证明； （2）根据BAC=90 得到菱形 AFDE 是正方形，根据对角线 AD 求出边长，再根据面积公式计算即可 【详解】解： （1）四边形 AFDE 是菱形，理由是： DEAB，DFAC， 四边形 AFDE 是平行四边形， AD平分BAC， FAD=EAD， DEAB， EDA=FAD， EDA=EAD， AE=DE， 平行四边形 AFD

32、E 是菱形； （2）BAC=90 ， 四边形 AFDE 是正方形， AD=2 2， AF=DF=DE=AE= 2 2 2 =2， 四边形 AFDE 的面积为 2 2=4 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是 掌握特殊四边形的判定方法 25. 如图，四边形ABCD中，/ /ADBC，90BAD，CBCD，连接BD，以点 B 为圆心，BA长 为半径作B，交BD于点 E （1）试判断CD与B的位置关系，并说明理由； （2）若2 3AB ，60BCD，求图中阴影部分的面积 【答案】 （1）相切，理由见解析； （2）2 3 【解析】 【分析】 （1

33、）过点 B作 BFCD，证明ABDFBD，得到 BF=BA，即可证明 CD 与圆 B 相切； （2）先证明BCD是等边三角形，根据三线合一得到ABD=30 ，求出 AD，再利用 SABD-S扇形ABE求出阴 影部分面积 【详解】解： （1）过点 B作 BFCD， ADBC， ADB=CBD， CB=CD， CBD=CDB， ADB=CDB，又 BD=BD，BAD=BFD=90 ， ABDFBD（AAS） ， BF=BA，则点 F 在圆 B上， CD与圆 B相切； （2）BCD=60 ，CB=CD， BCD是等边三角形， CBD=60 BFCD， ABD=DBF=CBF=30 ， ABF=60

34、， AB=BF=2 3， AD=DF=tan30AB=2， 阴影部分的面积=SABD-S扇形ABE = 2 302 3 1 2 32 2360 =2 3 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角 函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 2 yxbxc的图像与 x轴交于点1,0A 、3,0B，与 y 轴交于点 C （1）b_，c_； （2）若点 D在该二次函数的图像上，且2 ABDABC SS，求点 D 的坐标； （3）若点 P是该二次函数图像上位于 x轴上方的一点，且 A

35、PCAPB SS，直接写出点 P 的坐标 【答案】 （1）-2，-3； （2） （11 0，6）或（110，6） ； （3） （4，5） 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出ABC 的面积，设点 D（m， 2 23mm） ，再根据 2 ABDABC SS，得到方程求出 m值，即 可求出点 D的坐标； （3）分点 P在点 A左侧和点 P 在点 A 右侧，结合平行线之间的距离，分别求解 【详解】解： （1）点 A和点 B在二次函数 2 yxbxc图像上， 则 01 093 bc bc ，解得： 2 3 b c ， 故答案为：-2，-3； （2）连接 BC，由题意可得：

36、A（-1，0） ，B（3，0） ，C（0，-3） ， 2 23yxx， SABC= 1 4 3 2 =6， SABD=2SABC，设点 D（m， 2 23mm） ， 1 26 2 D ABy，即 2 1 42326 2 mm ， 解得：x=1 10 或110，代入 2 23yxx， 可得：y值都为 6， D（1 10 ，6）或（1 10 ，6） ； （3）设 P（n， 2 23nn） ， 点 P在抛物线位于 x 轴上方的部分， n-1 或 n3， 当点 P在点 A左侧时，即 n-1， 可知点 C 到 AP 的距离小于点 B到 AP的距离， APCAPB SS ，不成立； 当点 P点 B右侧时，

37、即 n3， APC和APB都以 AP 为底，若要面积相等， 则点 B和点 C到 AP的距离相等，即 BCAP， 设直线 BC的解析式为 y=kx+p， 则 03 3 kp p ，解得： 1 3 k p ， 则设直线 AP 的解析式为 y=x+q，将点 A（-1，0）代入， 则-1+q=0，解得：q=1， 则直线 AP的解析式为 y=x+1，将 P（n， 2 23nn）代入， 即 2 231nnn， 解得：n=4或 n=-1（舍） ， 2 235nn， 点 P的坐标为（4，5） 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离， 一次函数，解题的难点在于

38、将同底的三角形面积转化为点到直线的距离 27. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段2BC ，使用作图工具作30BAC，尝试操作后思考： （1）这样的点 A唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点 B、C 除外） ，小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 该弧所在圆的半径长为_； ABC面积的最大值为_； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示的弓形内部，我们 记为 A ，

39、请你利用图 1 证明30BAC； （3） 请你运用所学知识， 结合以上活动经验， 解决问题： 如图 2， 已知矩形ABCD的边长2AB ，3BC ， 点 P 在直线CD的左侧，且 4 tan 3 DPC 线段PB长的最小值为_； 若 2 3 PCDPAD SS，则线段PD长为_ 【答案】 （1）2；32； （2）见解析； （3） 975 4 ； 7 2 4 【解析】 【分析】 （1）设 O为圆心，连接 BO，CO，根据圆周角定理得到BOC=60 ，证明OBC是等边三角形， 可得半径； 过点 O 作 BC的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D，以 BC为底，则当 A与 D 重合时，ABC的面

40、积 最大，求出 OE，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长 BA，交圆于点 D，连接 CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； （3）根据 4 tan 3 DPC，连接 PD，设点 Q为 PD中点，以点 Q为圆心， 1 2 PD 为半径画圆，可得点 P 在优弧 CPD 上，连接 BQ，与圆 Q 交于 P，可得 BP即为 BP 的最小值，再计算出 BQ 和圆 Q的半径，相 减即可得到 BP； 根据AD， CD和 2 3 PCDPAD SS推出点P在ADC的平分线上， 从而找到点P的位置， 过点C作CFPD， 垂足为 F，解直角三角形即可求出 DP 【详解】解： （1）设 O为圆心，连

41、接 BO，CO， BAC=30 ， BOC=60 ，又 OB=OC， OBC是等边三角形， OB=OC=BC=2，即半径为 2； ABC 以 BC 为底边，BC=2， 当点 A 到 BC 的距离最大时，ABC的面积最大， 如图，过点 O 作 BC的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D， BE=CE=1，DO=BO=2， OE= 22 BOBE = 3， DE= 32 ， ABC的最大面积为 1 232 2 = 32 ； （2）如图，延长 BA，交圆于点 D，连接 CD， 点 D在圆上， BDC=BAC， BAC=BDC+ACD， BACBDC， BACBAC，即BAC30 ； （3）如图，

42、当点 P在 BC上，且 PC= 3 2 时， PCD=90 ，AB=CD=2，AD=BC=3， tanDPC= CD PC = 4 3 ，为定值， 连接 PD，设点 Q为 PD中点，以点 Q为圆心， 1 2 PD为半径画圆， 当点 P 在优弧 CPD 上时，tanDPC= 4 3 ，连接 BQ，与圆 Q交于 P， 此时 BP即为 BP 的最小值，过点 Q 作 QEBE，垂足为 E， 点 Q是 PD中点， 点 E为 PC中点，即 QE= 1 2 CD=1，PE=CE= 1 2 PC= 3 4 ， BE=BC-CE=3- 3 4 = 9 4 ， BQ= 22 BEQE= 97 4 ， PD= 22

43、 CDPC = 5 2 ， 圆 Q的半径为 155 224 ， BP=BQ-PQ= 975 4 ，即 BP最小值为 975 4 ； AD=3，CD=2， 2 3 PCDPAD SS， 则 2 3 CD AD ， PAD中 AD 边上的高=PCD 中 CD边上的高， 即点 P到 AD的距离和点 P到 CD的距离相等， 则点 P到 AD和 CD 的距离相等，即点 P 在ADC 的平分线上，如图， 过点 C作 CFPD，垂足F， PD平分ADC， ADP=CDP=45 ， CDF为等腰直角三角形，又 CD=2， CF=DF= 2 2 = 2， tanDPC= CF PF = 4 3 ， PF= 3

44、2 4 ， PD=DF+PF= 3 2 2 4 = 7 2 4 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题， 解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点 P 的轨迹 28. 甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000元，那么 50辆汽车可以全部租出如果每辆汽车的月租费 每增加 50 元，那么将少租出 1 辆汽车另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 200 元 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500元，无论是否租出

45、汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 1850 元 说明：汽车数量为整数 ； 月利润=月租车费-月维护费； 两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当每个公司租出的汽车为 10辆时，甲公司的月利润是_元；当每个公司租出的汽车为_ 辆时，两公司的月利润相等； （2）求两公司月利润差的最大值； （3）甲公司热心公益事业，每租出 1辆汽车捐出 a元0a 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润 仍高于乙公司月利润， 且当两公司租出的汽车均为 17辆时， 甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大， 求 a的取值

46、范围 【答案】 （1）48000，37； （2）33150 元； （3）50150a 【解析】 【分析】 （1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以 10，减去维护费用可得甲公司的月利 润；设每个公司租出的汽车为 x 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为 y甲，y乙，月利润差为 y，同（1）可得 y甲和 y乙的表达式，再分甲公司的利 润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出 y关于 x的表达式，根据二次函数的性质，结合 x 的范围求出最值，再比较即可； （3）根据题意得到利润差为 2 5018001850yxa x ，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为 17 辆，结合 x 为整数可得关于 a的不等式 1800 16.517.5 100 a ，即可求出 a 的范围 【详解】解： （1） 501050300010200 10 =48000元， 当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是 48000元； 设每个公司租出汽车为 x辆， 由题意可得： 5050300020035001850 xxxx ， 解得：x=37或 x=-1（舍） ， 当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等； （2）设两公司的月利润分别为 y甲，y乙，月利润差为 y， 则 y甲=