2021年七年级下期末数学备考之新定义（含答案）
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1、 第 1 页（共 40 页） 2021 年七年级下期末数学备考之新定义年七年级下期末数学备考之新定义 1如图，数轴上两点 A、B 对应的数分别是1，1，点 P 是线段 AB 上一动点，给出如下定义：如果在数 轴上存在动点 Q，满足 PQ2，那么我们把这样的点 Q 表示的数称为连动数，特别地，当点 Q 表示的数 是整数时我们称为连动整数 （1）3，0，2.5 是连动数的是 ； （2）关于 x 的方程 2xmx+1 的解满足是连动数，求 m 的取值范围 ； （3）当不等式组的解集中恰好有 4 个解是连动整数时，求 a 的取值范围 2阅读材料： 平面直角坐标系中点 P（x，y）的横坐标 x 的绝对值
2、表示为|x|，纵坐标 y 的绝对值表示为|y|，我们把点 P （x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 P（x，y）的折线距离，记为P，即P|x|+|y|，其中的 “+”是四则运算中的加法，例如点 P（1，2）的折线距离P|1|+|2|3 【解决问题】 （1）已知点 A（2，4） ，B（+，） ，直接写出 A、B 的折线距离A，B； （2）若点 M 满足M2， 当点 M 在 x 轴的上方时，且横坐标为整数，求点 M 的坐标； 正方形 EFGH 的两个顶点坐标分别为 E（t，0） ，F（t1，0） ，当正方形 EFGH 上存在点 M 时，直接 写出 t 的取值范围 第 2 页（共 40 页）
3、 3如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程 例如：方程 2x60 的解为 x3，不等式组的解集为 2x5，因为 235，所以，称方 程 2x60 为不等式组的关联方程 （1）在方程5x100，x+10，2x（3x+1）5 中，不等式组的关联方 程是 ； （填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ； （写出一个 即可） （3）若方程 5x2x+2，3+x2（x+）都是关于 x 的不等式组的关联方程，求 m 的取值 范围 第 3 页（共 40 页） 4 在平面直角坐标系 xOy 中， 横、 纵坐标都是整数的点叫做整点
4、 给出如下定义： 对于任意两个整点 M （x1， y1） ，N（x2，y2） ，M 与 N 的“直角距离”记为 dMN，dMN|x1x2|+|y1y2| 例如，点 M（1，5）与 N（7，2）的“直角距离”dMN|17|+|52|9 （1）已知点 A（4，1） 点 A 与点 B（1，3）的“直角距离”dAB ； 若点 A 与整点 C（2，m）的“直角距离”dAC8，则 m 的值为 ； （2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平 行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格小明建立平面直角坐标系画出了此 社区的示意图（如图所示） 为
5、了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站 P，要求是：消防站与 各个火警高危点的“直角距离”之和最小目前该社区内有两个火警高危点，分别是 D（2，1）和 E（2，2） 若对于火警高危点 D 和 E，消防站 P 不仅要满足上述条件，还需要消防站 P 到 D，E 两个点的“直角 距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站 P 的坐标可以是 （写出一个即可） ，所有满足条件 的消防站 P 的位置共有 个； 在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点 F（4，2） ，那么满足与这三个火警高危点的“直角距 离”之和最小的消防站 P 的坐标为 5小聪和小明在学习了平面直角坐标系后，感受到平面直角坐标系对
6、研究数学问题的价值，产生了强烈的 兴趣于是尝试着定义了平面直角坐标系 xOy 中任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的一种新的距离： 小聪定义了 P1，P2的“分解距离” ，如下： 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2） 若|x1x2|y1y2|，则|x1x2|为点 P1与点 P2的“分解距离” ，即 d分解（P，Q）|x1x2|； 第 4 页（共 40 页） 若|x1x2|y1y2|，则|y1y2|为点 P1与点 P2的“分解距离” ，即 d分解（P，Q）|y1y2| 小明定义了 P1，P2的“和距离” ，如下： 在平面直角坐标系
7、xOy 中，对于任意两点 P1（1，y1）与 P2（x2，y2） 点 P1，P2的“和距离”为|x1x2|与|y1y2|的和，即 d和（P，Q）|x1x2|+|y1y2| 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系 xOy 中， （1）已知点 A（2，1） ，则 d分解（A，O） ；d和（A，O） ； （2）若点 B（x，4x）在第一象限，且点 d分解（B，O）3求点 B 的坐标； （3）若点 C（x，y） （x0，y0） ，且点 d和（C，O）3写出符合题意的三个点 C 的坐标，并在 图 1 中描出相应的点，并观察图形，判断这些点是否在一条直线上 若点 E，F 满足 d分解（E，O）d和
8、（F，O）3，请分别画出并描述所有符合条件的点 E 围成的图形 和点 F 围成的图形，并直接写出两个图形重合部分的面积 6在平面直角坐标系中，若 P、Q 两点的坐标分别为 P（x1，y1）和 Q（x2，y2） ，则定义|x1x2|和|y1y2| 中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）为 P、Q 两点的“最佳距离” ，记为 d（P，Q）例如： P（2，3） ，Q（0，2） 因为|x1x2|20|2；|y1y2|32|1，而 21，所以 d（P，Q）|32|1 （1）请直接写出 A（1，1） ，B（3，4）的“最佳距离”d（A，B） ； （2）点 D 是坐标轴上的一点，它与点 C（1，3）的
9、“最佳距离”d（C，D）2，请写出点 D 的坐 标 ； （3）若点 M（m+1，m10）同时满足以下条件： 第 5 页（共 40 页） a）点 M 在第四象限； b）点 M 与点 N（5，0）的“最佳距离”d（M，N）2； c）MON45（O 为坐标原点） ； 请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M 的坐标 7如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（5，0） ，B（1，0） ，M（0，5） ，N（5，0） ，连接 MN，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD （1）直接写出 C，D 两点的坐标； （2）将正方形 ABCD 向右平移 t 个单位长度，得到正方形 ABCD 当点 C
10、落在线段 MN 上时，结合图形直接写出此时 t 的值； 横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形 ABCD和三角形 OMN 重叠的区域（不含边界） 为 W，若区域 W 内恰有 3 个整点，直接写出 t 的取值范围 第 6 页（共 40 页） 8对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 G 和图形 G 上的任意点 P（x，y） ，给出如下定义： 将点 P（x，y）平移到 P（x+t，yt）称为将点 P 进行“t 型平移” ，点 P称为将点 P 进行“t 型平移” 的对应点；将图形 G 上的所有点进行“t 型平移”称为将图形 G 进行“t 型平移” 例如，将点 P（x，y） 平移到 P（x+1，y1）
11、称为将点 P 进行“l 型平移” ，将点 P（x，y）平移到 P（x1，y+1）称为将点 P 进行“l 型平移” 已知点 A （2，1）和点 B （4，1） （1）将点 A （2，1）进行“l 型平移”后的对应点 A的坐标为 （2）将线段 AB 进行“l 型平移”后得到线段 AB，点 P1（1.5，2） ，P2（2，3） ，P3（3，0）中， 在线段 AB上的点是 若线段 AB 进行“t 型平移”后与坐标轴有公共点，则 t 的取值范围是 （3）已知点 C （6，1） ，D （8，1） ，点 M 是线段 CD 上的一个动点，将点 B 进行“t 型平移”后得 到的对应点为 B，当 t 的取值范围是
12、 时，BM 的最小值保持不变 9在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的“识别距离” ，给出如下定义： 若|x1x2|y1y2|，则点 P1（x1，y1）与点 P2（x2，y2）的“识别距离”为|x1x2|；若|x1x2|y1y2|， 则 P1（x1，y1）与点 P2（x2，y2）的“识别距离”为|y1y2|； （1）已知点 A（2，0） ，B 为 y 轴上的动点， 若点 A 与 B 的“识别距离为 3” ，写出满足条件的 B 点的坐标 直接写出点 A 与点 B 的“识别距离”的最小值 第 7 页（共 40 页） （2） 已知 C 点坐标为 C （
13、m， 2m+2） ， D （0， 1） ， 写出点 C 与 D 的 “识别距离” 的最小值 ， 及相应的 C 点坐标 10在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式， 求绝对值不等式|x|a（a0）和|x|a（a0）的解集 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求|x|2 和|x|2 的解集确定|x|2 的解集过程如下： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于 2 的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如 图： 所以，|x|2 的解集是 x2 或 再来确定|x|2 的解集： 同样根据绝对值
14、的几何定义， 在数轴上找到原点的距离小于 2 的所有点所表示的 数，在数轴上确定范围如图： 所以，|x|2 的解集为： 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|a（a0）的解集为 ，|x|a（a0）的解集 为 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： （1）请将小明的探究过程补充完整； （2）求绝对值不等式 2|x+1|35 的解集 第 8 页（共 40 页） 11如图，对于平面直角坐标系中的任意两点 A，B 给出如下定义：过点 A 作直线 mx 轴，过点 B 作直线 ny 轴，直线 m，n 交于点 C，我们把 BC 叫做 A，B 两点之间的水平宽，记作 d1（A，B） ，
15、即 d1（A，B） |xAxB|，把 AC 叫做 A，B 两点之间的铅垂高，记作 d2（A，B） ，即 d2（A，B）|yAyB| 特别地，当 ABx 轴时，规定 A，B 两点之间的水平宽为 0，即 d1（A，B）0，A，B 两点之间的铅垂 高为线段 AB 的长，即 d2（A，B）|yAyB|； 当 ABy 轴时，规定 A，B 两点之间的水平宽为线段 AB 的长，即 d1（A，B）|xAxB|，A，B 两点之 间的铅垂高为 0，即 d2（A，B）0； （1）已知 O 为坐标原点，点 P（2，1） ，则 d1（O，P） ，d2（O，P） （2）已知点 Q（3t，2t+2） 若点 D（0，2） ，
16、d1（Q，D）+d2（Q，D）5，求 t 的值； 若点 D（2t，3t） ，直接写出 d1（Q，D）+d2（Q，D）的最小值 12在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意一点 P（x，y） ，定义点 P 的“差距离”d（P）为：d（P）|x y|例如：已知点 P（4，3） ，则 d（P）|43|1 解决下列问题： （1）已知点 A（0，4） ，则 d（A） ； （2）如图，点 M（0，2） ，N（3，2） ，Q 是线段 MN 上的一动点， 若 d（Q）1，求点 Q 的坐标； 线段 MN 向右平移 m 个单位（m0） ，点 Q 的对应点为 Q，如果 d（Q）2，求 m 的取值范围； 线段 MN 向
17、右平移 a 个单位（a0） ，向上平移 b 个单位（b0）后得到线段 MN若线段 MN 上“差距离”为 1 的点恰有两个，直接写出 ab 的取值范围 第 9 页（共 40 页） 13对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P（a，b） ，若 P（a+kb，ka+b） （其中 k 为常数，且 k0） ，则称点 P为点 P 的“k 属派生点” 例如：P（1，4）的“2 属派生点”为 P（1+24，21+4） ，即 P（9，6） （1）点 P（2，3）的“3 属派生点”P的坐标为 （2）若点 P 的“5 属派生点”P的坐标为（3，9） ，求点 P 的坐标 （3）若点 P 在 x 轴的正半轴上，点 P 的
18、“k 属派生点”为 P点，且线段 PP的长度为线段 OP 长度的 2 倍，求 k 的值 14对于一个数 x，我们用（x表示小于 x 的最大整数，例如： （2.62， （34， （109 （1）填空： （2020 ， （2.4 ， （0.7 ； （2）如果 a，b 都是整数，且（a和（b互为相反数，求代数式 a2b2+4b 的值； （3）如果|（x|3，求 x 的取值范围 第 10 页（共 40 页） 15如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程 （1） 在方程3x10； x+10； x （3x+1） 5中， 不等式组关联方程是 （填 序号） （2）若
19、不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 （写出一个即可） （3）若方程 9x2x，3+x2（x+）都是关于 x 的不等式组的关联方程，试求出 m 的取值 范围 16如果 x 是一个有理数，我们定义x表示不小于 x 的最小整数 如3.24，2.62，55，66 由定义可知，任意一个有理数都能写成 xxb 的形式（0b1） （1）直接写出x与 x，x+1 的大小关系： 提示 1：用“不完全归纳法”推导x与 x，x+1 的大小关系； 提示 2：用“代数推理”的方法推导x与 x，x+1 的大小关系 （2）根据（1）中的结论解决下列问题： 直接写出满足3m+74 的 m 取值范围； 直接
20、写出方程3.5n22n+1 的解 第 11 页（共 40 页） 17如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的一个关联 方程如一元一次方程 2x13 的解是 x2，一元一次不等式组的解集是x3，我们就 说一元一次方程 2x13 是一元一次不等式组的一个关联方程 （1） 在方程3x10， 2x40， x+ （2x1） 7中， 不等式组的关联方程是 ； （填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ； （写出一个 即可） （3）若方程 9x2x，3+x2（x+）都是关于 x 的不等式组的关联方程，直接写出 m 的取 值范围 18如
21、果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程 （1）在方程x（3x+1）5；+10；3x10 中，不等式组的关联方程是 （填序号） （2）若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 （写出一个即 可） （3）若方程xx，3+x2（x+）都是关于 x 的不等式组的关联方程，直接写出 m 的取值范围 第 12 页（共 40 页） 19如果 A，B 都是由几个不同整数构成的集合，由属于 A 又属于 B 的所有整数构成的集合叫做 A，B 的交 集，记作 AB例如： 若 A1，2，3，B3，4，5，则 AB3； 若 A0，62，37，2，B2，1，37
22、，5，0，19，则 AB37，0，2 （1）已知 C4，3，D4，5，6，则 CD ； （2）已知 E1，m，2，F6，7，且 EFm，则 m ； （3） 已知 P2m+1， 2m1， Qn， n+2， n+4， 且 PQm， n， 如果关于 x 的不等式组， 恰好有 2019 个整数解，求 a 的取值范围 2021 年七年级下期末数学备考之新定义年七年级下期末数学备考之新定义 一解答题（共一解答题（共 19 小题）小题） 1如图，数轴上两点 A、B 对应的数分别是1，1，点 P 是线段 AB 上一动点，给出如下定义：如果在数 轴上存在动点 Q，满足 PQ2，那么我们把这样的点 Q 表示的数称
23、为连动数，特别地，当点 Q 表示的数 是整数时我们称为连动整数 （1）3，0，2.5 是连动数的是 3，2.5 ； （2）关于 x 的方程 2xmx+1 的解满足是连动数，求 m 的取值范围 4m2 或 0m2 ； （3）当不等式组的解集中恰好有 4 个解是连动整数时，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据连动数的定义即可确定； （2）求得方程的解，根据新定义得出或，解得即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于 a 的不等式，解不等式即可求得 【解答】解： （1）3，0，2.5 是连动数的是3，2.5， 故答案为3，2.5； 第 13 页（共 40 页） （2）解关于 x 的
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