2021年山东省德州市德城区中考数学二模试卷（含答案详解）

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1、 2021 年山东省德州市德城区中考数学二模试卷年山东省德州市德城区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 48 分）分） 1 （4 分）|3|的相反数是（ ） A3 B3 C D 2（4分） 根据国家卫健委最新数据， 截至到2021年4月2日， 全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000 剂次，将 133801000 用科学记数法表示为（ ） A1.33801107 B1.33801108 C13.3801107 D0.133801109 3 （4 分）下列运算正确的是（ ） A （x2）3x5 Bx2+x3x5 Cx3x4x7 D2x3x

2、31 4 （4 分）关于代数式 x+的结果，下列说法一定正确的是（ ） A比 x 大 B比 x 小 C比大 D比小 5 （4 分）若式子有意义，则函数 ykx+1 和 y的图象可能是（ ） A B C D 6 （4 分）如图，王老师将汽车停放放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高 AB 为 16dm，汽车轮胎的直 径为 80dm，请你计算直角顶点到轮胎与底面接触点 BC 长为（ ） A35dm B32dm C30dm D33dm 7 （4 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函 数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流

3、不能超过 6A，那么用电器的可 变电阻 R 应控制在（ ） AR2 B0R2 CR1 D0R1 8 （4 分）某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6 月 1 日儿童节那天，全场打 7 折，某 宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花 350 元购买到的衣服件数比现在少 2 件，设原价 是 x 元，则根据题意可列出方程（ ） A B C2 D2 9 （4 分）若以关于 x、y 的二元一次方程 x+2yb0 的解为坐标的点（x，y）都在直线 yx+b1 上， 则常数 b 的值为（ ） A B1 C1 D2 10 （4 分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10cm，OA

4、 是滑轮的一条半径，当 OA 绕轴心 O 按 逆时针方向旋转 180时，重物上升的高度为（ ） A10cm B10cm C5cm D5cm 11 （4 分）如图，RtABC 中，ACB90，B30，SABC2，将ABC 绕点 C 逆时针旋转至 ABC，使得点 A恰好落在 AB 上，AB与 BC 交于点 D，则 SACD为（ ） A+1 B C D21 12 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角 AC、BD 的交点，过点 O 作射线 OM、ON 分别交 BC、 CD 于点 E、F，且EOF90，EF、OC 交于点 G给出下列结论：COEDOF；OGE FGC； 四边形 CEOF

5、 的面积为正方形 ABCD 面积的； DF2+BE2OGOC 其中正确的是 （ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 24 分）分） 13 （4 分）的算术平方根是 14 （4 分）分解因式：x39x 15 （4 分）若关于 x 的分式方程1有增根，则 m 的值为 16 （4 分）如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点分别过点 E，F 沿着平 行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的DEF 的周长是 17 （4 分）如图，等边ABC 中，BC6，O、H 分别为边 AB、AC 的三等分点，AHAC，AOAB， 将

6、ABC 绕点 B 顺时针旋转 100到A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分的面积 为 18 （4 分）我们知道写成小数形式即 0. ，反过来，无限循环小数 0. 写成分数形式即一般地，任何 一个无限循环小数都可以写成分数形式以无限循环小数 0. 为例：设 0. x，由 0. 0.777可知， 10 x7.777，所以 10 xx7，解方程，得 x，于是 0. 运用以上方法，可求得 0.写成分数形式为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 78 分）分） 19 （8 分）先化简，再求值：，请在2m1 的范围内取一个自己喜欢的数代 入求值 20 （10

7、 分）2017 年 9 月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书” ，本次“统编本” 教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对 A三国演义 、B红楼梦 、C 西游记 、D水浒四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每 名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图： （1）本次一共调查了 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3） 某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍， 请用树状图或列表的方法求 恰好选中三国演义和红楼梦的概率 21 （10 分）如图，山区某教学楼

8、后面紧邻着一个土坡，坡面 BC 平行于地面 AD，斜坡 AB 的坡比为 i1： ，且 AB26 米 （1）求坡顶与地面的距离 BE 的长 （2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过 53 时，可确保山体不滑坡学校计划将斜坡 AB 改造成 AF（如图所示） ，那么 BF 至少是多少米？（结果精 确到 1 米） （参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.33） 22 （12 分）某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的每天销售量 y（千克） 与销售单价 x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的

9、四组对应值如下表所示： 销售单价 x（元/千 克） 55 60 65 70 销售量 y（千克） 70 60 50 40 （1）求 y（千克）与 x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23 （12 分）直角三角板 ABC 的斜边 AB 的两个端点在O 上，已知BAC30，直角边 AC 与O 相交 于点 D，且点 D 是劣弧 AB 的中点 （1）如图 1，判断直角边 BC 所在直线与O 的位置关系，并说明理由； （2）如图 2，点 P 是斜边 AB 上的一个

10、动点（与 A、B 不重合） ，DP 的延长线交O 于点 Q，连接 QA、 QB AD6，PD4，则 AB ；PQ ； 当点 P 在斜边 AB 上运动时，求证：QA+QBQD 24 （12 分）如图 1 所示，在四边形 ABCD 中，点 O，E，F，G 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点，连接 OE，EF，FG，GO，GE （1）证明：四边形 OEFG 是平行四边形； （2）将OGE 绕点 O 顺时针旋转得到OMN，如图 2 所示，连接 GM，EN 若 OE，OG1，求的值； 试在四边形 ABCD 中添加一个条件，使 GM，EN 的长在旋转过程中始终相等 （不要求证明） 25 （14 分）如

11、图 1，在平面直角坐标系中，直线 y5x+5 与 x 轴，y 轴分别交于 A，C 两点，抛物线 y x2+bx+c 经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为 B （1）求抛物线解析式及 B 点坐标； （2） 若点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点， 连接 MA、 MB、 BC， 当点 M 运动到某一位置时， 四边形 AMBC 面积最大，求此时点 M 的坐标及四边形 AMBC 的面积； （3）如图 2，若 P 点是半径为 2 的B 上一动点，连接 PC、PA，当点 P 运动到某一位置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由 2021 年山东省德州市德城区中考数学二模试卷年山东省德

12、州市德城区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 48 分）分） 1 （4 分）|3|的相反数是（ ） A3 B3 C D 【解答】解：|3|3， 3 的相反数是3 故选：A 2（4分） 根据国家卫健委最新数据， 截至到2021年4月2日， 全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000 剂次，将 133801000 用科学记数法表示为（ ） A1.33801107 B1.33801108 C13.3801107 D0.133801109 【解答】解：1338010001.33801108 故选：B 3 （4

13、 分）下列运算正确的是（ ） A （x2）3x5 Bx2+x3x5 Cx3x4x7 D2x3x31 【解答】解：A、 （x2）3x6，此选项错误； B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误； C、x3x4x7，此选项正确； D、2x3x3x3，此选项错误； 故选：C 4 （4 分）关于代数式 x+的结果，下列说法一定正确的是（ ） A比 x 大 B比 x 小 C比大 D比小 【解答】解：0， 代数式 x+的结果比 x 大， 故选：A 5 （4 分）若式子有意义，则函数 ykx+1 和 y的图象可能是（ ） A B C D 【解答】解：式子有意义， k0， 当 k0 时，一次函数 ykx+

14、1 的图象经过原点，过第一、二、四象限，反比例函数 y的图象在 第二、四象限， 四个选项中只有 B 符合， 故选：B 6 （4 分）如图，王老师将汽车停放放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高 AB 为 16dm，汽车轮胎的直 径为 80dm，请你计算直角顶点到轮胎与底面接触点 BC 长为（ ） A35dm B32dm C30dm D33dm 【解答】解：如图，连接 OA，OC，过点 A 作 ADOC 于 D BC 与O 相切， OCBC， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD16dm，BCAD， 汽车轮胎的直径为 80dm， OC40dm， ODOCCD401624dm， AD32dm BC3

15、2dm 故选：B 7 （4 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函 数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 6A，那么用电器的可 变电阻 R 应控制在（ ） AR2 B0R2 CR1 D0R1 【解答】解：设反比例函数关系式为：I， 把（2，3）代入得：k236， 反比例函数关系式为：I， 当 I6 时，则6， R1， 故选：C 8 （4 分）某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6 月 1 日儿童节那天，全场打 7 折，某 宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花 350 元购买到的衣

16、服件数比现在少 2 件，设原价 是 x 元，则根据题意可列出方程（ ） A B C2 D2 【解答】解：设原价是 x 元，则打折后的价格为 0.7x 元， 依题意得：2 故选：D 9 （4 分）若以关于 x、y 的二元一次方程 x+2yb0 的解为坐标的点（x，y）都在直线 yx+b1 上， 则常数 b 的值为（ ） A B1 C1 D2 【解答】解：因为以关于 x、y 的二元一次方程 x+2yb0 的解为坐标的点（x，y）都在直线 yx+b 1 上， 直线解析式乘以 2 得 2yx+2b2，变形为：x+2y2b+20， 所以 b2b+20， 解得：b2， 故选：D 10 （4 分）一个滑轮起

17、重装置如图所示，滑轮的半径是 10cm，OA 是滑轮的一条半径，当 OA 绕轴心 O 按 逆时针方向旋转 180时，重物上升的高度为（ ） A10cm B10cm C5cm D5cm 【解答】解：根据题意得，重物上升的高度10（cm） 故选：B 11 （4 分）如图，RtABC 中，ACB90，B30，SABC2，将ABC 绕点 C 逆时针旋转至 ABC，使得点 A恰好落在 AB 上，AB与 BC 交于点 D，则 SACD为（ ） A+1 B C D21 【解答】解：过 C 作 CHAB 于 H， ACB90，B30， A60， ACH30， ACAB， CHACAB， SABC2， ABCH

18、ABAB2， AB4， AC2， ABC 绕点 C 逆时针旋转至ABC，使得点 A恰好落在 AB 上， CACA2，CABA60， CAA为等边三角形， ACA60， BCA30， ADC90， 在 RtADC 中，ACD30， ADCA1，CDAD， ACD 的面积1 故选：C 12 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角 AC、BD 的交点，过点 O 作射线 OM、ON 分别交 BC、 CD 于点 E、F，且EOF90，EF、OC 交于点 G给出下列结论：COEDOF；OGE FGC； 四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的； DF2+BE2OGOC 其中正确的

19、是 （ ） A B C D 【解答】解：在正方形 ABCD 中，OCOD，COD90，ODCOCB45， EOF90， COEEOFCOF90COF， COEDOF， COEDOF（ASA） ， 故正确； 由全等可得 OEOF， OEFOCF45，OGECGF， OGEFGC， 故正确； 由全等可得四边形 CEOF 的面积与OCD 面积相等， 四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的， 故正确； COEDOF， CEDF， 四边形 ABCD 为正方形， BCCD， BECF， 在 RtECF 中，CE2+CF2EF2， DF2+BE2EF2， OCEOEG45，EOGCOE， EOG

20、COE， ， OGOCEO2EF2， DF2+BE2OGOC， 故不正确； 综上所述，正确的是， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 24 分）分） 13 （4 分）的算术平方根是 【解答】解：3， 的算术平方根是： 故答案是： 14 （4 分）分解因式：x39x x（x+3） （x3） 【解答】解：原式x（x29） x（x+3） （x3） ， 故答案为：x（x+3） （x3） 15 （4 分）若关于 x 的分式方程1有增根，则 m 的值为 3 【解答】.解：方程两边都乘（x2） ， 得 3xx+2m+3 原方程有增根， 最简公分母（x2）0， 解得 x2

21、， 当 x2 时，m3 故答案为 3 16 （4 分）如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点分别过点 E，F 沿着平 行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的DEF 的周长是 6 【解答】解：等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点， EF2， ABC 是等边三角形， BC60， 又DEAB，DFAC， DEFB60，DFEC60， DEF 是等边三角形， 剪下的DEF 的周长是 236 故答案为：6 17 （4 分）如图，等边ABC 中，BC6，O、H 分别为边 AB、AC 的三等分点，AHAC，AOAB， 将ABC 绕点

22、B 顺时针旋转 100到A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分的面积为 【解答】解：连接 BH，BH，作 BDAC 于 D, 等边ABC 中，BC6， C60，ACABBC6, BDBC3,CDBC3, AHAC，AOAB， AHOA2, CHOB624, DH321, 由勾股定理得：BH2， 将ABC 绕点 B 顺时针旋转 100到A1BC1的位置， HBHOBO100， 整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积为S扇形HBHS扇形OBO ， 故答案为 18 （4 分）我们知道写成小数形式即 0. ，反过来，无限循环小数 0. 写成分数形式即一般地，任何 一个无限循环小数都

23、可以写成分数形式以无限循环小数 0. 为例：设 0. x，由 0. 0.777可知， 10 x7.777，所以 10 xx7，解方程，得 x，于是 0. 运用以上方法，可求得 0.写成分数形式为 【解答】解：设 0.x，即 x0.636363， 则 100 x63.636363， 所以 100 xx63， 解方程得：x 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 78 分）分） 19 （8 分）先化简，再求值：，请在2m1 的范围内取一个自己喜欢的数代 入求值 【解答】解：原式（） ， m2 且 m1， 取 m0 或 m1， 则原式1； 当 m1 时，原式3 2

24、0 （10 分）2017 年 9 月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书” ，本次“统编本” 教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对 A三国演义 、B红楼梦 、C 西游记 、D水浒四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每 名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图： （1）本次一共调查了 50 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3） 某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍， 请用树状图或列表的方法求 恰好选中三国演义和红楼梦的概率 【解答】解： （1）

25、本次一共调查：1530%50（人） ； 故答案为：50； （2）B 对应的人数为：501615712， 如图所示： （3）列表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有 12 种等可能的结果，恰好选中 A、B 的有 2 种， P（选中 A、B） 21 （10 分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面 BC 平行于地面 AD，斜坡 AB 的坡比为 i1： ，且 AB26 米 （1）求坡顶与地面的距离 BE 的长 （2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过 53 时，可确保山体不

26、滑坡学校计划将斜坡 AB 改造成 AF（如图所示） ，那么 BF 至少是多少米？（结果精 确到 1 米） （参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.33） 【解答】解： （1）设 AE5x 米， 斜坡 AB 的坡比为 i1：， BE12x 米， 由勾股定理得，AE2+BE2AB2，即（5x）2+（12x）2262， 解得，x2， BE12x24（米） ； （2）过点 F 作 FGAD 于 G， 则四边形 FGEB 为矩形， FGBE24 米，BFGE， 在 RtAFG 中，FAG53， AG18.0（米） ， 由（1）可知，AE10 米， BFGEAGAE8（米） ， 答：

27、BF 至少是 8 米 22 （12 分）某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的每天销售量 y（千克） 与销售单价 x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价 x（元/千 克） 55 60 65 70 销售量 y（千克） 70 60 50 40 （1）求 y（千克）与 x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数表达式为 ykx+b（k0） ，

28、将表中数据（55，70） 、 （60，60）代 入得： ， 解得： y 与 x 之间的函数表达式为 y2x+180 （2）由题意得： （x50） （2x+180）600， 整理得：x2140 x+48000， 解得 x160，x280 答：为保证某天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为 60 元/千克或 80 元/千克 （3）设当天的销售利润为 w 元，则： w（x50） （2x+180） 2（x70）2+800， 20， 当 x70 时，w最大值800 答：当销售单价定为 70 元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是 800 元 23 （12 分）直角三角板 ABC

29、的斜边 AB 的两个端点在O 上，已知BAC30，直角边 AC 与O 相交 于点 D，且点 D 是劣弧 AB 的中点 （1）如图 1，判断直角边 BC 所在直线与O 的位置关系，并说明理由； （2）如图 2，点 P 是斜边 AB 上的一个动点（与 A、B 不重合） ，DP 的延长线交O 于点 Q，连接 QA、 QB AD6，PD4，则 AB 6 ；PQ 5 ； 当点 P 在斜边 AB 上运动时，求证：QA+QBQD 【解答】(1)解:BC 所在的直线与O 相切 理由如下: 如图 1,连接 OA,OD,OB,BD, BAC30, BOD60, OBOD, BOD 是等边三角形, BDODBO60

30、, 点 D 是劣弧 AB 的中点, AODBOD60, ODOA, AOD 是等边三角形, ADO60, ADBADO+BDO120, CDB180ADB18012060, CBD90CDB906030, CBOCBD+DBO60+3090, CBOB, OB 是O 的半径, BC 是O 的切线,即 BC 所在的直线与O 相切； (2)AB 与 OD 相交于点 E,如图 2, 由(1)可知,BOD,AOD 都是等边三角形,且 OA,OD,OB 是O 的半径, 四边形 AOBD 是菱形, AB 与 OD 垂直平分, AD6, DE3,AE3, AB2AE6, BAC30,点 D 是劣弧 AB 的

31、中点, DQABQD, DQABAC30, QDAADP, QDAADP, , DQ9, PQDQPD945 故答案为 6；5； 如图 3,过点 D 作 DNBQ 交 BQ 于点 N,DMAQ 交 AQ 的延长线于点 M, DQABQD30, QD 是BQA 的角平分线, DNDM,QNQM, 又DBDA, RtDBNRtDAM(HL), BNAM, 在 RtDNQ 中,cosDQNcos30, 2QNQD, QD2QN2QMQM+QA+AMQB+QA 即 QA+QBQD 24 （12 分）如图 1 所示，在四边形 ABCD 中，点 O，E，F，G 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点，连接

32、 OE，EF，FG，GO，GE （1）证明：四边形 OEFG 是平行四边形； （2）将OGE 绕点 O 顺时针旋转得到OMN，如图 2 所示，连接 GM，EN 若 OE，OG1，求的值； 试在四边形 ABCD 中添加一个条件，使 GM，EN 的长在旋转过程中始终相等 （不要求证明） 【解答】解： （1）如图 1，连接 AC， 点 O、E、F、G 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点， OEAC、OEAC，GFAC、GFAC， OEGF，OEGF， 四边形 OEFG 是平行四边形； （2）OGE 绕点 O 顺时针旋转得到OMN， OGOM、OEON，GOMEON， ， OGMOEN， 添加 A

33、CBD， 如图 2，连接 AC、BD， 点 O、E、F、G 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点， OGEFBD、OEGFAC， ACBD， OGOE， OGE 绕点 O 顺时针旋转得到OMN， OGOM、OEON，GOMEON， OGOE、OMON， 在OGM 和OEN 中， ， OGMOEN（SAS） ， GMEN 25 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y5x+5 与 x 轴，y 轴分别交于 A，C 两点，抛物线 y x2+bx+c 经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为 B （1）求抛物线解析式及 B 点坐标； （2） 若点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点， 连接

34、 MA、 MB、 BC， 当点 M 运动到某一位置时， 四边形 AMBC 面积最大，求此时点 M 的坐标及四边形 AMBC 的面积； （3）如图 2，若 P 点是半径为 2 的B 上一动点，连接 PC、PA，当点 P 运动到某一位置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由 【解答】解： （1）直线 y5x+5，x0 时，y5 C（0，5） y5x+50 时，解得：x1 A（1，0） 抛物线 yx2+bx+c 经过 A，C 两点 解得： 抛物线解析式为 yx26x+5 当 yx26x+50 时，解得：x11，x25 B（5，0） （2）如图 1，过点 M 作 MHx 轴于点 H A

35、（1，0） ，B（5，0） ，C（0，5） AB514，OC5 SABCABOC4510 点 M 为 x 轴下方抛物线上的点 设 M（m，m26m+5） （1m5） MH|m26m+5|m2+6m5 SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8 S四边形AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18 当 m3，即 M（3，4）时，四边形 AMBC 面积最大，最大面积等于 18 （可以直接利用点 M 是抛物线的顶点时，面积最大求解） （3）如图 2，在 x 轴上取点 D（4，0） ，连接 PD、CD BD541 AB4，BP2 PBDABP PBDABP ， PDAP PC+PAPC+PD 当点 C、P、D 在同一直线上时，PC+PAPC+PDCD 最小 CD PC+PA 的最小值为