2021年湖南省长沙市中考数学试卷（含答案）

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1、2021 年湖南省长沙市中考数学试卷年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本 大题共大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列四个实数中，最大的数是（ ） A3 B1 C D4 22021 年 5 月 11 日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为 10040000 人， 将数据 10040000 用科学记数法表示为（ ） A1.004106 B1.00410

2、7 C0.1004108 D10.04106 3下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 4下列计算正确的是（ ） Aa3 a 2a5 B2a+3a6a Ca8a2a4 D（a2）3a5 5如图，ABCD，EF 分别与 AB，CD 交于点 G，H，AGE100，则DHF 的度数为（ ） A100 B80 C50 D40 6如图，点 A，B，C 在O 上，BAC54，则BOC 的度数为（ ） A27 B108 C116 D128 7下列函数图象中，表示直线 y2x+1 的是（ ） A B C D 8“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交

3、水稻苗 的长势，从稻田中随机抽取 9 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26， 23，25则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A24，25 B23，23 C23，24 D24，24 9有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有 1 到 6 的点数将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上 一面的点数之和为 5 的概率是（ ） A B C D 10在一次数学活动课上，某数学老师将 110 共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写 一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）他先像洗扑克牌一样打乱 这些卡片的顺序，然后把甲，乙，

4、丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并 要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙： 16；丁：7；戊：17根据以上信息，下列判断正确的是（ ） A戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 8 和 9 B丙同学手里拿的两张卡片上的数字是 9 和 7 C丁同学手里拿的两张卡片上的数字是 3 和 4 D甲同学手里拿的两张卡片上的数字是 2 和 9 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11分解因式：x22021x 12如图，在O 中，弦 AB 的长为 4，圆心到弦

5、 AB 的距离为 2，则AOC 的度数为 13 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， 点 E 是边 AB 的中点， 若OE6， 则 BC的长为 14若关于 x 的方程 x2kx120 的一个根为 3，则 k 的值为 15如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB，垂足为 E，若 BC4，DE 1.6，则 BD 的长为 16某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动先从中随机抽取了部分作品， 按 A，B，C，D 四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图那么，此次抽 取的作品中，等级为 B 等的作品份

6、数为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24、25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17计算： 18先化简，再求值：（x3）2+（x+3）（x3）+2x（2x），其中 x 19人教版初中数学教科书八年级上册第 3536 页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：ABC 求作：ABC，使得A

7、BCABC 作法：如图 （1）画 BCBC； （2）分别以点 B，C为圆心，线段 AB，AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A； （3）连接线段 AB，AC，则ABC即为所求作的三角 形 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在ABC和ABC 中， ABC （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 （填序号） AAS ASA SAS SSS 20“网红”长沙入选 2021 年“五一”假期热门旅游城市本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其 规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有 12 个红球和若干个白球（每个球除颜色外，

8、其他都相同）的不 透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物据统计参与这种游戏的游客共 有 60000 人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物 15000 个 （1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 21如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OAB 是等边三角形，AB4 （1）求证：ABCD 是矩形； （2）求 AD 的长 22为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史 明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有 25 道题，满分

9、100 分，每一题答对得 4 分，答错扣 1 分，不答得 0 分 （1） 若某参赛同学只有一道题没有作答， 最后他的总得分为 86 分， 则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于 90 分才可以被评为“学党史小达人”，则参 赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 23如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，BDCD，延长 BC 至 E，使得 CECA，连接 AE （1）求证：BACB； （2）若 AB5，AD4，求ABE 的周长和面积 24我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 y 轴对称，则把该函 数

10、称之为 “T 函数” ， 其图象上关于 y 轴对称的不同两点叫做一对 “T 点” 根据该约定， 完成下列各题 （1）若点 A（1，r）与点 B（s，4）是关于 x 的“T 函数”y的图象 上的一对“T 点”，则 r ，s ，t （将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于 x 的函数 ykx+p（k，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”如果不 是，请说明理由； （3）若关于 x 的“T 函数”yax2+bx+c（a0，且 a，b，c 是常数）经过坐标原点 O，且与直线 l：y mx+n（m0，n0，且 m，n 是常数）交于 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当

11、x1，x2满足（1x1） 1+x 21 时，直线 l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由 25如图，点 O 为以 AB 为直径的半圆的圆心，点 M，N 在直径 AB 上，点 P，Q 在上，四边形 MNPQ 为正方形，点 C 在上运动（点 C 与点 P，Q 不重合），连接 BC 并延长交 MQ 的延长线于点 D，连接 AC 交 MQ 于点 E，连接 OQ （1）求 sinAOQ 的值； （2）求的值； （3）令 MEx，QDy，直径 AB2R（R0，R 是常数），求 y 关于 x 的函数解析式，并指明自变量 x 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（在下列

12、各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本 大题共大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列四个实数中，最大的数是（ ） A3 B1 C D4 解：314， 最大的数是 4， 故选：D 22021 年 5 月 11 日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为 10040000 人， 将数据 10040000 用科学记数法表示为（ ） A1.004106 B1.004107 C0.1004108 D10.041

13、06 解：100400001.004107 故选：B 3下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 解：A不是中心对称图形，故本选项不合题意； B不是中心对称图形，故本选项不合题意； C是中心对称图形，故本选项符合题意； D不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 4下列计算正确的是（ ） Aa3 a 2a5 B2a+3a6a Ca8a2a4 D（a2）3a5 解：Aa3a2a5,故此选项符合题意； B2a+3a5a,故此选项不合题意； Ca8a2a6,故此选项不合题意； D（a2）3a6,故此选项不合题意； 故选：A 5如图，ABCD，EF 分别与 AB，CD 交于点 G

14、，H，AGE100，则DHF 的度数为（ ） A100 B80 C50 D40 解：ABCD， CHGAGE100， DHFCHG100 故选：A 6如图，点 A，B，C 在O 上，BAC54，则BOC 的度数为（ ） A27 B108 C116 D128 解：A54， BOC2A108， 故选：B 7下列函数图象中，表示直线 y2x+1 的是（ ） A B C D 解：k20，b10 时， 直线经过一、二、三象限 故选：B 8“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗 的长势，从稻田中随机抽取 9 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，2

15、3，24，23，24，25，26， 23，25则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A24，25 B23，23 C23，24 D24，24 解：将这组数据从小到大重新排列为 22，23，23，23，24，24，25，25，26， 这组数据的众数为 23cm，中位数为 24cm， 故选：C 9有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有 1 到 6 的点数将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上 一面的点数之和为 5 的概率是（ ） A B C D 解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3）

16、（2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由表可知共有 36 种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为 5 的情况有 4 种， 两次掷得骰子朝上一面的点数之和为 5 的概率为， 故选：A 10在一次数学活动课上，某数学老师将 110 共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写 一个数

17、字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）他先像洗扑克牌一样打乱 这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并 要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙： 16；丁：7；戊：17根据以上信息，下列判断正确的是（ ） A戊同学手里拿的两张卡片上的数字是 8 和 9 B丙同学手里拿的两张卡片上的数字是 9 和 7 C丁同学手里拿的两张卡片上的数字是 3 和 4 D甲同学手里拿的两张卡片上的数字是 2 和 9 解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片， 每人手里的数字不重

18、复 由甲：11，可知甲手中的数字可能是 1 和 10，2 和 9，3 和 8，4 和 7，5 和 6； 由乙：4，可知乙手中的数字只有 1 和 3； 由丙：16，可知丙手中的数字可能是 6 和 10，7 和 9； 由丁：7，可知丁手中的数字可能是 1 和 6，2 和 5，3 和 4； 由戊：17，可知戊手中的数字可能是 7 和 10，8 和 9； 丁只能是 2 和 5，甲只能是 4 和 7，丙只能是 6 和 10，戊只能是 8 和 9 各选项中，只有 A 是正确的， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11分解

19、因式：x22021x x(x2021) 解：x22021xx(x2021) 故答案为：x(x2021) 12如图，在O 中，弦 AB 的长为 4，圆心到弦 AB 的距离为 2，则AOC 的度数为 45 解：OCAB, ACBC2, OC2, AOC 为等腰直角三角形， AOC45， 故答案为：45 13 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， 点 E 是边 AB 的中点， 若 OE6， 则 BC 的长为 12 解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，且 BDAC， 又点 E 是边 AB 的中点， OEAEEB， BCAB2OE6212， 故答案为：12 14若

20、关于 x 的方程 x2kx120 的一个根为 3，则 k 的值为 1 解：把 x3 代入方程 x2kx120 得：93k120， 解得：k1， 故答案为：1 15如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAB，垂足为 E，若 BC4，DE 1.6，则 BD 的长为 2.4 解：AD 平分BAC，DEAB，C90， CDDE， DE1.6， CD1.6， BDBCCD41.62.4 故答案为：2.4 16某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动先从中随机抽取了部分作品， 按 A，B，C，D 四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统

21、计图那么，此次抽 取的作品中，等级为 B 等的作品份数为 50 解：3025%120（份）， 一共抽取了 120 份作品， 此次抽取的作品中，等级为 B 等的作品份数为：12030281250（份）， 故答案为：50 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24、25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17计

22、算： 解：原式2+1+ +1+4 5 18先化简，再求值：（x3）2+（x+3）（x3）+2x（2x），其中 x 解：原式x26x+9+x29+4x2x2 2x, 当 x时， 原式2（） 1 19人教版初中数学教科书八年级上册第 3536 页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：ABC 求作：ABC，使得ABCABC 作法：如图 （1）画 BCBC； （2）分别以点 B，C为圆心，线段 AB，AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A； （3）连接线段 AB，AC，则ABC即为所求作的三角 形 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：

23、由作图可知，在ABC和ABC 中， ABC ABC(SSS) （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 （填序号） AAS ASA SAS SSS 解：（1）由作图可知，在ABC和ABC 中， , ABCABC(SSS) 故答案为：ABC(SSS) （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 SSS, 故答案为： 20“网红”长沙入选 2021 年“五一”假期热门旅游城市本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其 规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有 12 个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不 透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物据

24、统计参与这种游戏的游客共 有 60000 人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物 15000 个 （1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为0.25； （2）设袋子中白球的数量为 x， 则0.25， 解得 x36， 经检验 x36 是分式方程的解且符合实际， 所以估计纸箱中白球的数量接近 36 21如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OAB 是等边三角形，AB4 （1）求证：ABCD 是矩形； （2）求 AD 的长 【解答】（1）证明：AOB 为等边三角形， BAOAOB

25、60，OAOB， 四边形 ABCD 是平行四边形 OBODBD，OAOCAC， BDAC， ABCD 是矩形； （2）解：ABCD 是矩形， BAD90， ABO60， ADB906030， ADAB4 22为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史 明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有 25 道题，满分 100 分，每一题答对得 4 分，答错扣 1 分，不答得 0 分 （1） 若某参赛同学只有一道题没有作答， 最后他的总得分为 86 分， 则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于

26、或等于 90 分才可以被评为“学党史小达人”，则参 赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 解：（1）设该参赛同学一共答对了 x 道题，则答错了（251x）道题， 依题意得：4x（251x）86， 解得：x22 答：该参赛同学一共答对了 22 道题 （2）设参赛者需答对 y 道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25y）道题， 依题意得：4y（25y）90， 解得：y23 答：参赛者至少需答对 23 道题才能被评为“学党史小达人” 23如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，BDCD，延长 BC 至 E，使得 CECA，连接 AE （1）求证：BACB； （2）若 AB5，A

27、D4，求ABE 的周长和面积 解：（1）证明：在ADB 和ADC 中： ， ADBADC（SAS）， BACB； （2）在 RtADB 中，BD3, BDCD3,ACABCE5， BE2BD+CE23+511， 在 RtADE 中，AE4， CABEAB+BE+AE5+11+4 16+4， SABE22 24我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 y 轴对称，则把该函 数称之为 “T 函数” ， 其图象上关于 y 轴对称的不同两点叫做一对 “T 点” 根据该约定， 完成下列各题 （1）若点 A（1，r）与点 B（s，4）是关于 x 的“T 函数”y的图象 上的一

28、对“T 点”，则 r 4 ，s 1 ，t 4 （将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于 x 的函数 ykx+p（k，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”如果不 是，请说明理由； （3）若关于 x 的“T 函数”yax2+bx+c（a0，且 a，b，c 是常数）经过坐标原点 O，且与直线 l：y mx+n（m0，n0，且 m，n 是常数）交于 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当 x1，x2满足（1x1） 1+x 21 时，直线 l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由 解：（1）A，B 关于 y 轴对称， s1，r4， A

29、的坐标为（1，4）， 把 A（1，4）代入是关于 x 的“T 函数”中，得：t4， 故答案为 r4，s1，t4； （2）当 k0 时，有 yp， 此时存在关于 y 轴对称得点， ykx+p 是“T 函数”， 当 k0 时，不存在关于 y 轴对称的点， ykx+p 不是“T 函数”； （3）yax2+bx+c 过原点， c0， yax2+bx+c 是“T 函数”， b0， yax2， 联立直线 l 和抛物线得： ， 即：ax2mxn0， ， 又， 化简得：x1x2， ，即 mn， ymx+nmxm， 当 x1 时，y0， 直线 l 必过定点（1，0） 25如图，点 O 为以 AB 为直径的半圆的

30、圆心，点 M，N 在直径 AB 上，点 P，Q 在上，四边形 MNPQ 为正方形，点 C 在上运动（点 C 与点 P，Q 不重合），连接 BC 并延长交 MQ 的延长线于点 D，连接 AC 交 MQ 于点 E，连接 OQ （1）求 sinAOQ 的值； （2）求的值； （3）令 MEx，QDy，直径 AB2R（R0，R 是常数），求 y 关于 x 的函数解析式，并指明自变量 x 的取值范围 解：（1）如图，连接 OP 四边形 MNPQ 是正方形， OMNONP90，MQPN， OQOP， OMQONP（HL）， OMON， 设 OMONm，则 MQ2m，OQm， sinAOQ （2）由（1）可知 OMONm，OQOAm，MN2m， AMOAOMmm， （3）AB2R， OAOBOQr， QM2MO， OM，MQ， AB 是直径， ACBDCE90， CEDAEM， AD， AMEDMB90， AMEDMB， ， ， y， 当点 C 与 P 重合时， ， xR， RxR