2021年四川省成都市中考数学终极密押试卷（二）含答案详解

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1、2021 年四川省成都市中考数学终极密押试卷（二）年四川省成都市中考数学终极密押试卷（二） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各式中，负数是（ ） A|5| B （1）2021 C（3） D （1）0 2（3 分） 成都市获得 2021 年第 31 届世界大学生夏季运动会的举办权， 龙泉驿东安湖体育中心被确定为 “大 运会”开闭幕式的主场馆，它包括一座 4 万座的甲级体育场、热身训练场、地面停车场、疏散广场及配 套绿化等，预计总投资约 11.3 亿元其中 11.3 亿元，用科学记数法表示为（ ） A1.

2、13108 B11.3108 C1.13109 D11.3107 3 （3 分）如图是由 6 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ） A B C D 4 （3 分）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若EDF 是等腰三角形，则BDC（ ） A45 B60 C67.5 D75 5 （3 分）下列运算结果正确的是（ ） Aa3a2a5 B2a2+a3a3 C （a+b）2a2+b2 D2a 1 （a0） 6 （3 分）分式方程的解是（ ） A无解 Bx0 Cx1 Dx1 7 （3 分）九（1）班 45 名同学一周参加体育锻炼的时间统计如表所示： 人数（人） 5 18 16 6

3、 时间（小时） 6 7 9 10 那么该班 45 名同学一周参加体育锻炼时间的平均数、众数、中位数分别是（ ） A8，7，9 B7，18，9 C8，7，7 D7，7，8 8 （3 分）为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动” ，某超市的月销售额逐步增加， 据统计，4 月份的销售额为 200 万元，接下来 5 月、6 月的月增长率相同，6 月份的销售额为 500 万元， 若设 5 月、6 月每月的增长率为 x，则（ ） A200（1+x）500 B200+200（1+x）500 C200（1+2x）500 D200（1+x）2500 9 （3 分）如图，O 是正六边形 ABCD

4、EF 的外接圆，点 P 在O 上（P 不与 A，B 重合） ，则APB 的度 数为（ ） A30或 150 B60或 120 C30 D60 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 4 个结论： abc0；ba+c；2ab0；b24ac0 其中正确的结论个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）已知 是锐角，且 1cos0，则 12 （4 分）已知ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边的中点，则 13 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22x+

5、k0 有两个相等的实数根，则 k 值为 14 （4 分）已知直线 y（k2）x+k 经过第一、二、四象限，则 k 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 54 分）分） 15 （12 分） （1）计算： （3.14）0+|1|2sin45+（1）2021 （2）先化简，再求值：（a+1） ，其中 a2 16 （6 分）已知关于 x 的方程 x2+4x+3a0 有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围 17 （8 分） 某市为了解垃圾分类投放工作的落实情况， 在全市范围内对部分社区进行抽查， 抽查结果分为： A（优秀） 、B（良好） 、C（一般） 、D（较差

6、）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图 （注： 该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类） （1）本次共抽查了 个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是 度，并补全直方图； （2）若全市共有 120 个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？ （3） 小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放， 请用树状图或列表法求小明恰好提 到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？ 18（8 分） 一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60方向上的点 A 处， 在 A 正东方向上距离 20 海里的有一点 B 处， 在灯塔 P 南偏西 45方向上，求 A 距离灯塔 P 的距离 （参考数据

7、：1.732，结果精确到 0.1） 19 （10 分）如图，直线 yx+2 与反比例函数（k0）的图象交于 A（1，m） ，B（n，1）两点， 过 A 作 ACx 轴于点 C，过 B 作 BDx 轴于点 D， （1）求 m，n 的值及反比例函数的解析式； （2）请问：在直线 yx+2 上是否存在点 P，使得 SPACSPBD？若存在，求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由 20 （10 分）如图，BC 是O 的直径，AD 是O 的弦，AD 交 BC 于点 E，连接 AB，CD，过点 E 作 EF AB，垂足为 F，AEFD （1）求证：ADBC； （2）点 G 在 BC 的延长线上，连接

8、AG，DAG2D 求证：AG 与O 相切； 当，CE4 时，直接写出 CG 的长 四、填空题（共四、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 22（4 分） 已知关于 x、 y 的方程组中， x、 y 满足关系式 2xy5， 则代数式 aa2的值为 23 （4 分）有五张正面分别标有数字3，2，1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同现 将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于以 x 为自变量的二次函数 y x2（a2+1）x

9、+2a 的图象不经过点（1，0）的概率是 24 （4 分）已知边长为的正方形 ABCD 中，C（0，5） ，点 A 在 x 轴上，点 B 在反比例函数 y（x 0，m0）的图象上，点 D 在反比例函数 y（x0，n0）的图象上，那么 m+n 25 （4 分）如图所示，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，点 F、 G 在 AB 边上，当四边形 DEFG 是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长 l 的取值范围 是 五、解答题（共五、解答题（共 3 小题，满分小题，满分 30 分）分） 26 （8 分）某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结

10、合的方式一共销售了 100 件设该商品线下的 销售量为 x（10 x90）件，线下销售的每件利润为 y1（元） ，线上销售的每件利润为 y2（元） 如图中 折线 ABC、线段 DE 分别表示 y1，y2与 x 之间的函数关系 （1）分别求出当 10 x70 和 70 x90 时，y1与 x 之间的函数表达式； （2）当线下的销售量为多少件时，售完这 100 件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 27 （10 分）问题背景 如图 （1） ， ABD， AEC 都是等边三角形， ACD 可以由AEB 通过旋转变换得到， 请写出旋转中心、 旋转方向及旋转角的大小 尝试应用 如图（2） ，在

11、RtABC 中，ACB90，分别以 AC，AB 为边，作等边ACD 和等边ABE，连接 ED，并延长交 BC 于点 F，连接 BD若 BDBC，求的值 拓展创新 如图（3） ，在 RtABC 中，ACB90，AB2，将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AP，连 接 PB，直接写出 PB 的最大值 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点， 与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式 （2）点 D 为第一象限内抛物线上的一动点，作 DEx 轴于点 E，交 BC 于点 F，过点 F 作 BC 的垂线与 抛

12、物线的对称轴和 y 轴分别交于点 G，H，设点 D 的横坐标为 m 求 DF+HF 的最大值； 连接 EG，若GEH45，求 m 的值 2021 年四川省成都市中考数学终极密押试卷（二）年四川省成都市中考数学终极密押试卷（二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各式中，负数是（ ） A|5| B （1）2021 C（3） D （1）0 【解答】解：A、|5|5，不合题意； B、 （1）20211，符合题意； C、（3）3，不合题意； D、 （1）01，不合题意； 故

13、选：B 2（3 分） 成都市获得 2021 年第 31 届世界大学生夏季运动会的举办权， 龙泉驿东安湖体育中心被确定为 “大 运会”开闭幕式的主场馆，它包括一座 4 万座的甲级体育场、热身训练场、地面停车场、疏散广场及配 套绿化等，预计总投资约 11.3 亿元其中 11.3 亿元，用科学记数法表示为（ ） A1.13108 B11.3108 C1.13109 D11.3107 【解答】解：11.3 亿1130000000 11300000001.13109 故选：C 3 （3 分）如图是由 6 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ） A B C D 【解答】解：从上边看，

14、底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形 故选：B 4 （3 分）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若EDF 是等腰三角形，则BDC（ ） A45 B60 C67.5 D75 【解答】解：由翻折可知：BEDBCD， EBDCBD，EC90 EDF 是等腰三角形， EFDAFBABF45， CBF45， CBDCBE22.5， BDC67.5， 故选：C 5 （3 分）下列运算结果正确的是（ ） Aa3a2a5 B2a2+a3a3 C （a+b）2a2+b2 D2a 1 （a0） 【解答】解：A、a3a2a5，故 A 符合题意； B、2a2+a 中没有同类项，不能合并，故 B 不符合题意；

15、C、 （a+b）2a2+2ab+b2，故 B 不符合题意； D、原式，故 D 不符合题意； 故选：A 6 （3 分）分式方程的解是（ ） A无解 Bx0 Cx1 Dx1 【解答】解：去分母得：2xx1， 解得：x1， 检验：当 x1 时，x（x1）0， 分式方程的解为 x1 故选：D 7 （3 分）九（1）班 45 名同学一周参加体育锻炼的时间统计如表所示： 人数（人） 5 18 16 6 时间（小时） 6 7 9 10 那么该班 45 名同学一周参加体育锻炼时间的平均数、众数、中位数分别是（ ） A8，7，9 B7，18，9 C8，7，7 D7，7，8 【解答】解：平均数： （65+718+

16、916+106）458； 众数：7 出现次数最多，众数是 7； 中位数：排在第 23 位的是 7，故中位数是 7 故选：C 8 （3 分）为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动” ，某超市的月销售额逐步增加， 据统计，4 月份的销售额为 200 万元，接下来 5 月、6 月的月增长率相同，6 月份的销售额为 500 万元， 若设 5 月、6 月每月的增长率为 x，则（ ） A200（1+x）500 B200+200（1+x）500 C200（1+2x）500 D200（1+x）2500 【解答】解：由题意可得， 200（1+x）2500， 故选：D 9 （3 分）如图，O 是

17、正六边形 ABCDEF 的外接圆，点 P 在O 上（P 不与 A，B 重合） ，则APB 的度 数为（ ） A30或 150 B60或 120 C30 D60 【解答】解：连接 OA，OB，如图所示： 六边形 ABCDEF 是正六边形， AOB60， 当点 P 不在上时， APBAOB30， 当点 P 在上时， APB180AOB18030150， 故选：A 10 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 4 个结论： abc0；ba+c；2ab0；b24ac0 其中正确的结论个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线开口向下， a

18、0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， 由于抛物线的对称轴为直线 x1，则 b2a0；则 2a+b0，abc0； 正确， 错误； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以错误； x1 时，y0， ab+c0，所以正确 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）已知 是锐角，且 1cos0，则 45 【解答】解：1cos0， cos1， cos， 45， 故答案为：45 12 （4 分）已知ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边的中点，则 【解答】解：由 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，可得 DE 为AB

19、C 的中位线，所以 故答案为 13 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22x+k0 有两个相等的实数根，则 k 值为 3 【解答】解：根据题意得（2）24k0， 解得 k3 故答案为：3 14 （4 分）已知直线 y（k2）x+k 经过第一、二、四象限，则 k 的取值范围是 0k2 【解答】解：一次函数 y（k2）x+k 的图象经过第一、二、四象限， k20 且 k0； 0k2， 故答案为：0k2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 54 分）分） 15 （12 分） （1）计算： （3.14）0+|1|2sin45+（1）2021 （2）先化简，再求值：（

20、a+1） ，其中 a2 【解答】解： （1） （3.14）0+|1|2sin45+（1）2021 1+12+（1） 1+1+（1） 1； （2）（a+1） ， 当 a2 时，原式 16 （6 分）已知关于 x 的方程 x2+4x+3a0 有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围 【解答】解：方程 x2+4x+3a0 有两个不相等的实数根， 4241（3a）4+4a0， 解得：a1 17 （8 分） 某市为了解垃圾分类投放工作的落实情况， 在全市范围内对部分社区进行抽查， 抽查结果分为： A（优秀） 、B（良好） 、C（一般） 、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图 （注： 该

21、市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类） （1）本次共抽查了 20 个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是 36 度，并补全直方图； （2）若全市共有 120 个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？ （3） 小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放， 请用树状图或列表法求小明恰好提 到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？ 【解答】解： （1）本次共抽查的社区有：1050%20（个） ， C（一般）的社区有：2010622（个） ， C（一般）所在扇形的圆心角的度数是：36036， 补全统计图如下： 故答案为：20，36； （2）12096（个） ， 答：达到良好

22、及以上的社区有 96 个 （3）将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用 A、B、C、D 表示，根据题意画图如下： 共有 12 种等可能的情况数，其中小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的有 2 种， 则小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是 18（8 分） 一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60方向上的点 A 处， 在 A 正东方向上距离 20 海里的有一点 B 处， 在灯塔 P 南偏西 45方向上，求 A 距离灯塔 P 的距离 （参考数据：1.732，结果精确到 0.1） 【解答】解：如图，ACPC，APC60，BPC45，AB20， 在PBC 中，BPC45， PBC 为等腰直角三角形， BCPC，设

23、 BCPCx，则 AC20+x， 在 RtAPC 中，tanAPC， ， x10（+1） （海里） 在 RtAPC 中，A30， PA2PC20（+1）54.6（海里） 答：A 距离灯塔 P 的距离为 54.6 海里 19 （10 分）如图，直线 yx+2 与反比例函数（k0）的图象交于 A（1，m） ，B（n，1）两点， 过 A 作 ACx 轴于点 C，过 B 作 BDx 轴于点 D， （1）求 m，n 的值及反比例函数的解析式； （2）请问：在直线 yx+2 上是否存在点 P，使得 SPACSPBD？若存在，求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由 【解答】解： （1）把 A（1，m）

24、、B（n，1）分别代入 yx+1 得 m1+2 或1n+2 m3，n3， A（1，3） ，B（3，1） ， 把 A（1，3） ，代入得 k3， ； （2）存在设 P（x，x+2） ，则 P 到 AC、BD 的距离分别为|x+1|、|x3|， SPACSPBD， 即，AC|x+1|BD|x3|3|x+1|1|x3| 或， 解得 x3，或 x0， P（3，5）或（0，2） 20 （10 分）如图，BC 是O 的直径，AD 是O 的弦，AD 交 BC 于点 E，连接 AB，CD，过点 E 作 EF AB，垂足为 F，AEFD （1）求证：ADBC； （2）点 G 在 BC 的延长线上，连接 AG，D

25、AG2D 求证：AG 与O 相切； 当，CE4 时，直接写出 CG 的长 【解答】 （1）证明：EFAB， AFE90， AEF+EAF90， AEFD，ABED， ABE+EAF90， AEB90， ADBC （2）证明：连接 OA，AC ADBC， AEED， CACD， DCAD， GAE2D， CAGCADD， OCOA， OCAOAC， CEA90， CAE+ACE90， CAG+OAC90， OAAG， AG 是O 的切线 解：过点 C 作 CHAG 于 H设 CGx，GHy CA 平分GAE，CHAG，CEAE， CHCE， AECAHC90，ACAC，ECCH， RtACERt

26、ACH（HL） ， AEAH， EFAB，BC 是直径， BFEBAC， EFAC， ， CE4， BE10， BCAD， ， CAEABC， AECAEB90， AEBCEA， ， AE2410， AE0， AE2， AHAE2， GG，CHGAEG90， GHCGEA， ， ， 解得 x 四、填空题（共四、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）设 m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 1000 【解答】解：m、n 是方程 x2+x10010 的两个实数根， m+n1， 并且 m2+m10010，

27、m2+m1001， m2+2m+nm2+m+m+n100111000 故答案为：1000 22 （4 分）已知关于 x、y 的方程组中，x、y 满足关系式 2xy5，则代数式 aa2的值为 6 【解答】解：， 2得：7y10a， 解得：y， 把 y代入得：x， 代入 2xy5 得：5， 去分母得：30+4a10+a35， 解得：a3， 则原式396 故答案为：6 23 （4 分）有五张正面分别标有数字3，2，1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同现 将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于以 x 为自变量的二次函数 y x2（a2+1）x+2a 的图象不

28、经过点（1，0）的概率是 【解答】解：以 x 为自变量的二次函数 yx2（a2+1）xa+2 的图象不经过点（1，0） ， 12（a2+1）a+20， a1 且 a2， 以上 5 张卡片中符合条件的有3、1、2 这 3 张， 使关于以 x 为自变量的二次函数 yx2（a2+1）x+2a 的图象不经过点（1，0）的概率是， 故答案为： 24 （4 分）已知边长为的正方形 ABCD 中，C（0，5） ，点 A 在 x 轴上，点 B 在反比例函数 y（x 0，m0）的图象上，点 D 在反比例函数 y（x0，n0）的图象上，那么 m+n 5 【解答】解：设点 A（x，0） AC2OA2+OC2， 26

29、25+OA2， OA1 点 A（1，0） ，或（1，0） 当点 A（1，0）时， 如图，过点 B 作 BFx 轴，过点 C 作 CEy 轴，与 BF 交于点 E，过点 D 作 DHx 轴，交 CE 于点 G， CBE+ABF90，且CBE+ECB90 ECBABF，且 BCAB，EAFB90 ABFBCE（AAS） BEAF，BFCE OFOA+AF CEOF1+BEBF BF+BE1+BE+BE5 BE2， BF3 点 B 坐标（3，3） m339， 同理可求：点 D（2，2） n224 m+n5 若点 A（1，0）时， 同理可得：m+n5 故答案为：5 25 （4 分）如图所示，在 RtA

30、BC 中，C90，AC3，BC4，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，点 F、 G 在 AB 边上，当四边形 DEFG 是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长 l 的取值范围是 l或l 【解答】解：如图 1 中，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x 在 RtABC 中，C90，AC3，BC4， AB5， 则 CDx，ADx， AD+CDAC， x+x3， x； 如图 2 中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m DEAB， CDECAB， ， ， 解得 m； 如图 3 中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为 n DEAB， CDECAB， ，

31、， n， 综上所述，菱形的边长 l 的取值范围为 l或l， 故答案为：l或l 五、解答题（共五、解答题（共 3 小题，满分小题，满分 30 分）分） 26 （8 分）某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了 100 件设该商品线下的 销售量为 x（10 x90）件，线下销售的每件利润为 y1（元） ，线上销售的每件利润为 y2（元） 如图中 折线 ABC、线段 DE 分别表示 y1，y2与 x 之间的函数关系 （1）分别求出当 10 x70 和 70 x90 时，y1与 x 之间的函数表达式； （2）当线下的销售量为多少件时，售完这 100 件商品所获得的总利润最大？最大利

32、润是多少元？ 【解答】解： （1）当 10 x70 时，设 y1与 x 之间的函数表达式是 y1kx+b， 点（10，160） ， （70，130）在线段 AB 上， ， 解得， 即当 10 x70 时，y1与 x 之间的函数表达式是 y10.5x+165； 当 70 x90 时，设 y1与 x 之间的函数表达式 y1ax+c， 点（70，130） ， （90，110）在线段 BC 上， ， 解得， 即当 70 x90 时，y1与 x 之间的函数表达式 y1x+200； （2）设总的利润为 w 元， 当 10 x70 时，wx（0.5x+165）+100（100 x）（x65）2+12112.

33、5， 当 x65 时，w 取得最大值，此时 w12112.5； 当 70 x90 时，wx（x+200）+100（100 x）（x50）2+12500， 当 x70 时，w 取得最大值，此时 w12100； 12112.512100， 当线下的销售量为多 65 时，售完这 100 件商品所获得的总利润最大，最大利润是 12112.5 元 27 （10 分）问题背景 如图 （1） ， ABD， AEC 都是等边三角形， ACD 可以由AEB 通过旋转变换得到， 请写出旋转中心、 旋转方向及旋转角的大小 尝试应用 如图（2） ，在 RtABC 中，ACB90，分别以 AC，AB 为边，作等边ACD

34、 和等边ABE，连接 ED，并延长交 BC 于点 F，连接 BD若 BDBC，求的值 拓展创新 如图（3） ，在 RtABC 中，ACB90，AB2，将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AP，连 接 PB，直接写出 PB 的最大值 【解答】问题背景 解：ABD，AEC 都是等边三角形， BAD60，CAE60，ADAB，ACAE， BAD+BACCAE+BAC， DACBAE， ACDAEB（SAS） ， ACD 可以由AEB 绕点 A 顺时针旋转 60得到， 即旋转中心是点 A，旋转方向是顺时针，旋转角是 60； 尝试应用 ACD 和ABE 都是等边三角形， ACAD，ABAE

35、，CADBAE60， CABDAE， ADEACB（SAS） ， ADEACB90，DECB， ADE90， ADF90， ADCACD60， DCFCDF30， CFDF， BDBC， BDF30， BFDF， 设 BFx，则 CFDF2x，DE3x， ； 拓展创新 ACB90， 点 C 在以 AB 为直径的圆上运动，取 AB 的中点 D，连接 CD， CDAB1， 如图，过点 A 作 AEAB，且使 AEAD，连接 PE，BE， 将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AP， PAC90，PAAC， EAD90， PAECAD， CADPAE（SAS） ， PECD1， AB2，

36、AEAD1， BE， BPBE+PE+1， BP 的最大值为+1 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点， 与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式 （2）点 D 为第一象限内抛物线上的一动点，作 DEx 轴于点 E，交 BC 于点 F，过点 F 作 BC 的垂线与 抛物线的对称轴和 y 轴分别交于点 G，H，设点 D 的横坐标为 m 求 DF+HF 的最大值； 连接 EG，若GEH45，求 m 的值 【解答】解： （1）将点 A（1，0） ，B（3，0）代入抛物线 yx2+bx+c 得： ， 解得：， 抛物线

37、的解析式为：yx2+2x+3 （2）当 x0 时，yx2+2x+33， 点 C（0，3） ， 又B（3，0） ， 直线 BC 的解析式为：yx+3， OBOC3， OBCOCB45， 作 FKy 轴于点 K， 又FHBC， KFHKHF45， FHKFOE， DF+HFDEEF+OE （m2+2m+3）（m+3）+m m2+（3+）m， 由题意有 0m3，且 03，10， 当 m时，DF+HF 取最大值， DF+HF 的最大值为：（）2+（3+）； 作 GMy 轴于点 M，记直线 FH 与 x 轴交于点 N， FKy 轴，DEx 轴，KFH45， EFHENF45， EFEN， KHFONH45， OHON， yx2+2x+3 的对称轴为直线 x1， MG1， HGMG， GEH45， GEHEFH， 又EHFGHE， EHGFHE， HE：HGHF：HE， HE2HGHF m 2m， 在 RtOEH 中， OHON|OEEN| |OEEF| |m（m+3）| |2m3|， OEm， HE2OE2+OH2 m2+（2m3）2 5m212m+9， 5m212m+92m， 解得：m1 或