2021年广东省深圳市罗湖区三校联考中考数学模拟试卷（含答案详解）

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1、2021 年广东省深圳市年广东省深圳市罗湖区罗湖区三校联考三校联考中考数学模拟试卷中考数学模拟试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2021 的倒数是（ ） A2021 B2021 C D 2 （3 分）下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（ ） A B C D 3 （3 分）2020 年 6 月 23 日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高 度大约是 21500000 米将数字 21500000 用科学记数法表示为（ ） A0.215108 B2.15107 C2.15106

2、 D21.5106 4 （3 分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回 收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+2a23a4 Ba6a3a2 C （ab）2a2b2 D （ab）2a2b2 6 （3 分）刘老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的有关信息，现从中随机抽取 15 名学生家庭的年收入情况，数据如下表： 年收入（单位：万元） 2 2.5 3 4 5 9 13 家庭个数 1 3 5 2 2 1 1 关于这 15 名学生家庭的年收入情况，下列说法不正确

3、的是（ ） A平均数是 4 万元 B中位数是 3 万元 C众数是 3 万元 D极差是 11 万元 7 （3 分）下列命题是假命题的是（ ） A三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 B如果等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，那么这个等腰三角形的周长为 16 C将一次函数 y3x1 的图象向上平移 3 个单位，所得直线不经过第四象限 D若关于 x 的一元一次不等式组无解，则 m 的取值范围是 m1 8 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图： 分别以点 C 和点 D 为圆心，大于CD 的同样的长为半径作弧，两弧交于 M，N 两点； 作直线 MN，交 CD 于点 E，连接 BE

4、若直线 MN 恰好经过点 A，则下列说法错误的是（ ） AABC60 BSABE2SADE C若 AB4，则 BE4 DtanCBE 9 （3 分）如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n） ，且与 x 轴的一个交点在 点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： 4a2b+c0； 3a+b0； b24a（cn） ； 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个互异实根 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 延长线上一点，在 AB 上取一点 F，使点 B 关于直线 EF 的对 称

5、点 G 落在 AD 上，连接 EG 交 CD 于点 H，连接 BH 交 EF 于点 M，连接 CM则下列结论，其中正确 的是（ ） 12； 34； GDCM； 若 AG1，GD2，则 BM A B C D 二填空题（共二填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）在实数范围内分解因式：8x3y2xy3 12 （3 分）一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回 搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 13 （3 分）对于三个数 a，b，c，我们规定用 Ma，b，c表示这三个数的平均数

6、，用 mina，b，c表示这 三个数中最小的数例如：M1，2，3，min1，2，31，如果 M3，2x+1，4x 1min2，x+3，5x，那么 x 14 （3 分）如图，AOB 中，AOB90，AO3，BO6，AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB 处，此时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长度为 15 （3 分）如图，在ABCD 中，点 B 在 y 轴上，AD 过原点，且 SABCD12，A、C、D 三点在反比例函数 y（k0）的图象上，则 k 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 16 （5 分）计算：4sin60|2|+20210+（） 1 17

7、（6 分）先化简，再求值： （），其中 a+1 18 （8 分）为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动” 项目中， 你最喜欢哪一项活动 （每人只限一项） 的问题， 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查， 并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图请你根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽查了 名学生，其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百 分比为 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为 度 （2）请你补全条形统计图 （3）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法 求恰好选中“舞蹈

8、、声乐”这两项的概率 19 （8 分）如图，ABC 中，BCA90，CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C，D 作 BA，BC 的平行线 交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连接 AE （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）若 AC2DE，求 sinCDB 的值 20 （8 分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车 商家带来商机某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型自行车每辆售价预计比 去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 10%，求： （1）A 型自行车去年每辆售

9、价多少元？ （2）该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的 两倍已知 A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B 型车销售价格为 2400 元，应 如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 21 （10 分）已知 RtABC，BAC90，点 D 是 BC 中点，ADAC，BC2，过 A，D 两点作O， 交 AB 于点 E （1）求证：BC 是O 的切线； （2） 如图 1， 当圆心 O 在 AB 上且点 M 是O 上一动点， 连接 DM 交 AB 于点 N， 求当 ON 等于多少时， 三点 D

10、、E、M 组成的三角形是等腰三角形？ （3）如图 2，当圆心 O 不在 AB 上且动圆O 与 DB 相交于点 Q 时，过 D 作 DHAB（垂足为 H）并交 O 于点 P，问：当O 变动时，DPDQ 的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由 22 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 的图象经过点 A（0，3） 、B（1，0） ，其对称轴为直线 l：x 2，过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C，AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个 动点，设其横坐标为 m （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连接 PE、

11、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并 求出其最大值； （3）如图，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF 成为以点 P 为直角顶 点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2021 的倒数是（ ） A2021 B2021 C D 【解答】解：2021 的倒数是 故选：C 2 （3 分）下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（ ） A B C D 【解

12、答】解：因为球体的三视图都是大小相同的圆形，因此选项 C 正确； 故选：C 3 （3 分）2020 年 6 月 23 日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高 度大约是 21500000 米将数字 21500000 用科学记数法表示为（ ） A0.215108 B2.15107 C2.15106 D21.5106 【解答】解：将 21500000 用科学记数法表示为 2.15107， 故选：B 4 （3 分）垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回 收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解

13、答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+2a23a4 Ba6a3a2 C （ab）2a2b2 D （ab）2a2b2 【解答】解：a2+2a23a2，因此选项 A 不符合题意； a6a3a6 3a3，因此选项 B 不符合题意； （ab）2a22ab+b2，因此选项 C 不符合题意； （ab）2a2b2，因此选项 D 符合题意； 故选：D

14、6 （3 分）刘老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的有关信息，现从中随机抽取 15 名学生家庭的年收入情况，数据如下表： 年收入（单位：万元） 2 2.5 3 4 5 9 13 家庭个数 1 3 5 2 2 1 1 关于这 15 名学生家庭的年收入情况，下列说法不正确的是（ ） A平均数是 4 万元 B中位数是 3 万元 C众数是 3 万元 D极差是 11 万元 【解答】解：这 15 名学生家庭年收入的平均数是： （2+2.53+35+42+52+9+13）154.3（万元） ； 将这 15 个数据从小到大排列，最中间的数是 3，所以中位数是 3 万元； 在这一组数据中

15、3 出现次数最多的，故众数 3 万元； 13211（万元） ，所以极差是 11 万元 故选项不正确的是 A 故选：A 7 （3 分）下列命题是假命题的是（ ） A三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 B如果等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，那么这个等腰三角形的周长为 16 C将一次函数 y3x1 的图象向上平移 3 个单位，所得直线不经过第四象限 D若关于 x 的一元一次不等式组无解，则 m 的取值范围是 m1 【解答】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 三角形外心到三角形的三个顶点的距离相等，本选项说法是真命题； B、如果等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，那么这个

16、等腰三角形的周长为 16 或 17，本说法是假命题； C、将一次函数 y3x1 的图象向上平移 3 个单位，得到 y3x+2， y3x+2 经过第一、二、三象限， 所得直线不经过第四象限，本选项说法是真命题； D、， 解得，xm， 解得，x1， 当一元一次不等式组无解时，m1，本选项说法是真命题； 故选：B 8 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图： 分别以点 C 和点 D 为圆心，大于CD 的同样的长为半径作弧，两弧交于 M，N 两点； 作直线 MN，交 CD 于点 E，连接 BE 若直线 MN 恰好经过点 A，则下列说法错误的是（ ） AABC60 BSABE2SADE C

17、若 AB4，则 BE4 DtanCBE 【解答】解：如图， A、根据作图过程可知： AE 是 DC 的垂直平分线，连接 AC， ACAD， 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD， ABBCAC， 三角形 ABC 是等边三角形， ABC60 所以 A 选项正确； B、点 E 是 CD 的中点， SADESBCESABE， SABE2SADE， 所以 B 选项正确； C、BACCAD60，CAECAD30， BAE90， ABAD4， AE2， 在 RtABE 中，根据勾股定理，得 BE2， 所以 C 选项错误； D、过点 E 作 BC 的垂线，垂足为 F， EFC90， ECF60， 设

18、 CE2，则 BC4，CF1，EF， 在 RtEBF 中，BFBC+CF5， tanCBE 所以 D 选项正确 所以下列说法错误的是 C 选项 故选：C 9 （3 分）如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n） ，且与 x 轴的一个交点在 点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： 4a2b+c0； 3a+b0； b24a（cn） ； 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个互异实根 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x 1， 抛物线

19、与 x 轴的另一个交点在点（2，0）和（1，0）之间 当 x2 时，y0， 即 4a2b+c0，所以不符合题意； 抛物线的对称轴为直线 x1，即 b2a， 3a+b3a2aa0，所以不符合题意； 抛物线的顶点坐标为（1，n） ， n， b24ac4an4a（cn） ，所以符合题意； 抛物线与直线 yn 有一个公共点， 抛物线与直线 yn1 有 2 个公共点， 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根，所以符合题意 故选：B 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 延长线上一点，在 AB 上取一点 F，使点 B 关于直线 EF 的对 称点 G 落在 AD 上，连

20、接 EG 交 CD 于点 H，连接 BH 交 EF 于点 M，连接 CM则下列结论，其中正确 的是（ ） 12； 34； GDCM； 若 AG1，GD2，则 BM A B C D 【解答】解：如图 1 中，过点 B 作 BKGH 于 K B，G 关于 EF 对称， EBEG， EBGEGB， 四边形 ABCD 是正方形， ABBC，AABCBCD90，ADBC， AGBEBG， AGBBGK， ABKG90，BGBG， BAGBKG（AAS） ， BKBABC，ABGKBG， BKHBCH90，BHBH， RtBHKRtBHC（HL） ， 12，HBKHBC，故正确， GBHGBK+HBKAB

21、C45， 过点 M 作 MQGH 于 Q，MPCD 于 P，MRBC 于 R 12， MQMP， MEQMER， MQMR， MPMR， 4MCPBCD45， GBH4，故正确， 如图 2 中，过点 M 作 MWAD 于 W，交 BC 于 T B，G 关于 EF 对称， BMMG， CBCD，4MCD，CMCM， MCBMCD（SAS） ， BMDM， MGMD， MWDG， WGWD， BTMMWGBMG90， BMT+GMW90， GMW+MGW90， BMTMGW， MBMG， BTMMWG（AAS） ， MTWG， MCTM，DG2WG， DGCM，故正确， AG1，DG2， ADAB

22、TW3，TCWDTM1，BTAW2， BM，故正确， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）在实数范围内分解因式：8x3y2xy3 2xy（2x+y） （2xy） 【解答】解：8x3y2xy32xy（4x2y2）2xy（2x+y） （2xy） 故答案为：2xy（2x+y） （2xy） 12 （3 分）一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回 搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 【解答】解：列表得： 黑 白 白 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白）

23、 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 共 9 种等可能的结果，两次都是黑色的情况有 1 种， 两次摸出的球都是黑球的概率为， 故答案为： 13 （3 分）对于三个数 a，b，c，我们规定用 Ma，b，c表示这三个数的平均数，用 mina，b，c表示这 三个数中最小的数例如：M1，2，3，min1，2，31，如果 M3，2x+1，4x 1min2，x+3，5x，那么 x 或 【解答】解：M3，2x+1，4x1min2，x+3，5x， 若（3+2x+1+4x1）2，则 x， （符合题意） 若（3+2x+1+4x1）x+3，则 x， （x+3 不是三个数中

24、最小的数，不符合题意） 若（3+2x+1+4x1）5x，则 x， （符合题意） 故答案为：或 14 （3 分）如图，AOB 中，AOB90，AO3，BO6，AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB 处，此时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长度为 【解答】解：AOB90，AO3，BO6， AB3， AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处， AOAO3，ABAB3， 点 E 为 BO 的中点， OEBO63， OEAO， 过点 O 作 OFAB于 F， SAOB3OF36， 解得 OF， 在 RtEOF 中，EF， OEAO，OFAB， AE2EF2（等腰三角形三

25、线合一） ， BEABAE3 故答案为： 15 （3 分）如图，在ABCD 中，点 B 在 y 轴上，AD 过原点，且 SABCD12，A、C、D 三点在反比例函数 y（k0）的图象上，则 k 4 【解答】解：如图，作 AHOB 于 H，CEy 轴于 E，DFCE 于 F 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， AHx 轴CF， BAHDCF， DFCAHB90， CFDAHB（AAS） ， AHCF，DFBH， 设 A（x，y） ，则 D（x，y） ， SABCD12，OAOD， SAOB3， OB，BH， 点 C 的坐标为（2x，） ， A、C、D 三点在反比例函数 y（k

26、0）的图象上， xy2x（）k， kxy4 故答案为：4 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 16 （5 分）计算：4sin60|2|+20210+（） 1 【解答】解：原式4（2）+12+4 22+12+4 +3 17 （6 分）先化简，再求值： （），其中 a+1 【解答】解：原式 ， 当 a+1 时，原式 18 （8 分）为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动” 项目中， 你最喜欢哪一项活动 （每人只限一项） 的问题， 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查， 并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图请你根据统计图解答下列问题： （1）

27、在这次调查中，一共抽查了 50 名学生，其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分 比为 24% 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为 28.8 度 （2）请你补全条形统计图 （3）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法 求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率 【解答】解： （1）一共抽查学生数为：816%50， “舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为：100%24%； 喜欢戏曲的人数：50121681050464 人， 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：36028.8， 故答案为：50，24%，28.8 （2）补全统计

28、图如图： （3）画树状图如下： 共有 12 种等可能结果，其中恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的有 2 种结果， 故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率是： 19 （8 分）如图，ABC 中，BCA90，CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C，D 作 BA，BC 的平行线 交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连接 AE （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）若 AC2DE，求 sinCDB 的值 【解答】 （1）证明：DEBC，CEAB， 四边形 DBCE 是平行四边形 CEBD， 又CD 是边 AB 上的中线， BDAD， CEDA， 又CEDA， 四边形 ADCE 是平行四

29、边形 BCA90，CD 是斜边 AB 上的中线， ADCD， 四边形 ADCE 是菱形； （2）解：过点 C 作 CFAB 于点 F， 由（1）可知，BCDE， 设 BCx，则 AC2x， 在 RtABC 中，ABx ABCFACBC， CFx CDABx， sinCDB 20 （8 分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车 商家带来商机某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型自行车每辆售价预计比 去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 10%，求： （1）A 型自行车去年每辆售价多少

30、元？ （2）该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的 两倍已知 A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B 型车销售价格为 2400 元，应 如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 【解答】解： （1）设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为（x200）元，由题意，得 ， 解得：x2000 经检验，x2000 是原方程的根 答：去年 A 型车每辆售价为 2000 元； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车（60a）辆，获利 y 元，由题意，得 y（20002001500

31、）a+（24001800） （60a） ， y300a+36000 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 60a2a， a20 y300a+36000 k3000， y 随 a 的增大而减小 a20 时，y 有最大值， B 型车的数量为：602040（辆） 当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大 21 （10 分）已知 RtABC，BAC90，点 D 是 BC 中点，ADAC，BC2，过 A，D 两点作O， 交 AB 于点 E （1）求证：BC 是O 的切线； （2） 如图 1， 当圆心 O 在 AB 上且点 M 是O 上一动点， 连接 DM 交 AB 于点

32、 N， 求当 ON 等于多少时， 三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形？ （3）如图 2，当圆心 O 不在 AB 上且动圆O 与 DB 相交于点 Q 时，过 D 作 DHAB（垂足为 H）并交 O 于点 P，问：当O 变动时，DPDQ 的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由 【解答】证明： （1）如图 1，连接 CO， RtABC，BAC90，点 D 是 BC 中点， ADCDBD， ADAC， ACCD， 又AODO，COCO， ACODCO（SSS） ， CDOCAO90， 又OD 是半径， BC 是O 的切线； （2）连 DE、ME，如图 3， DMDE， 当 ED 和

33、 EM 为等腰三角形 EDM 的两腰， OEDM， 又ADAC， ADC 为等边三角形， CAD60， DAO30， DON60， 在 RtADN 中，DNAD， 在 RtODN 中，ONDN， 当 ON 等于时，三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形； 当 MDME，DE 为底边，如图 4，作 DHAE， AD，DAE30， DH，DEA60，DE1， ODE 为等边三角形， OEDE1，OH， MDAE30， 而 MDME， MDE75， ADM907515， DNO45， NDH 为等腰直角三角形， NHDH， ON； 综上所述，当三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形时，ON

34、等于或； （3）当O 变动时 DPDQ 的值不变，DPDQ， 理由如下：连 AP、AQ，如图 2， CCAD60， 而 DPAB， ACDP， PDBC60， 又PAQPDB， PAQ60， CAQPAD， ACAD，AQCP， AQCAPD（AAS） ， DPCQ， DPDQCQDQCD 22 （10 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 的图象经过点 A（0，3） 、B（1，0） ，其对称轴为直线 l：x 2，过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C，AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个 动点，设其横坐标为 m （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在

35、直线 OE 下方的抛物线上，连接 PE、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并 求出其最大值； （3）如图，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF 成为以点 P 为直角顶 点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D， 由对称性得：D（3，0） ， 设抛物线的解析式为：ya（x1） （x3） ， 把 A（0，3）代入得：33a， a1， 抛物线的解析式；yx24x+3； （2）如图 2，AOE 的面积是定值，所以当OEP 面积最大时，四边

36、形 AOPE 面积最大， 设 P（m，m24m+3） ， OE 平分AOB，AOB90， AOE45， AOE 是等腰直角三角形， AEOA3， E（3，3） ， 易得 OE 的解析式为：yx， 过 P 作 PGy 轴，交 OE 于点 G， G（m，m） ， PGm（m24m+3）m2+5m3， S四边形AOPESAOE+SPOE， 33+PGAE， +3（m2+5m3） ， +， （m）2+， 0， 当 m时，S 有最大值是； （3）分四种情况： 当 P 在对称轴的左边，且在 x 轴下方时，如图 3，过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 l 于 N， OPF 是等腰直角三角形，且 O

37、PPF， 易得OMPPNF， OMPN， P（m，m24m+3） ， 则m2+4m32m， 解得：m（舍）或， P 的坐标为（，） ； 当 P 在对称轴的左边，且在 x 轴上方时，如图 3， 同理得：2mm24m+3， 解得：m1（舍）或 m2， P 的坐标为（，） ； 当 P 在对称轴的右边，且在 x 轴下方时， 如图 4，过 P 作 MNx 轴于 N，过 F 作 FMMN 于 M， 同理得ONPPMF， PNFM， 则m2+4m3m2， 解得：m或（舍） ； P 的坐标为（，） ； 当 P 在对称轴的右边，且在 x 轴上方时， 同理得 m24m+3m2， 解得：m或（舍） P 的坐标为： （，） ； 综上所述，点 P 的坐标是： （，）或（，）或（，）或（， ）