2021年湖南省长沙市天心区中考数学二模试卷（含答案详解）

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1、2021 年湖南省长沙市天心区中考数学二模试卷年湖南省长沙市天心区中考数学二模试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题本大题 共共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中是有理数的是（ ） A2021 B C D0.1010010001 2（3分） 根据国家卫健委最新数据， 截至到2021年4月2日， 全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000 剂次，将 133801000 用科学记数

2、法表示为（ ） A1.33801107 B1.33801108 C13.3801107 D0.133801109 3 （3 分）下列图形一定是轴对称图形的是（ ） A直角三角形 B平行四边形 C等腰三角形 D六边形 4 （3 分）下列计算中，结果是 a5的是（ ） Aa2+a3 Ba2a3 Ca10a2 D （a2）3 5 （3 分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A两点确定一条直线 B两点之间线段最短 C三角形的稳定性 D垂线段最短 6 （3 分）有 7 名大学生去同一家大型公司去面试，公司只录取 3 人，每个人仅知道自己的面试成绩（每个 人的面

3、试成绩都不相同） ，要想让他们知道是否被录取，公司只需要公布他们面试成绩的（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 7 （3 分）要使有意义，则 x 的取值范围为（ ） Ax0 Bx1 Cx0 Dx1 8 （3 分）如图，将线段 AB 平移到线段 CD 的位置，则 ab 的值为（ ） A4 B0 C3 D5 9 （3 分）下列说法正确的是（ ） A4 的平方根是 2 B平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C一组数据中有且仅有一个众数 D等弧所对的弦相等 10 （3 分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是 （ ） A4 B2 C D2 二、填空题

4、（本大题共有二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 11 （3 分）一元一次方程 2x11 的解是 x 12 （3 分）笔直的公路 AB，AC，BC 如图所示，AC，BC 互相垂直，AB 的中点 D 与点 C 被建筑物隔开， 若测得 AC 的长为 6km，BC 的长为 8km，则 C，D 之间的距离为 km 13 （3 分）在平面直角坐标系中，已知点 E（2，1） ，F（1，1） ，以原点 O 为位似中心，相似比为 1： 2，将EFO 扩大

5、，则点 E 的对应点 E的坐标是 14 （3 分）如图所示，ABDE，1130，236，则3 度 15 （3 分）如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（2，3） ，B（6，1）两点， 当 k1x+b时，x 的取值范围为 16 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，过点 E 作 EFBE 交 CD 于 F，且 BCBE10，FC FE5， 点 M 是线段 CF 上的动点， 连接 BM， 过点 E 作 BM 的垂线交 BC 于点 N， 垂足为 H 以下结论： FEDEBA；AE6；AEEDCDDF；连接 CH，则 CH 的最小值为5；其中正确 的

6、结论是 （所有正确结论的序号都填上） 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 9 小题，共小题，共 72 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：24+|16sin60|+（2021）0 18 （6 分）先化简，再求值（x1） （x2）（x+1）2，其中 x 19 （6 分）如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，若 AD6tanC，BC12，求 cosB 的值 20 （8 分）随着智能手机的普及率越来越高以及移动支付的快捷高效性，中国移动支付在世

7、界处于领先水 平，为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，因此在某步行街对行人进行随机抽样调查，以下是根 据调查结果分别整理的不完整的统计表和统计图 移动支付方式 支付宝 微信 其他 人数/人 200 75 请你根据上述统计表和统计图提供的信息完成下列问题 （1）在此次调查中，使用支付宝支付的人数为 人，表示微信支付的扇形所对的圆心角度数为 度 （2）某天该步行街人流量为 10 万人，其中 30%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信 息估计一下当天使用微信支付的人数 （3）甲、乙、丙三人都只习惯使用支付宝和微信支付，并且他们选择这两种支付的可能性是相同的，请 计算三人恰好选择同一种

8、支付方式的概率 21 （8 分）如图，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，ADBC，垂足为 D，BE 分别交 AD、AC 于点 F、G （1）证明：FAFG； （2）若 BDDO2，求弧 EC 的长度 22 （9 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段 MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料 （1）当 AB 长度是多少时，矩形花园的面积为 150m2； （2）能否围成矩形花园面积为 210m2，为什么？ 23 （9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC，BD 交点，AF 平分DAC 交

9、BD 于点 G，交 DC 于点 F （1）求证：AEGADF （2）判断DGF 的形状 （3）若 AG1，求 GF 的长 24 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+2（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 C 的坐标和抛物线的解析式； （2）点 P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接 PA，交直线 BC 于点 D 若 sinPAB，试求四边形 OBPC 的面积 S； 设PDC 的面积为 S1，ADC 的面积为 S2，求的最大值 25 （10 分）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元） ，并且未知数的次数是 1 次（即一次） 的不

10、等式；满足二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序数对（x，y） ，所有这样的有序数对（x， y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：x+y3 是二元一次不等式， （1，4）是该不等式 的解有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直 角坐标系内的点构成的集合 （1）已知 A（，1） ，B（1，1） ，C（2，1） ，D（1，1）四个点请在直角坐标系中标出这四 个点，这四个点中是 xy20 的解的点是 （2）设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为 G 求 G 的面积； 反比例函数 y（x0）的图象和图形 G 有公共点，求 k 的取值

11、范围； （3）设的解集围成的图形为 M，直接写出抛物线 ymx22mx+m+与图形 M 有交点 时 m 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题本大题 共共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中是有理数的是（ ） A2021 B C D0.1010010001 【解答】解：A 选项是整数，属于有理数，符合题意； B 选项， 是无限不循环小数，是无理

12、数，不符合题意； C 选项，是开方开不尽的数，是无理数，不符合题意； D 选项是无限不循环小数，是无理数，不符合题意； 故选：A 2（3分） 根据国家卫健委最新数据， 截至到2021年4月2日， 全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000 剂次，将 133801000 用科学记数法表示为（ ） A1.33801107 B1.33801108 C13.3801107 D0.133801109 【解答】解：1338010001.33801108 故选：B 3 （3 分）下列图形一定是轴对称图形的是（ ） A直角三角形 B平行四边形 C等腰三角形 D六边形 【解答】解：A、直角三角形，不一定

13、是轴对称图形； B、平行四边形，不一定是轴对称图形； C、等腰三角形，一定是轴对称图形； D、六边形，不一定是轴对称图形； 故选：C 4 （3 分）下列计算中，结果是 a5的是（ ） Aa2+a3 Ba2a3 Ca10a2 D （a2）3 【解答】解：A、a2+a3，无法合并，故此选项不合题意； B、a2a3a5，故此选项符合题意； C、a10a2a8，故此选项不合题意； D、 （a2）3a6，故此选项不合题意 故选：B 5 （3 分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A两点确定一条直线 B两点之间线段最短 C三角形的稳定性 D垂线段最短 【解答】解

14、：根据三角形的稳定性可固定窗户 故选：C 6 （3 分）有 7 名大学生去同一家大型公司去面试，公司只录取 3 人，每个人仅知道自己的面试成绩（每个 人的面试成绩都不相同） ，要想让他们知道是否被录取，公司只需要公布他们面试成绩的（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【解答】解：知道自己是否被录取，只需公布第 4 名的成绩，即中位数 故选：B 7 （3 分）要使有意义，则 x 的取值范围为（ ） Ax0 Bx1 Cx0 Dx1 【解答】解：要使有意义， 则 x10， 解得：x1 故选：B 8 （3 分）如图，将线段 AB 平移到线段 CD 的位置，则 ab 的值为（ ） A4 B0 C3

15、 D5 【解答】解：由题意，线段 AB 向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位得到线段 CD， a532，b2+42， ab0， 故选：B 9 （3 分）下列说法正确的是（ ） A4 的平方根是 2 B平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C一组数据中有且仅有一个众数 D等弧所对的弦相等 【解答】解：A、4 的平方根为2，所以 A 选项的说法错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，所以 B 选项的说法错误； C、一组数据的众数可能有一个，也可能几个，所以 C 选项的说法错误； D、等弧所对的弦相等，所以 D 选项的说法正确 故选：D 10 （3 分）如图，这是一个底面为等

16、边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是 （ ） A4 B2 C D2 【解答】解：如图，过点 B 作 BDAC 于点 D，此正三棱柱底面ABC 的边 AB 在右侧面的投影为 BD， AC2， AD1，ABAD2， BD， 左视图矩形的长为 2， 左视图的面积为 2 故选：D 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 11 （3 分）一元一次方程 2x11 的解是 x 1 【解答】解：2x11， 移项

17、得：2x1+1， 合并同类项得：2x2， 系数化为 1 得：x1， 故答案为：1 12 （3 分）笔直的公路 AB，AC，BC 如图所示，AC，BC 互相垂直，AB 的中点 D 与点 C 被建筑物隔开， 若测得 AC 的长为 6km，BC 的长为 8km，则 C，D 之间的距离为 5 km 【解答】解：在 RtABC 中，AB2AC2+CB2， AC 的长为 6km，BC 的长为 8km， AB10km， D 点是 AB 中点， CDAB5km 故答案为：5 13 （3 分）在平面直角坐标系中，已知点 E（2，1） ，F（1，1） ，以原点 O 为位似中心，相似比为 1： 2，将EFO 扩大，

18、则点 E 的对应点 E的坐标是 （4，2）或（4，2） 【解答】解：以原点 O 为位似中心，相似比为 1：2，将EFO 扩大，点 E 的坐标为（2，1） ， 点 E 的对应点 E的坐标为（22，12）或（2（2） ，1（2） ）即（4，2）或（4，2） ， 故答案为： （4，2）或（4，2） 14 （3 分）如图所示，ABDE，1130，236，则3 86 度 【解答】解：过点 C 作 CMAB，则 CMDE， CMDE，236， MCD236， ABCM，1130， MCB+1180， MCB50； BCDMCB+MCD50+3686 故答案为：86 15 （3 分）如图，一次函数 yk1x

19、+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（2，3） ，B（6，1）两点， 当 k1x+b时，x 的取值范围为 0 x2 或 x6 【解答】解：由图象可知，当 k1x+b时，x 的取值范围为 0 x2 或 x6 故答案为 0 x2 或 x6 16 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，过点 E 作 EFBE 交 CD 于 F，且 BCBE10，FC FE5， 点 M 是线段 CF 上的动点， 连接 BM， 过点 E 作 BM 的垂线交 BC 于点 N， 垂足为 H 以下结论： FEDEBA；AE6；AEEDCDDF；连接 CH，则 CH 的最小值为5；其中正确 的结论是

20、（所有正确结论的序号都填上） 【解答】解：连接 BF，CE 交于点 O，由 BEBC，EFFC 可得 BF 垂直平分 EC， BF 垂直平分 EC， 在 RtBEF 中，BF，FO， BO，EO，EC2EO4， 设 DF 为 x，DC5+x，DE，过 E 作 EGBC， 在 RtEGC 中，EG2+GC2EC2，即（5+x）2+（52x2）2（4）2，解得 x3， DC8，DE4，AE6，正确； ， ABEDEF， ABCD， ，即 AEEDCDDF，正确； MBC+BMC90，MBC+BNH90， BMCBNH， EGNBCM90， EGNBCM， ，正确； ENBM，BE10， 点 H 的

21、运动轨迹为以 BE 中点 I 为圆心，5 为半径的上运动， 过 I 作 ITDC 于 T，CI， 在IHC 中，CHCIIH5，正确 故答案为： 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 9 小题，共小题，共 72 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：24+|16sin60|+（2021）0 【解答】解：原式163+61+1 163+31+1 16 18 （6 分）先化简，再求值（x1） （x2）（x+1）2，其中 x 【解答】解： （x1） （

22、x2）（x+1）2， x22xx+2x22x1 5x+1 当 x时， 原式5+1 19 （6 分）如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，若 AD6tanC，BC12，求 cosB 的值 【解答】解：tanC， CD4 BD1248 在 RtABD 中， AB 10 cosB 20 （8 分）随着智能手机的普及率越来越高以及移动支付的快捷高效性，中国移动支付在世界处于领先水 平，为了解人们平时最喜欢用哪种移动支付方式，因此在某步行街对行人进行随机抽样调查，以下是根 据调查结果分别整理的不完整的统计表和统计图 移动支付方式 支付宝 微信 其他 人数/人 200 75 请你根据上述统计表和统计图提

23、供的信息完成下列问题 （1） 在此次调查中， 使用支付宝支付的人数为 225 人， 表示微信支付的扇形所对的圆心角度数为 144 度 （2）某天该步行街人流量为 10 万人，其中 30%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信 息估计一下当天使用微信支付的人数 （3）甲、乙、丙三人都只习惯使用支付宝和微信支付，并且他们选择这两种支付的可能性是相同的，请 计算三人恰好选择同一种支付方式的概率 【解答】解： （1）被调查的总人数为 7515%500（人） ， 使用支付宝支付的人数为 50020075225（人） ， 表示微信支付的扇形所对的圆心角度数为 360144， 故答案为：225，1

24、44； （2）估计当天使用微信支付的人数为 1030%1.2（万人） ； （3）画树状图如下： 由树状图知，共有 8 种等可能结果，其中三人恰好选择同一种支付方式的有 2 种， 所以三人恰好选择同一种支付方式的概率为 21 （8 分）如图，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，ADBC，垂足为 D，BE 分别交 AD、AC 于点 F、G （1）证明：FAFG； （2）若 BDDO2，求弧 EC 的长度 【解答】 （1）证明：BC 是O 的直径， BAC90， ABE+AGB90； ADBC， C+CAD90； ， CABE， AGBCAD， FAFG （2）解：如图，连接 AO、EO， ， B

25、DDO2，ADBC， ABAO， AOBO， ABAOBO， ABO 是等边三角形， AOB60， ， AOE60， EOC60， 的弧长2（22） 22 （9 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段 MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料 （1）当 AB 长度是多少时，矩形花园的面积为 150m2； （2）能否围成矩形花园面积为 210m2，为什么？ 【解答】解： （1）设 BCxm，则 ABCD（40 x）m，x25， 则（40 x）x150， 解得：x10 或 30（舍去 30） ， 故 x10（m）

26、； AB15（m） 答：当 AB 长度是 15m 时，矩形花园的面积为 150m2； （2）由题意得：则（40 x）x210， 化简得：x240 x+4200，160044200， 故不能围成矩形花园面积为 210m2 23 （9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC，BD 交点，AF 平分DAC 交 BD 于点 G，交 DC 于点 F （1）求证：AEGADF （2）判断DGF 的形状 （3）若 AG1，求 GF 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ACBD，ADF90， AEGADF90， AF 平分DAC， DAFEAG， AEGADF （2）解

27、：结论：DFG 是等腰三角形 理由：四边形 ABCD 是正方形， ADBDAE45，ADF90， AF 平分DAC， DAGDAC22.5， DGFADG+DAG67.5，DFG9022.567.5， DGFDFG， DGDF DFG 是等腰三角形 （3）解：四边形 ABCD 是正方形， ACBD，EAED， AED 是等腰直角三角形， ADAE， AEGADF， ， AG1， AF， GFAFAG1 24 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+2（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 C 的坐标和抛物线的解析式； （2）点 P 是第一象限

28、抛物线上的一个动点，连接 PA，交直线 BC 于点 D 若 sinPAB，试求四边形 OBPC 的面积 S； 设PDC 的面积为 S1，ADC 的面积为 S2，求的最大值 【解答】解： （1）令 x0，则 y2， C（0，2） ， 将 A（1，0） ，B（4，0）代入到抛物线解析式中得， ， 解得， 抛物线的解析式为，C（0，2） ； （2）如图 1，过 P 作 PGAB 于 G，设 P（） ， ，AGm+1， ， ， 设 PG，则 PA5n， ， AG2PG， m+1m2+3m+4， m3 或1， P 在第一象限， m3， PG2， P（3，2） ， 又 C（0，2） ， PCAB， 四边形

29、 OBPC 的面积为 S； 如图 2，过 P 作 PMx 轴交 BC 于 M，过 A 作 ANx 轴交 BC 于 N， 则 ANPM， PMDAND， ， 设直线 BC 为 ykx+2， 代入点 C（4，0）得，4k+20， ， 直线 BC 为 y， 设 P（） ，则 M（m，） ， ， 当 x1 时， ， ， ， P 是第一象限的点， 0m4， m2 时，的最大值为 25 （10 分）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元） ，并且未知数的次数是 1 次（即一次） 的不等式；满足二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序数对（x，y） ，所有这样的有序数对（x， y）构成的集

30、合称为二元一次不等式（组）的解集，如：x+y3 是二元一次不等式， （1，4）是该不等式 的解有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直 角坐标系内的点构成的集合 （1）已知 A（，1） ，B（1，1） ，C（2，1） ，D（1，1）四个点请在直角坐标系中标出这四 个点，这四个点中是 xy20 的解的点是 A，B，C （2）设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为 G 求 G 的面积； 反比例函数 y（x0）的图象和图形 G 有公共点，求 k 的取值范围； （3）设的解集围成的图形为 M，直接写出抛物线 ymx22mx+m+与图形 M 有交点 时 m

31、的取值范围 【解答】解： （1）xy20 变形为 yx2， y2x2 的图象如图所示， （x，y）满足 yx2 的点在这条直线上及直线的上方， A，B，C 是 xy20 的解的点， 故答案为 A，B，C； （2）的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为 G，是直线 yx+6，x1，y2 所围 成的三角形，如图所示， 当 x1 时，yx+65， 当 y2 时，x4， 三顶点坐标分别为（1，2） ， （1，5） ， （4，2） ， S； 点 E，F，G 的坐标分别为（1，5） ， （4，2） ， （1，2） ， 根据反比例函数的几何意义，当反比例函数经过点 C 时，k最小2， 直线 AB 的函数关系

32、式为 yx+6，设反比例函数与线段 AB 相交于点（x，x+6） ， kx（x+6）（x3）2+9， 1x4， 当 x3 时，k最大9， k 的取值范围是 2k9； （3）3）的解集围成的图形为 M， 是四条直线 y2x1，y2x+1，y2x+1，y2x1 所围成的四边形边上及内部， 抛物线 ymx22mx+m+与图形 M 有交点，分两种情况： 当 m0 时， 交点的临界位置是经过点（0，1） ，如图 3， 把点（0，1）代入抛物线 ymx22mx+m+， 得 m+1， 解得 m， 0m； 当 m0 时， 交点的临界位置是经过点（，0） ，如图 4， 把点（，0）代入抛物线 ymx22mx+m+， 得m2m+m+0， 解得 m2， 2m0； 0m或2m0