§5.1（第1课时）变化率问题和导数的概念 学案（含答案）2021年新教材人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册）

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1、5.15.1 导数的概念及其意义导数的概念及其意义 第第 1 1 课时课时 变化率问题和导数的概念变化率问题和导数的概念 学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导 数的定义求函数在某点处的导数 知识点一 瞬时速度 瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 (2)一般地，设物体的运动规律是 ss(t)，则物体在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为s t st0tst0 t .如果 t 无限趋近于 0 时，s t无限趋近于某个常数 v，我们就说当 t 无限趋近 于 0 时， s t的极限是 v， 这时 v 就是物体在时刻 tt0时的

2、瞬时速度， 即瞬时速度 vlimt0 s t lim t0 st0tst0 t . 知识点二 函数的平均变化率 对于函数 yf(x)，设自变量 x 从 x0变化到 x0 x，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0 x)这时，x 的变化量为 x，y 的变化量为 yf(x0 x)f(x0)我们把比值y x，即 y x fx0 xfx0 x 叫做函数 yf(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率 知识点三 函数在某点处的导数 如果当 x0 时，平均变化率y x无限趋近于一个确定的值，即 y x有极限，则称 yf(x)在 x x0处可导，并把这个确定的值叫做 yf(x)在 xx0处的导数

3、(也称为瞬时变化率)，记作 f(x0) 或 0 = |x xy，即 f(x0)lim x0 y xlimx0 fx0 xfx0 x . 1在平均变化率中，函数值的增量为正值( ) 2瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量( ) 3函数 yf(x)在 xx0处的导数值与 x 的正、负无关( ) 4设 xx0 x，则 xxx0，当 x 趋近于 0 时，x 趋近于 x0，因此，f(x0) lim x0 fx0 xfx0 x 0 lim xx fxfx0 xx0 .( ) 一、函数的平均变化率 例 1 (1)函数 y1 x从 x1 到 x2 的平均变化率为( ) A1 B1 2 C

4、2 D2 答案 B 解析 平均变化率为y x 1 21 21 1 2. (2)已知函数 y3xx2在 x02 处的增量为 x0.1，则y x的值为( ) A0.11 B1.1 C3.89 D0.29 答案 B 解析 yf(20.1)f(2)(32.12.12)(3222)0.11， y x 0.11 0.1 1.1. (3)汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平 均速度分别为 v1， v2， v3，则三者的大小关系为_ 答案 v1 v2 v3 解析 由平均变化率的几何意义知： v1kOA， v2kAB， v3kBC，由图象知：kOA

5、kABkBC，即 v1 v2 v3. 反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量 yf(x2)f(x1) (2)再计算自变量的改变量 xx2x1. (3)得平均变化率y x fx2fx1 x2x1 . 跟踪训练 1 已知函数 f(x)3x25，求 f(x)： (1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率； (2)在区间x0，x0 x上的平均变化率 解 (1)因为 f(x)3x25， 所以从 0.1 到 0.2 的平均变化率为 30.22530.125 0.20.1 0.9. (2)f(x0 x)f(x0) 3(x0 x)25(3x205) 3x206x0 x3(x)253x20

6、5 6x0 x3(x)2. 函数 f(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率为 6x0 x3x2 x 6x03x. 二、求瞬时速度 例 2 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)3tt2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t2 时的瞬时速度 解 (1)当 t0 时的速度为初速度 在 0 时刻取一时间段0,0t，即0，t， ss(t)s(0)3t(t)2(3002)3t(t)2， s t 3tt2 t 3t， lim t0 s tlimt0 (3t)3. 物体的初速度为 3. (2)取一时间段2,2t， ss(2t)s(2) 3(2t)(2t)2(3222)

7、t(t)2， s t tt2 t 1t， lim t0 s tlimt0 (1t)1， 当 t2 时，物体的瞬时速度为1. 反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量 ss(t0t)s(t0) (2)求平均速度 v s t. (3)求瞬时速度， 当 t 无限趋近于 0 时， s t无限趋近于的常数 v 即为瞬时速度， 即 vlimt0 s t. 跟踪训练 2 (1)一物体的运动方程为 s7t213t8，且在 tt0时的瞬时速度为 1，则 t0 _. 答案 1 解析 因为 s7(t0t)213(t0t)87t2013t08 14t0t13t7(t)2， 所以lim t0 s tl

8、imt0(14t0137t)14t0131， 所以 t01. (2)一质点 M 按运动方程 s(t)at21 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点 M 在 t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值 解 质点 M 在 t2 s 时的瞬时速度即为函数在 t2 处的瞬时变化率 质点 M 在 t2 附近的平均变化率为 s t s2ts2 t a2t 24a t 4aat， lim t0 s t4a8，即 a2. 三、求函数在某点处的导数 例 3 求函数 yx1 x在 x1 处的导数 解 y(1x) 1 1x 11 1 x x 1x， y x x x 1x x 1 1 1x，

9、lim x0 y xlimx0 1 1 1x 2. 从而 y|x12. 反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量 yf(x0 x)f(x0) (2)求平均变化率y x fx0 xfx0 x . (3)求极限lim x0 y x. 跟踪训练 3 (1)f(x)x2在 x1 处的导数为( ) A2x B2 C2x D1 答案 B 解析 lim x0 y xlimx0 f1xf1 x lim x0 12xx21 x lim x0 (2x)2. (2)已知 f(x)2 x，且 f(m) 1 2，则 m 的值等于( ) A4 B2 C2 D 2 答案 D 解析 因为y x f

10、mxfm x 2 mx 2 m x 2 mmx， 所以 f(m)lim x0 2 mmx 2 m2， 所以 2 m2 1 2，m 24，解得 m 2. 1函数 y1 在2,2x上的平均变化率是( ) A0 B1 C2 Dx 答案 A 解析 y x 11 x 0. 2已知函数 f(x)2x24 的图象上两点 A，B，且 xA1，xB1.1，则函数 f(x)从 A 点到 B 点 的平均变化率为( ) A4 B4x C4.2 D4.02 答案 C 解析 f x fxBfxA xBxA 1.582 1.11 4.2. 3 物体运动方程为 s(t)3t2(位移单位： m， 时间单位： s)， 若 vli

11、m t0 s3ts3 t 18 m/s， 则下列说法中正确的是( ) A18 m/s 是物体从开始到 3 s 这段时间内的平均速度 B18 m/s 是物体从 3 s 到(3t)s 这段时间内的速度 C18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度 D18 m/s 是物体从 3 s 到(3t)s 这段时间内的平均速度 答案 C 4一物体做直线运动，其运动方程为 s(t)t22t，则 t0 时，其速度为( ) A2 B1 C0 D2 答案 D 解析 因为lim t0 s tlimt0 tt22ttt22t t lim t0 (2t2t)2t2， 所以当 t0 时，其速度为 2. 5设函数 f(x)ax3，若 f(1)3，则 a_. 答案 3 解析 因为 f(1)lim x0 f1xf1 x lim x0 a1x3a3 x a. 又因为 f(1)3，所以 a3. 1知识清单： (1)平均变化率 (2)瞬时速度 (3)函数在某点处的导数 2方法归纳：极限法、定义法 3常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位