5.2.3简单复合函数的导数 学案(含答案)2021年新教材人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册)
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1、5 5. .2.32.3 简单复合函数的导数简单复合函数的导数 学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念, 掌 握复合函数的求导法则 知识点 复合函数的导数 1复合函数的概念 一般地,对于两个函数 yf(u)和 ug(x),如果通过中间变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那 么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数,记作 yf(g(x) 思考 函数 ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的? 答案 函数 ylog2(x1)是由 ylog2u 及 ux1 两个函数复合而成的 2复合函数的求导法则 一般地,对于由函数 yf(u)和 ug(x
2、)复合而成的函数 yf(g(x),它的导数与函数 yf(u),u g(x)的导数间的关系为 yxyu ux, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数 的乘积 1ycos 3x 由函数 ycos u,u3x 复合而成( ) 2函数 f(x)sin(2x)的导数为 f(x)cos 2x.( ) 3函数 f(x)e2x 1的导数为 f(x)2e2x1.( ) 一、求复合函数的导数 例 1 求下列函数的导数: (1)y 1 13x4; (2)ycos(x2); (3)ylog2(2x1); (4)ye3x 2. 解 (1)令 u13x,则 y 1 u4u 4, 所以 yu
3、4u 5,u x3. 所以 yxyu ux12u 5 12 13x5. (2)令 ux2,则 ycos u, 所以 yxyu uxsin u 2x2xsin(x2). (3)设 ylog2u,u2x1, 则 yxyuux 2 uln 2 2 2x1ln 2. (4)设 yeu,u3x2, 则 yx(eu) (3x2) 3eu3e3x 2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点:分解的函数通常为基本初等函数;求导时分清是对哪个 变量求导;计算结果尽量简洁 跟踪训练 1 求下列函数的导数: (1)y 1 12x; (2)y5log2(1x); (3)ysin 2x
4、 3 . 解 (1) 1 2 = 1 2,yx - - 设 y 1 2 u - ,u12x, 则 yx 1 2 1 2ux - 3 2 2 1 2 u 3 2 = 1 2x - - (2)函数 y5log2(1x)可看作函数 y5log2u 和 u1x 的复合函数, 所以 yxyu ux5(log2u) (1x) 5 uln 2 5 x1ln 2. (3) 设 ysin u,u2x 3, 则 yx(sin u) 2x 3 cos u 22cos 2x 3 . 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用 例 2 求下列函数的导数: (1)yln 3x ex ; (2)yx 1x2; (3)yxcos
5、 2x 2 sin 2x 2 . 解 (1)(ln 3x) 1 3x(3x) 1 x, yln 3xe xln 3xex ex2 1 xln 3x ex 1xln 3x xex . (2)y(x 1x2)x 1x2x( 1x2) 1x2 x2 1x2 12x 2 1x2 1x2 . (3)yxcos 2x 2 sin 2x 2 x(sin 2x)cos 2x1 2xsin 4x, y 1 2xsin 4x 1 2sin 4x x 2cos 4x 4 1 2sin 4x2xcos 4x. 反思感悟 (1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学 过的求导公式,对不易用
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