4.3.2第2课时等比数列前n项和公式的应用 学案(含答案)2021年新教材人教A版数学选择性必修第二册
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1、第第 2 2 课时课时 等比数列前等比数列前 n n 项和公式的应用项和公式的应用 学习目标 1.能够把实际问题转化成数列问题.2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列 模型解决实际问题的过程 知识点 等比数列前 n 项和的实际应用 1解应用问题的核心是建立数学模型 2一般步骤:审题、抓住数量关系、建立数学模型 3注意问题是求什么(n,an,Sn) 注意: (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性:设数列,判断数列,解题完毕要作答 (2)在归纳或求通项公式时,一定要将项数 n 计算准确 (3)在数列类型不易分辨时,要注意归纳递推关系 (4)在近似计算时,要注意应用对数方法,且要看清题中对近似程度
2、的要求 1有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个,现在 有 1 个这种细菌和 200 个这种病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A6 秒钟 B7 秒钟 C8 秒钟 D9 秒钟 答案 C 解析 根据题意,每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列, 设需要 n 秒细菌可将病毒全部杀死, 则 1222232n 1200, 12 n 12 200, 2n201,结合 nN*,解得 n8, 即至少需 8 秒细菌将病毒全部杀死 2某工厂去年产值为 a,计划今后 5 年内每年比上年产值增加 10%,则从今年起到第 5 年, 这个厂的总产值为( ) A1.14a B11(1
3、.151)a C1.15a D10(1.161)a 答案 B 解析 从今年起到第 5 年,这个厂的总产值为 a1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a1.11.1 51 1.11 11a(1.151) 3画一个边长为 2 的正方形,再以这个正方形的一条对角线为边画第 2 个正方形,以第 2 个正方形的一条对角线为边画第 3 个正方形,这样共画了 10 个正方形,则这 10 个正 方形的面积和等于_ 答案 2124 解析 依题意,这 10 个正方形的边长构成以 2 为首项, 2为公比的等比数列an,故 an2 ( 2)n 1, 所以面积 bn2( 2)n 124 2n12n1, 所以面积
4、和 S1022232112 2212 12 2124. 4某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植树 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(nN*)_. 答案 6 解析 设每天植树的棵数组成的数列为an, 由题意可知它是等比数列,且首项为 2,公比为 2, 其前 n 项和 Sn212 n 12 2n 12, 由 2n 12100,得 n6. 一、等比数列前 n 项和在几何中的应用 例 1 如图所示,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后再作 新三角形的内切圆如此下去,前 n 个内切圆的面积和为_ 答案 a2 9 1 1 22n 解
5、析 设第 n 个正三角形的内切圆的半径为 an, 从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的1 2, 每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的1 2, a11 2atan 30 3 6 a,a21 2a1,an 1 2an1, 数列an是以 3 6 a 为首项,1 2为公比的等比数列, an 3 6 1 2 n1a, 设前 n 个内切圆的面积和为 Sn, 则 Sn(a21a22a2n) a21 1 1 2 2 1 4 2 1 2n 1 2 a21 11 4 1 4 2 1 4 n1 4 3 a2 12 1 1 4n a 2 9 1 1 4n a 2 9 1 1 22n
6、. 反思感悟 此类几何问题可以转化为等比数列模型,利用等比数列的有关知识解决,要注意 步骤的规范性 跟踪训练 1 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而 成,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围 第一个正方形的边长是 m,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么,试问, 侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗?设侏罗纪蜘蛛网的长度为 Sn,则( ) ASn无限大 BSn0, 即 2 000 5 4 n1 5 000 1 4 5 n 0, 化简得 5 4 5 n2 5 4 n70, 设 x 4 5 n,代入上式得 5x2
7、7x20, 解此不等式,得 x1(舍去) 即 4 5 n0, Sn n 也为递增数列,又S8 8 S7 7 , Sn n 为递增数列 又S7 7 1012,S8 8 11.2512. 则第 10 年年初需要更新该生产线 三、递推公式在实际问题中的应用 例 3 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产,该企业第一年年初有资金 2 000 万元, 将其投入生产, 到当年年底资金增长了 50%, 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公 司要求企业从第一年开始, 每年年底上缴资金 d 万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产 设 第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元 (1)用 d 表示
8、 a1,a2,并写出 an1与 an的关系式; (2)若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示) 解 (1)由题意, 得 a12 000(150%)d3 000d, a2a1(150%)d3 2a1d4 500 5 2d, an1an(150%)d3 2and. (2)由(1),得 an3 2an1d 3 2 3 2an2d d 3 2 2a n23 2dd 3 2 n1a 1d 13 2 3 2 2 3 2 n2 . 整理,得 an 3 2 n1(3 000d)2d 3 2 n11 3 2 n1(3 0003d)2d.
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