天津市南开区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 9 小题）小题）. 1某中学有高一学生 400 人，高二学生 300 人，高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽 取 120 人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为（ ） A40 B48 C50 D80 2某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将 某年级 60 篇学生调查报告进行整理，分成 5 组画出的频率分布直方图（如图）已知从左至右 4 个小组 的频率分别为 0.05，0

2、.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（ ）（分数大于 或等于 80 分为优秀且分数为整数） A18 篇 B24 篇 C25 篇 D27 篇 3设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 4设点 A（1，2），B（2，3），C（3，1），且，则点 D 的坐标为（ ） A（2，16） B（2，16） C（4，16） D（2，0） 5l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l

3、3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 6在ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若2，+，则 （ ） A B C D 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（ ） AA1C1AD BD1C1AB CAC1与 DC 成 45角 DA1C1与 B1C 成 60角 8已知 i 为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数 z（2a+1）+i 的模为（ ） A B C D 9为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如 图所示，假设得分的中位数为 me，众数为 m0，平均值为 ，则（ ） A B Cmem0 Dmem0

4、 10如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 4，D 为 BC 的中点，沿 AD 把ADC 折叠到ADC处，使二面 角 BADC为 60，则折叠后二面角 ABCD 的正切值为（ ） A B C2 D 二、填空题（共二、填空题（共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11i 是虚数单位，则的共轭复数是 12某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有 40 人，乙班 50 人现分析两个班的一次考试成绩， 算得甲班的平均成绩是90分， 乙班的平均成绩是81分， 则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分 13 一 个 几 何 体 是 由 一 个 圆 锥 和 一 个 半 球

5、组 成 的 （ 相 关 尺 寸 如 图 ） ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 14口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为 1，2，3，4，5，若从中一次随机摸出两个球，则 摸出的两个球的编号之和大于 6 的概率为 15某人在点 C 测得塔顶 A 在南偏西 80，仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 100 米到点 D 处， 测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为 米 三、解答三、解答题：本大题共题：本大题共 5 个小题，该个小题，该 55 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知复数 z12+i，z1z25+5i（其中 i 为

6、虚数单位） （1）求复数 z2； （2）若复数 z3（3z2）（m22m3）+（m1）i所对应的点在第四象限，求实数 m 的取值范围 17已知，的夹角为 60， ，当实数 k 为何值时， （1） （2） 18在ABC 中，角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c，且 c2，C60 （1）求的值； （2）若 a+bab，求ABC 的面积 SABC 19甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲 获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得

7、这次比赛胜利的概率 20在九章算术中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”如图所示的五面 体是一个羡除，其中棱 AB，CD，EF 相互平行，四边形 ABEF 是梯形已知 CDEF，AD平面 ABEF， BEAF （1）求证：DF平面 BCE； （2）求证：平面 ADF平面 BCE 参考答案参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1某中学有高一学生 400 人，高二学生 300 人，高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽 取 120 人进行体能测试，则从高三抽取的人

8、数应为（ ） A40 B48 C50 D80 解：各年级学生数的比例为 400：300：5004：3：5， 则从高三抽取的人数应为：50 人 故选：C 2某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将 某年级 60 篇学生调查报告进行整理，分成 5 组画出的频率分布直方图（如图）已知从左至右 4 个小组 的频率分别为 0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（ ）（分数大于 或等于 80 分为优秀且分数为整数） A18 篇 B24 篇 C25 篇 D27 篇 解：根据频率分布直方图，可得分数大于 80 分的频率为

9、：1（0.05+0.15+0.35）0.45， 这次评比中被评为优秀的调查报告有 600.4527 故选：D 3设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 解：根据题意球的半径 R 满足 （2R）26a2， 所以 S球4R26a2 故选：B 4设点 A（1，2），B（2，3），C（3，1），且，则点 D 的坐标为（ ） A（2，16） B（2，16） C（4，16） D（2，0） 解：，+23（1，2）+2（3，1）3（1，4）（2，16）， 则点 D 的坐标为（2，16） 故选：A 5l1，l2，l3是空

10、间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 解：对于 A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错； 对于 B，l1l2，l1，l2所成的角是 90，又l2l3l1，l3所成的角是 90l1l3，B 对； 对于 C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故 C 错； 对于 D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故 D 错 故选：B 6在ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若2，+，则 （ ） A B C D 解：在ABC 中，已

11、知 D 是边 AB 上的一点， 而由题意可得 ， 故有 ， 故选：B 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（ ） AA1C1AD BD1C1AB CAC1与 DC 成 45角 DA1C1与 B1C 成 60角 解：由题意画出如下图形： A因为 ADA1D1， 所以C1A1D1即为异面直线 A1C1与 AD 所成的角，而C1A1D145，所以 A 错； B因为 D1C1CD，利平行公理 4 可以知道：ABCDC1D1，所以 B 错； C 因为 DCAB 所以C1AB 即为这两异面直线所成的角， 而， 所以 C 错； D因为 A1C1AC，所以B1CA 即为异面直线 A1C

12、1与 B1C 所成的角，在正三角形B1CA 中，B1CA 60，所以 D 正确 故选：D 8已知 i 为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数 z（2a+1）+i 的模为（ ） A B C D 解：， 若为纯虚数，则， 解得 a， 则 z（2a+1）+iz2+i， 则复数 z（2a+1）+i 的模为， 故选：C 9为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如 图所示，假设得分的中位数为 me，众数为 m0，平均值为 ，则（ ） A B Cmem0 Dmem0 解：中位数为第 15，16 个数（分别为 5，6）的平均数，即 me5.5， 5 出现的次

13、数最多，故众数为 m05， 平均数为+5.97 ， 故选：A 10如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 4，D 为 BC 的中点，沿 AD 把ADC 折叠到ADC处，使二面 角 BADC为 60，则折叠后二面角 ABCD 的正切值为（ ） A B C2 D 解：因为 BDAD，CDAD， 则BDC即为二面角 BADC的平面角， 所以BDC60， 则BDC为等边三角形，取 BC的中点 M，连结 DM，AM， 因为 ABAC，BDDC， 所以 DMBC，AMBC， 则二面角 ABCD 的平面角为AMD， 在等边三角形 ABC 中，ABACBC4， 所以 AD， 在等边三角形法 BDC中，BDBC

14、CD2， 所以 DM， 则， 故折叠后二面角 ABCD 的正切值为 2 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分 11i 是虚数单位，则的共轭复数是 解：i 是虚数单位， 则， 的共轭复数是 故答案为： 12某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有 40 人，乙班 50 人现分析两个班的一次考试成绩， 算得甲班的平均成绩是 90 分， 乙班的平均成绩是 81 分， 则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 85 分 解：甲班有 40 人，乙班 50 人现分析两个班的一次考试成绩， 算得甲班的平均成绩是 90 分， 乙班的平均成

15、绩是 81 分， 该校数学建模兴趣班的平均成绩是分 故答案为：85 13 一个几何体是由一个圆锥和一个半球组成的 （相关尺寸如图） ， 则该几何体的体积为 解：半球的半径为 2，所以半球的体积为 ， 圆锥的底面半径为 2，高为 12，所以圆锥的体积为 ， 故该几何体的体积为 故答案为： 14口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为 1，2，3，4，5，若从中一次随机摸出两个球，则 摸出的两个球的编号之和大于 6 的概率为 解：口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为 1，2，3，4，5， 从中一次随机摸出两个球， 基本事件总数 n10， 摸出的两个球的编号之和大于 6 包含的基本事

16、件有： （2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共 4 个， 摸出的两个球的编号之和大于 6 的概率为 p 故答案为： 15某人在点 C 测得塔顶 A 在南偏西 80，仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 100 米到点 D 处， 测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为 100 米 解：由题意得，AB平面 BCO， BC、BD平面 BCO，ABBC，ABBD 设塔高 ABx，在 RtABC 中，ACB45，可得 BCABx， 在 RtABD 中，ADB30，BDx， 在BCD 中由余弦定理，得 BD2CB2+CD22CBCDcos120， 3x2x2+10000+100 x，解得

17、x100 或50（舍去） 故塔高为 100 米 故答案为：100 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，该个小题，该 55 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知复数 z12+i，z1z25+5i（其中 i 为虚数单位） （1）求复数 z2； （2）若复数 z3（3z2）（m22m3）+（m1）i所对应的点在第四象限，求实数 m 的取值范围 解：（1）复数 z12+i，z1z25+5i， ； （2）z3（3z2）（m22m3）+（m1）i i（m22m3）+（m1）i （m1）+（m22m3）i， 复数 z3所对应的点在第四象

18、限， ， 解得1m1 实数 m 的取值范围是1m1 17已知，的夹角为 60， ，当实数 k 为何值时， （1） （2） 解：（1）由 可知存在实数 t，使， 即，解得， 故 k时，可得； （2）由（）（）0 可得 15+3k+（5k+9）0， 代入数据可得 154+27k+（5k+9）0， 解得 k， 故当 k时， 18在ABC 中，角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c，且 c2，C60 （1）求的值； （2）若 a+bab，求ABC 的面积 SABC 解：（1）由正弦定理可设， 所以， 所以 （2）由余弦定理得 c2a2+b22abcosC， 即 4a2+b2ab（a+b）23ab，

19、又 a+bab，所以（ab）23ab40， 解得 ab4 或 ab1（舍去） 所以 19甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲 获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率 解：记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai（i3，4，5）， “第 j 局甲获胜”为事件 Bi（j3，4，5） （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 AA3A4+B3B4， 由于各局比赛结果相互独立， 故 P（A）P（A3A4+B3B4

20、）P（A3A4）+P（B3B4）P（A3）P（A4）+P（B3）P（B4）0.60.6+0.4 0.40.52 （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 H， 因前两局中，甲、乙各胜 1 局， 故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中， 甲先胜 2 局，从而 HA3A4+B3A4A5+A3B4A5， 由于各局比赛结果相互独立， 故 P（H）P（A3A4+B3A4A5+A3B4A5） P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5） P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5） 0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.60.648 20在九章算

21、术中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”如图所示的五面 体是一个羡除，其中棱 AB，CD，EF 相互平行，四边形 ABEF 是梯形已知 CDEF，AD平面 ABEF， BEAF （1）求证：DF平面 BCE； （2）求证：平面 ADF平面 BCE 【解答】证明：（1）AB，CD，EF 相互平行，四边形 ABEF 是梯形CDEF， 四边形 CDFE 是平行四边形， DFCE， DF平面 BCE，CE平面 BCE， DF平面 BCE （2）AD平面 ABEF，BE平面 ABEF， BEAD， BEAF，AFADA BE平面 ADF， BE平面 BCE，平面 ADF平面 BCE