7.4.2超几何分布 学案(含答案)2021-2022学年人教A版(2019)选择性必修第三册
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1、7 7. .4.24.2 超几何分布超几何分布 学习目标 1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系 知识点 超几何分布 1定义:一般地,假设一批产品共有 N 件,其中有 M 件次品,从 N 件产品中随机抽取 n 件 (不放回),用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数,则 X 的分布列为 P(Xk)C k MC nk NM CnN ,km,m1,m2,r. 其中 n,N,MN*,MN,nN,mmax0,nNM,rminn,M 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量 X 服从超几何分布 2均值:E(X)nM N . 1超几何分布是不放回抽样( ) 2超几何分
2、布的总体是只有两类物品( ) 3超几何分布与二项分布的均值相同( ) 4超几何分布与二项分布没有任何联系( ) 一、超几何分布的辨析 例 1 下列问题中,哪些属于超几何分布问题,说明理由 (1)抛掷三枚骰子,所得向上的数是 6 的骰子的个数记为 X,求 X 的分布列; (2)有一批种子的发芽率为 70%,任取 10 颗种子做发芽实验,把实验中发芽的种子的个数记 为 X,求 X 的分布列; (3)盒子中有红球 3 只,黄球 4 只,蓝球 5 只,任取 3 只球,把不是红色的球的个数记为 X, 求 X 的分布列; (4)某班级有男生 25 人,女生 20 人选派 4 名学生参加学校组织的活动,班长
3、必须参加,其 中女生人数记为 X,求 X 的分布列; (5)现有 100 台平板电脑未经检测,抽取 10 台送检,把检验结果为不合格的平板电脑的个数 记为 X,求 X 的分布列 解 (1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题,是重复试验问题 (3)(4)符合超几何分布的特征, 样本都分为两类, 随机变量 X 表示抽取 n 件样本某类样本被抽 取的件数,是超几何分布 (5)中没有给出不合格产品数,无法计算 X 的分布列,所以不属于超几何分布问题 反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象 (2)是否为不放回抽样 (3)随机变量是否为样本中其中一
4、类个体的个数 跟踪训练 1 (多选)下列随机变量中,服从超几何分布的有( ) A在 10 件产品中有 3 件次品,一件一件地不放回地任意取出 4 件,记取到的次品数为 X B从 3 台甲型彩电和2 台乙型彩电中任取2 台,记X 表示所取的2 台彩电中甲型彩电的台数 C一名学生骑自行车上学,途中有 6 个交通岗,记此学生遇到红灯的数为随机变量 X D从 10 名男生,5 名女生中选 3 人参加植树活动,其中男生人数记为 X 答案 ABD 解析 依据超几何分布模型定义可知,ABD 中随机变量 X 服从超几何分布而 C 中显然不 能看作一个不放回抽样问题,故随机变量 X 不服从超几何分布 二、超几何
5、分布的概率 例 2 某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生,B 中 学推荐了 3 名男生、 4 名女生, 两校所推荐的学生一起参加集训 由于集训后队员水平相当, 从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数,求 X 的分布列 解 (1)由题意知,参加集训的男生、女生各有 6 人 代表队中的学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 3 3C 3 4 C3
6、6C36 1 100. 因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 1 100 99 100. (2)根据题意,知 X 的所有的可能取值为 1,2,3. P(X1)C 1 3C 3 3 C46 1 5, P(X2)C 2 3C 2 3 C46 3 5, P(X3)C 3 3C 1 3 C46 1 5. 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 反思感悟 求超几何分布的分布列的步骤 跟踪训练 2 现有来自甲、乙两班学生共 7 名,从中任选 2 名都是甲班的概率为1 7. (1)求 7 名学生中甲班的学生数; (2)设所选 2 名学生中甲班的学生数为 ,求 1
7、的概率 解 (1)设甲班的学生人数为 M,则C 2 M C27 MM1 42 1 7, 即 M2M60,解得 M3 或 M2(舍去) 7 名学生中甲班的学生共有 3 人 (2)由题意可知, 服从超几何分布 P( 1)P(1)p(2)C 1 3C 1 4 C27 C 2 3C 0 4 C27 4 7 1 7 5 7. 三、超几何分布与二项分布间的关系 例 3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况, 随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的质量(单位: 克), 质量的分组区间为(490,495, (495, 500, , (510,515, 由此得到样本的频率分布直方图如图
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