第六章 计数原理 章末复习课 学案(含答案)2021-2022学年人教A版(2019)选择性必修第三册
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1、第六章第六章 计数原理计数原理 章末复习课章末复习课 一、两个计数原理 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础,在进行计数过程中,常因 分类不明导致增(漏)解,因此在解题中既要保证类与类的互斥性,又要关注总数的完备性 2掌握两个计数原理,提升逻辑推理和数学运算素养 例 1 (1)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一颜色,且绿色卡片至多 1 张,则不同的取法种数为( ) A484 B472 C252 D232 答案 B 解析 根据题意,共有 C316种取法,其中每一种卡片各取 3 张,有 4C34种
2、取法,取 2 张绿色卡 片有 C24 C112种取法,故所求的取法共有 C3164C34C24 C112472(种) (2)车间有 11 名工人,其中 5 名男工是钳工,4 名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又 能当钳工,现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,则有多少种选派 方法? 解 方法一 设 A,B 代表 2 位老师傅 A,B 都不在内的选派方法有 C45C445(种), A,B 都在内且当钳工的选派方法有 C22C25C4410(种), A,B 都在内且当车工的选派方法有 C22C45C2430(种), A,B 都在内且一人当钳工,一人当车工的选派方法
3、有 A22C35C3480(种), A,B 有一人在内且当钳工的选派方法有 C12C35C4420(种), A,B 有一人在内且当车工的选派方法有 C12C45C3440(种), 所以共有 C45C44C22C25C44C22C45C24A22C35C34C12C35C44C12C45C34185(种)选派方法 方法二 5 名男钳工有 4 名被选上的方法有 C45C44C45C34C12C45C24C2275(种), 5 名男钳工有 3 名被选上的方法有 C35C12C44C35C34A22100(种), 5 名男钳工有 2 名被选上的方法有 C25C22C4410(种), 所以共有 7510
4、010185(种)选派方法 方法三 4 名女车工都被选上的方法有 C44C45C44C35C12C44C25C2235(种), 4 名女车工有 3 名被选上的方法有 C34C12C45C34C35A22120(种), 4 名女车工有 2 名被选上的方法有 C24C22C4530(种), 所以共有 3512030185(种)选派方法 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么 (2)思考如何完成这件事 (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类 (4)选择计数原理进行计算 跟踪训练 1 (1)从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中, 任取 3
5、 个数字组成无重复数字的三位数, 其中, 若有 1 和 3 时, 3 必须排在 1 的前面; 若只有 1 和 3 中的一个时, 它应排在其他数字的前面, 这样不同的三位数共有_个(用数字作答) 答案 60 解析 1 与 3 是特殊元素,以此为分类标准进行分类 分三类:没有数字 1 和 3 时,满足条件的三位数有 A34个; 只有 1 和 3 中的一个时,满足条件的三位数有 2A24个; 同时有 1 和 3 时,把 3 排在 1 的前面,再从其余 4 个数字中选 1 个数字插入 3 个空中的 1 个即可,满足条件的三位数有 C14 C13个 所以满足条件的三位数共有 A342A24C14 C13
6、60(个) (2)由甲、乙、丙、丁 4 名学生参加数学、写作、英语三科竞赛,每科至少 1 人(且每人仅报一 科),若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛,则不同的参赛方案共有_种 答案 30 解析 从 4 人中选出两个人作为一个元素有 C24种方案, 同其他两个元素在三个位置上排列有 C24A3336(种)方案,其中有不符合条件的, 即学生甲、乙同时参加同一竞赛,共有 A33种方案, 所以不同的参赛方案共有 36630(种) 二、排列与组合的综合应用 1排列、组合是两类特殊的计数求解方式,在计数原理求解中起着举足轻重的作用,解决排 列与组合的综合问题要树立先选后排,特殊元素(特殊位置)优先的原则 2
7、明确排列和组合的运算,重点提升数学建模及数学运算的素养 例 2 在高三(1)班元旦晚会上,有 6 个演唱节目,4 个舞蹈节目 (1)当 4 个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序? (2)当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序? (3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板 2 个节目,但不能改变原来节目的 相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序? 解 (1)第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来,看成 1 个节目,与 6 个演唱节目一起排,有 A77 5 040(种)方法;第二步再松绑,给 4 个舞蹈节目排序,有 A4424(种)方
8、法 根据分步乘法计数原理,一共有 5 04024120 960(种)安排顺序 (2)第一步将 6 个演唱节目排成一列(如图中的“”),一共有 A66720(种)方法 第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位置), 这样相当于 7 个“”选 4 个来排,一共有 A47840(种)方法 根据分步乘法计数原理,一共有 720840 604 800(种)安排顺序 (3)若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有 A12 12种排法,但原来的节目已定好顺序,需要 消除,所以节目演出的顺序有A 12 12 A10 10A 2 12132(种) 反思感悟 解决排列、组合综合问题要注意
9、以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题 (2)对于含有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分步, 分类时要不重不漏,分步时要步步相接 (3)对于含有“至多”、“至少”的问题,常采用间接法,此时要考虑全面,排除干净 跟踪训练 2 6 个女生(其中有 1 个领唱)和 2 个男生分成两排表演 (1)若每排 4 人,共有多少种不同的排法? (2)领唱站在前排,男生站在后排,每排 4 人,有多少种不同的排法? 解 (1)要完成这件事分三步 第一步,从 8 人中选 4 人站在前排,另 4 人站在后排,共有 C48C44种不同的排法; 第二步,前排 4 人进行全排
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