6.3.1二项式定理 学案(含答案)2021-2022学年人教A版(2019)选择性必修第三册
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1、6.36.3 二项式定理二项式定理 6 6. .3.13.1 二项式定理二项式定理 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解 决与二项展开式有关的简单问题 知识点一 二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1bC2 na n2b2Ck na nkbkCn nb n(nN*) (1)这个公式叫做二项式定理 (2)展开式:等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式,展开式中一共有 n1 项 (3)二项式系数:各项的系数 Ckn(k0,1,2,n)叫做二项式系数 知识点二 二项展开式的通项 (ab)n展开式的第 k1 项叫做二项展开式
2、的通项,记作 Tk1Cknan kbk. 思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗? 答案 一般不同前者仅为 Ckn,而后者是字母前的系数,故可能不同 1(ab)n展开式中共有 n 项( ) 2在公式中,交换 a,b 的顺序对各项没有影响( ) 3Cknan kbk是(ab)n 展开式中的第 k 项( ) 4(ab)n与(ab)n的二项展开式的二项式系数相同( ) 5二项式(ab)n与(ba)n的展开式中第 k1 项相同( ) 一、二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求 3 x 1 x 4的展开式 解 方法一 3 x 1 x 4C0 4(3 x) 4C1 4(3 x) 31 xC 2 4
3、(3 x) 2 1 x 2C3 4(3 x) 1 x 3C4 4 1 x 481x2108x 5412 x 1 x2. 方法二 3 x 1 x 4 3x1 x 41 x2(13x) 41 x2 1C 1 4 3xC 2 4(3x) 2C3 4(3x) 3C4 4(3x) 41 x2(112x54x 2 108x381x4) 1 x2 12 x 54108x81x2. (2)化简:C0n(x1)nC1n(x1)n 1C2 n(x1) n2(1)kCk n(x1) nk(1)nCn n. 解 原式C0n(x1)nC1n(x1)n 1(1)C2 n(x1) n2(1)2Ck n(x1) nk(1)k
4、Cn n(1) n(x1) (1)nxn. 延伸探究 若(1 3)4ab 3(a,b 为有理数),则 ab_. 答案 44 解析 (1 3)41C14( 3)1C24( 3)2C34( 3)3C44( 3)414 31812 392816 3, a28,b16,ab281644. 反思感悟 (1)(ab)n的二项展开式有 n1 项, 是和的形式, 各项的幂指数规律是: 各项的次数和等于 n; 字母 a 按降幂排列,从第一项起,次数由 n 逐项减 1 直到 0;字母 b 按升幂排列,从第一项起,次数由 0 逐项加 1 直到 n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想注意分析已知多
5、项式的特点,向二项展开式的形 式靠拢 跟踪训练 1 化简:(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1) 解 原式C05(x1)5C15(x1)4C25(x1)3C35(x1)2C45(x1)C551(x1)151x51. 二、二项展开式的通项的应用 例 2 若 x 1 2 4 x n展开式中前三项系数成等差数列,求: (1)展开式中含 x 的一次项; (2)展开式中所有的有理项 解 (1)由已知可得 C0nC2n 1 222C 1 n 1 2, 即 n29n80,解得 n8 或 n1(舍去) Tk1Ck8( x)8 k 1 2 4 x kCk 8 2 k 3 4 4k x ,
6、令 43 4k1,解得 k4. 所以含 x 的一次项为 T5C482 4x35 8 x. (2)令 43 4kZ,且 0k8,则 k0,4,8,所以含 x 的有理项分别为 T1x 4,T 535 8 x,T9 1 256x2. 反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项) (2)对于有理项,一般是先写出通项公式,求其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并 通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数集,再根据数的整除性来求解 (3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一
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