§8.2一元线性回归模型及其应用 学案(含答案)2021-2022学年人教A版(2019)选择性必修第三册
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1、8.28.2 一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型及其应用 学习目标 1.结合实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘原理, 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测 知识点一 一元线性回归模型 称 Ybxae, Ee0,De2 为 Y 关于 x 的一元线性回归模型 其中 Y 称为因变量或响应变量,x 称为自变量或解 释变量,a 称为截距参数,b 称为斜率参数;e 是 Y 与 bxa 之间的随机误差,如果 e0,那么 Y 与 x 之间 的关系就可以用一元线性函数模型来描述 知识点二 最小二乘法 将y b x
2、a 称为 Y 关于 x 的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线, 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的b ,a 叫做 b,a 的最小二乘估计,其中b i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 ,a y b x . 思考 1 经验回归方程一定过成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中的某一点吗? 答案 不一定 思考 2 点( x , y )在经验回归直线上吗? 答案 在 知识点三 残差与残差分析 1残差 对于响应变量 Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的y 称为预测值,观测值减去预 测值称为残差 2残差
3、分析 残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否 存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析 知识点四 对模型刻画数据效果的分析 1残差图法 在残差图中,如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内,则说明经验回归方程较好地 刻画了两个变量的关系 2残差平方和法 残差平方和 i1 n (yiy i) 2越小,模型的拟合效果越好 3R2法 可以用 R21 i1 n yiy i 2 i1 n yi y 2 来比较两个模型的拟合效果,R2越大,模型拟合效果越好,R2越小,模型拟合 效果越差 思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗? 答
4、案 不一定,他只是真实值的一个预测估计值 1求经验回归方程前可以不进行相关性检验( ) 2在残差图中,纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号( ) 3利用经验回归方程求出的值是准确值( ) 4残差平方和越小,线性回归模型的拟合效果越好( ) 5R2越小,线性回归模型的拟合效果越好( ) 一、求经验回归方程 例 1 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的经验回归方程y b xa ; (3)试根据求出的经验回归方程,预测记忆力
5、为 9 的同学的判断力 参考公式:b i1 n xiyin x y i1 n x2in x 2 ,a y b x 解 (1)散点图如图所示: (2) x 681012 4 9, y 2356 4 4, i1 4 x2i6282102122344, i1 4 xiyi6283105126158, b 158494 344492 14 200.7, a y b x 40.792.3, 故经验回归方程为y 0.7x2.3. (3)由(2)中经验回归方程可知,当 x9 时,y 0.792.34,即预测记忆力为 9 的同学的判断力为 4. 反思感悟 求经验回归方程可分如下四步来完成 (1)列:列表表示
6、xi,yi,x2i,xiyi. (2)算:计算 x , y , i1 n x2i, i1 n xiyi. (3)代:代入公式计算a ,b 的值 (4)写:写出经验回归方程 跟踪训练 1 随着我国经济的发展,居民储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额) 如下表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 时间代号 t 1 2 3 4 5 储蓄存款 y (千亿元) 5 6 7 8 10 (1)求 y 关于 t 的经验回归方程y b ta ; (2)用所求经验回归方程预测该地区 2021 年(t7)的人民币储蓄存款 参考公式:b i1 n tiyin t y i1 n
7、 t2in t 2 ,a y b t 解 (1)由题意可知,n5, t 1 n i1 n ti15 5 3, y 1 n i1 n yi36 5 7.2. 又 i1 n t2i55, i1 n tiyi120, 计算得,b 1.2,a y b t 7.21.233.6. 故所求经验回归方程为y 1.2t3.6. (2)将 t7 代入y 1.2t3.6,可得y 1.273.612(千亿元), 所以预测该地区 2021 年的人民币储蓄存款为 12 千亿元 二、线性回归分析 例 2 已知某种商品的价格 x(单位:元)与需求量 y(单位:件)之间的关系有如下一组数据: x 14 16 18 20 22
8、 y 12 10 7 5 3 求 y 关于 x 的经验回归方程,并借助残差平方和和 R2说明回归模型拟合效果的好坏 解 x 1 5(1416182022)18, y 1 5(1210753)7.4, i1 5 x2i1421621822022221 660, i1 5 xiyi14121610187205223620, 所以b i1 5 xiyi5 x y i1 5 x2i5 x 2 6205187.4 1 6605182 1.15, a 7.41.151828.1, 所以所求经验回归方程是y 1.15x28.1. 列出残差表: yiy i 0 0.3 0.4 0.1 0.2 yi y 4.6
9、 2.6 0.4 2.4 4.4 所以 i1 5 (yiy i) 20.3, i1 5 (yi y )253.2, R21 i1 5 yiy i 2 i1 5 yi y 2 0.994, 所以回归模型的拟合效果很好 反思感悟 刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适 (2)残差平方和法:残差平方和 i1 n (yiy i) 2越小,模型的拟合效果越好 (3)R2法:R21 i1 n yiy i 2 i1 n yi y 2 越接近 1,表明模型的拟合效果越好 跟踪训练 2 为研究重量 x(单位:克)对弹簧长度 y(单位:厘米)的影响,对不
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