§6.1（第1课时）两个计数原理及其简单应用 课时练习（含答案）2021年新教材人教A版数学选择性必修第三册

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1、 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第第 1 课时课时 两个计数原理及其简单应用两个计数原理及其简单应用 1某同学从 4 本不同的科普杂志，3 本不同的文摘杂志，2 本不同的娱乐新闻杂志中任选一 本阅读，则不同的选法共有( ) A24 种 B9 种 C3 种 D26 种 答案 B 解析 不同的杂志本数为 4329，从其中任选一本阅读，共有 9 种选法 2图书馆的书架有 3 层，第 1 层有 3 本不同的数学书，第 2 层有 5 本不同的语文书，第 3 层有 8 本不同的英语书，现从中任取 1 本书，则不同的取法共有( ) A120 种 B16 种 C

2、64 种 D39 种 答案 B 解析 由于书架上有 35816(本)书，则从中任取 1 本书，共有 16 种不同的取法 3已知 x2,3,7，y31，24,4，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A1 B3 C6 D9 答案 D 解析 这件事可分为两步完成：第一步，在集合2,3,7中任取一个值 x 有 3 种方法；第二步， 在集合31，24，4中任取一个值 y 有 3 种方法根据分步乘法计数原理知，有 339 个不同的点 4从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 abi，其中虚数有( ) A30 个 B42 个 C36 个 D35 个 答案 C 解析 要

3、完成这件事可分两步，第一步确定 b(b0)，有 6 种方法，第二步确定 a，有 6 种方 法，故由分步乘法计数原理知，共有 6636(个)虚数 5满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序实数对(a，b)的 个数为( ) A14 B13 C12 D10 答案 B 解析 由已知得 ab1. 当 a1 时，b1,0,1,2，有 4 种可能； 当 a0 时，b1,0,1,2，有 4 种可能； 当 a1 时，b1,0,1，有 3 种可能； 当 a2 时，b1,0，有 2 种可能 共有(a，b)的个数为 443213. 6一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进，从任一个

4、门出，共有不同走法_种 答案 16 解析 由分步乘法计数原理得共有 4416(种)走法 7若在如图 1 的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有_种不同的方法； 在如图 2 的电路中，合上两个开关可以接通电路，有_种不同的方法 答案 5 6 解析 对于图 1，按要求接通电路，只要在 A 中的两个开关或 B 中的三个开关中合上一个即 可，故有 235(种)不同的方法 对于图 2，按要求接通电路必须分两步进行： 第一步，合上 A 中的一个开关； 第二步，合上 B 中的一个开关， 故有 236(种)不同的方法 8用 1,2,3 这 3 个数字可写出没有重复数字的整数有_个 答案 15 解析 分三类：

5、 第一类为一位整数，有 3 个； 第二类为两位整数，有 12,13,21,23,31,32，共 6 个； 第三类为三位整数，有 123,132,213,231,312,321，共 6 个 可写出没有重复数字的整数有 36615(个) 9有一项活动，需从 3 位教师、8 名男同学和 5 名女同学中选人参加 (1)若只需 1 人参加，则有多少种不同的选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各 1 人参加，则有多少种不同的选法？ 解 (1)选 1 人，可分三类： 第 1 类，从教师中选 1 人，有 3 种不同的选法； 第 2 类，从男同学中选 1 人，有 8 种不同的选法； 第 3 类，从女同学中选

6、1 人，有 5 种不同的选法 共有 38516(种)不同的选法 (2)选教师、男同学、女同学各 1 人，分三步进行： 第 1 步，选教师，有 3 种不同的选法； 第 2 步，选男同学，有 8 种不同的选法； 第 3 步，选女同学，有 5 种不同的选法 共有 385120(种)不同的选法 10若直线方程 AxBy0 中的 A，B 可以从 0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数字， 则方程所表示的不同直线共有多少条？ 解 分两类完成： 第一类：当 A 或 B 中有一个为 0 时，表示直线为 x0 或 y0，共有 2 条； 第二类：当 A，B 都不取 0 时，直线 AxBy0 被确定需分两

7、步完成： 第一步，确定 A 的值，从 1,2,3,5 中选一个，共有 4 种不同的方法； 第二步，确定 B 的值，共有 3 种不同的方法 由分步乘法计数原理，共确定 4312(条)直线 由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有 21214(条) 11 某班小张等 4 位同学报名参加 A， B， C 三个课外活动小组， 每位同学限报其中一个小组， 且小张不能报 A 小组，则不同的报名方法有( ) A27 种 B36 种 C54 种 D81 种 答案 C 解析 小张的报名方法有 2 种，其他 3 位同学各有 3 种，由分步乘法计数原理知，共有 233354(种)不同的报名方法，选 C. 12(多

8、选)已知集合 A1,2,3,4，m，nA，则对于方程x 2 m y2 n1 的说法正确的是( ) A可表示 3 个不同的圆 B可表示 6 个不同的椭圆 C可表示 3 个不同的双曲线 D表示焦点位于 x 轴上的椭圆有 3 个 答案 ABD 解析 当 mn0 时，方程x 2 m y2 n1 表示圆，故有 3 个，选项 A 正确；当 mn 且 m，n0 时，方程x 2 m y2 n1 表示椭圆，焦点在 x，y 轴上的椭圆分别有 3 个，故有 326(个)，选项 B 正确；若椭圆的焦点在 x 轴上，则 mn0，当 m4 时，n2,3；当 m3 时，n2，即所 求的椭圆共有 213(个)， 选项 D 正

9、确； 当 mn0，所以 f(x)3x2m0， 故 f(x)x3mxn 在 R 上单调递增， 若函数 f(x)x3mxn 在区间1,2上有零点， 只需满足条件 f(1)0 且 f(2)0， 所以 mn1 且 2mn8， 所以2m8nm1， 当 m1 时，n 取2，4，8； 当 m2 时，n 取4，8，12； 当 m3 时，n 取4，8，12； 当 m4 时，n 取8，12. 共 11 种取法，而 m 有 4 种选法，n 有 4 种选法， 则函数 f(x)x3mxn 有 4416(种)情况， 故函数 f(x)x3mxn 在区间1,2上有零点的概率是11 16. 16“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如 1 458)，若把四位“渐升数”按 从小到大的顺序排列，求第 30 个“渐升数” 解 “渐升数”由小到大排列，则 1 在首位，2 在百位的“渐升数”有 654321 21(个)；1 在首位，3 在百位，4 在十位的“渐升数”有 5 个；1 在首位，3 在百位，5 在十位 的“渐升数”有 4 个，此时“渐升数”有 215430(个)，因此按从小到大的顺序排列， 第 30 个“渐升数”必为 1 359.