2020-2021学年山东省青岛市市南区七年级下期末数学试卷（含答案详解）

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1、 2020-2021 学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题一、选择题(本题满分本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分分)下列每小题都给出标号为下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结的四个结 论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。 1 （3 分）地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角 落，它是城市文化的缩影下列城市

2、地铁的标志图案中（文字部分除外） ，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （xy）2x2y2 B （x）6x2x4 Cx2y+xy2x3y3 D （2ab2）38a3b6 3 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 延长线上一点，连接 AC，BD，下列条件可以判定 AB CD 的是（ ） ABADCDE BDACBCA CDAB+ABC180 DDABDCB 4 （3 分）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A在一个装有 5 个红球和 3 个黑球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球是白球 B用长度分别是 2cm，3cm，5c

3、m 的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 C掷一枚质地均匀的最子，掷出的点数是质数 D382 个人中两个人的生日在同一天 5 （3 分）如图，在ABC 和DEF 中，点 B、F、C、D 在同条直线上，已知AD，ABDE，添加 以下条件，不能判定ABCDEF 的是（ ） ABE BACDF CACDBFE DBCEF 6 （3 分）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯A 的度数为 ，第二次拐弯B 的度数为 ，到了点 C 后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则C 的度数为（ ） A B180+ C360 D 7 （3 分）4 张长为 a、宽为 b（ab）的长方形纸片，按如图

4、的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图 中空白部分的面积为 S1，阴影部分的面积为 S2若 S12S2，则 a、b 满足（ ） A2a5b B2a3b Ca3b Da2b 8 （3 分）如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，点 D 在线段 CE 上，点 B 在线段 CF 上，AF CF， 下列结论： BCDE； FAB+BDC45； 若 AC10， 则 S四边形ABCE50； CE2AF 其 中一定正确的结论个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题二、填空题(本题满分本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分分) 9 （3 分）计算： （0.1

5、25）202182020 10 （3 分）在高端材料和芯片制造的核心技术上，我国与国外还有较大差距当前国际主流的芯片的特征 尺寸是 0.000000007m，而我国只能够实现 0.000000014m 的芯片量产0.000000014 用科学记数法可以表 示为 11 （3 分）如图，ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E、F 分别是 AD、CD 的中点，连接 BE、AF、EF， 若BEF 的面积为 6，则ABC 的面积是 12 （3 分）如图，在 33 的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其它格点上（每 个格点处最多摆放一枚） ，这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的

6、概率为 13 （3 分）如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面 AB 上跑至 B 点，向上跃起至最高点 P，然后落在点 C 处，继续在水平面 CD 上跃起落在点 D，若ABK 和KCD 的 平分线的反向延长线刚好交于最高点 P，BKC78，则P 等于 度 14 （3 分）如图，小颖用正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一幅图案，且阴影部分的面积为 36cm2， 则制作七巧板用的正方形边长为 cm 15 （3 分）李华放学回家，中途在文具店买笔耽误了 1 分钟，然后继续骑车回家若李华骑车的速度始终 不变，从出发开始计时，李华离家的距离 s（m）与时间 t（min）

7、的对应关系如图所示，则文具店与李华 家的距离为 m 16 （3 分）如图 1，在ABC 内部任取一点 P1，则图中互不重叠的所有角的和是 540 （）在图 1 中的任一小三角形内任取一点 P2（如图 2） ，则图中互不重叠的所有角的和是 ； （2）以此类推，当取到点 Pn时，图中互不重叠的所有角的和是 （用含 n 的代数式表示） 三、作图题三、作图题(本题满分本题满分 6 分分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 17 （6 分）两个小区 A、B 与两条马路公路 l1，l2位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门 需在 C 处

8、修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区 A、B 的距离必须相等，到两条马路 l1，l2 的距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C 四、解答题四、解答题(本题满分本题满分 66 分，共有分，共有 7 道小题道小题) 18 （18 分） （1）计算：23（3.14）0（） 1； （2）计算： （a2b3） （6ab2）2； （3）利用乘法公式计算：1982； （4）先化简，再求值（3m+n） （mn）（2mn）2+（m2n） （m+2n）（2n） ，其中 m1，n 2 19 （6 分）如图所示， 在ABC 中，AD 是BAC 平分线，AD 的垂直

9、平分线分别交 AB、BC 延长线于点 F、 E 求证：DFAC 证明： AD 平分BAC （角平分线的定义） EF 垂直平分 AD （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等） BADADF（ ） DACADF（等量代换） DFAC（ ） 20 （6 分）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成 6 等份，分别标有数字 2、3、4、5、6、7 这六个数字， 转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字 （1）转动转盘，转出的数字大于 3 的概率是多少？ （2）现有两张分别写有 3 和 5 的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数 字分别作为三条线段的长度 这三条线段

10、能构成三角形的概率是多少？ 这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？ 21 （8 分）如图，RtABC 中，BCA90，ACBC，点 D 是 BC 的中点，CEAD 于 E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F （1）ACD 和CBF 全等吗？请说明理由； （2）连结 DF，AB 能否垂直平分 DF？为什么？ 22 （8 分）某食品工厂将一种食品的加工任务平均分给甲、乙两个生产组共同完成甲、乙两组同时以相 同的效率开始工作， 中途乙组因升级设备， 停工了一段时间 乙组设备升级完毕后， 工作效率有所提升， 在完成本组任务后，还帮助甲组加工了 60 千克，最后两组同时停工，完成了此次加工任务两组各

11、自加 工的食品量 y（千克）与甲组工作时间 x（小时）的关系如图所示 （1）甲组每小时加工食品 千克，乙组升级设备停工了 小时； （2）设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品多少千克？ （3）求 a、b 的值 23 （10 分）如图，在ABC 中，AB12cm，BC20cm，过点 C 作射线 CDAB点 M 从点 B 出发，以 3cm/s 的速度沿 BC 匀速移动；点 N 从点 C 出发，以 acm/s 的速度沿 CD 匀速移动点 M、N 同时出发， 当点 M 到达点 C 时，点 M、N 同时停止移动连接 AM、MN，设移动时间为 t（s） （1）点 M、N 从移动开始到停止，所用时间为 s；

12、 （2）当ABM 与MCN 全等时， 若点 M、N 的移动速度相同，求 t 的值； 若点 M、N 的移动速度不同，求 a 的值 24 （10 分）阅读下列材料： 数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，我们通常通过枚举法发现规律找到特点，并运 用数学推理的方法对其进行验证 （一）探索规律 我们把末尾数字为 5 的正整数称为“威武数”N，N 的平方数称为“平武数”M 例：152225（212） ， 252625（623） ， 3521225（1234） ， 4522025（2045） ， 5523025（3056） ， （二）归纳总结 由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是： （1

13、） “平武数”的末两位数字是 ； （2）去掉末两位数字 25 后，剩下部分组成的数字等于 （若“威武数”去掉个位数字 5 后剩余 部分为 n，请用含 n 的代数式表达这一特点） （三）验证推广 （1）根据以上特点我们能够推出四位的“平武数”M 一共有 个 （2）同学们用学过的完全平方公式验证：对任意“威武数”N，其平方数“平武数”M 都满足以上特点 （3）已知一个位数小于六位的“平武数”M 的首位数字是 2，又满足其“威武数”N 的各位数字之和与 M 的各位数字之和相等，求出该“平武数”M 2020-2021 学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末

14、数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题(本题满分本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分分)下列每小题都给出标号为下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结的四个结 论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。 1 （3 分）地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角 落，它是城市文化的缩影下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外） ，是轴对称图形的是（ ） A B

15、C D 【解答】解：A不是轴对称图形，不合题意； B不是轴对称图形，不合题意； C是轴对称图形，符合题意； D不是轴对称图形，不合题意 故选：C 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （xy）2x2y2 B （x）6x2x4 Cx2y+xy2x3y3 D （2ab2）38a3b6 【解答】解：A、 （xy）2x22xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、 （x）6x2x6x2x4，原计算错误，故此选项不符合题意； C、x2y 与 xy2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； D、 （2ab2）38a3b6，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D 3 （3 分）如

16、图，在四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 延长线上一点，连接 AC，BD，下列条件可以判定 AB CD 的是（ ） ABADCDE BDACBCA CDAB+ABC180 DDABDCB 【解答】解：ABADCDE，ABCD，故此选项符合题意； BDACBCA，ADBC，故此选项不符合题意； CDAB+ABC180，ADBC，故此选项不符合题意； DDABDCB 不能判定 ABCD，故此选项不符合题意； 故选：A 4 （3 分）下列事件中，属于随机事件的是（ ） A在一个装有 5 个红球和 3 个黑球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球是白球 B用长度分别是 2cm，3cm，5cm

17、 的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 C掷一枚质地均匀的最子，掷出的点数是质数 D382 个人中两个人的生日在同一天 【解答】解：A袋子中没有白球，因此摸到白球是不可能事件，不是随机事件，所以选项 A 不符合题 意； B因为 2cm，3cm，5cm 不满足三角形的三边关系，因此组不成三角形，是不可能事件，所以选项 B 不 符合题意； C掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能是质数也可能是合数，因此掷出的点数是质数是随机事件， 所以选项 C 符合题意； D.382 人中两个人的生日在同一天，是必然事件，因此选项 D 不符合题意； 故选：C 5 （3 分）如图，在ABC 和DEF 中，点 B、F、

18、C、D 在同条直线上，已知AD，ABDE，添加 以下条件，不能判定ABCDEF 的是（ ） ABE BACDF CACDBFE DBCEF 【解答】解：AD，ABDE， 当添加BE 时，根据”ASA“判定ABCDEF； 当添加 ACDF 时，根据”SAS“判定ABCDEF； 当添加ACDBFE 时，则ACBDFE，根据”AAS“判定ABCDEF 故选：D 6 （3 分）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯A 的度数为 ，第二次拐弯B 的度数为 ，到了点 C 后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则C 的度数为（ ） A B180+ C360 D 【解答】解： 过 B 作

19、BFAD， CEAD， ADBFCE， ABFA，FBC180C， ABCABF+FBC， +180C， C180+ 故选：B 7 （3 分）4 张长为 a、宽为 b（ab）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图 中空白部分的面积为 S1，阴影部分的面积为 S2若 S12S2，则 a、b 满足（ ） A2a5b B2a3b Ca3b Da2b 【解答】解：S1b（a+b）2+（ab）2a2+2b2， S2（a+b）2S1（a+b）2（a2+2b2）2abb2， S12S2， a2+2b22（2abb2） ， 整理，得（a2b）20， a2b0， a2b 故选：D 8 （

20、3 分）如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，点 D 在线段 CE 上，点 B 在线段 CF 上，AF CF， 下列结论： BCDE； FAB+BDC45； 若 AC10， 则 S四边形ABCE50； CE2AF 其 中一定正确的结论个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：BADCAE90，ABAD，AEAC， ACEAEC45，ABDADB45， BADCAE90， BAC+CADEAD+CAD， BACEAD， 在ABC 和ADE 中， ， ABCADE（SAS） ， BCDE，BCAE45，故正确； AFFC， FACFCA45， ADCDAE+EADB+BDC， BDC

21、DAEBAC， FAB+BDCFAB+BAC45，故正确； S四边形ABCDSABC+SACD， S四边形ABCDSADE+SACDSACE10250，故正确； ACBACE45， AC 平分ECF， 过点 A 作 AGCG，垂足为点 G， 又AC 平分ECF，AFCB， AFAG， 在 RtABF 和 RtADG 中， ， RtABFRtADG（HL） ， BFDG， 又ACAE，AGCE， CAGEAG45， CAGEAGACEAEC45， CGAGGEAF， CE2CE，故正确； 故选：D 二、填空题二、填空题(本题满分本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题

22、3 分分) 9 （3 分）计算： （0.125）202182020 0.125 【解答】解：原式（0.1258）2020（0.125） （1）2020（0.125） 0.125 故答案为：0.125 10 （3 分）在高端材料和芯片制造的核心技术上，我国与国外还有较大差距当前国际主流的芯片的特征 尺寸是 0.000000007m，而我国只能够实现 0.000000014m 的芯片量产0.000000014 用科学记数法可以表 示为 1.410 8 【解答】解：0.0000000141.410 8， 故答案为：1.410 8 11 （3 分）如图，ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E、F

23、分别是 AD、CD 的中点，连接 BE、AF、EF， 若BEF 的面积为 6，则ABC 的面积是 16 【解答】解：点 D 是 BC 的中点， BDDC， F 是 CD 的中点， DFFC， BD2DF， BED 的面积2DEF 的面积， BEF 的面积为 6， BED 的面积为 4， 点 E 是 AD 的中点， ABD 的面积2BED 的面积8， 点 D 是 BC 的中点， ABC 的面积2ABD 的面积16， 故答案为：16 12 （3 分）如图，在 33 的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其它格点上（每 个格点处最多摆放一枚） ，这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶

24、点的概率为 【解答】解：由图知第三枚棋子可摆放的位置共有 14 种，其中这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶 点的有 8 种， 这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为， 故答案为： 13 （3 分）如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面 AB 上跑至 B 点，向上跃起至最高点 P，然后落在点 C 处，继续在水平面 CD 上跃起落在点 D，若ABK 和KCD 的 平分线的反向延长线刚好交于最高点 P，BKC78，则P 等于 51 度 【解答】解：过点 P 作 MNAB，延长 DC 交 BK 于点 H，交 BE 于点 G， KCDKHC+K，KHGKCH+K

25、， KCD+KHGKHC+KCH+K+K180+K， K78， KCD+KHG180+78258， ABCD， ABKKHG， ABK+KCD258， EB 平分ABH，FC 平分KCD， EBAABK，FCDKCD， MNAB，MNCD， EBAMPE，FCDFPN， MPE+FPNEBA+FCDABK+KCD258129， EPF180（MPE+FPN）18012951 故答案为：51 14 （3 分）如图，小颖用正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一幅图案，且阴影部分的面积为 36cm2， 则制作七巧板用的正方形边长为 8 cm 【解答】解：设正方形边长为 xcm，则最小的等腰直角三角形

26、面积为（cm2） ， 由题意可得：x2736， 解得：x8（负值舍去） ， 制作七巧板用的正方形边长为 8cm， 故答案为：8 15 （3 分）李华放学回家，中途在文具店买笔耽误了 1 分钟，然后继续骑车回家若李华骑车的速度始终 不变，从出发开始计时，李华离家的距离 s（m）与时间 t（min）的对应关系如图所示，则文具店与李华 家的距离为 900 m 【解答】解：李华骑车的速度为：1500（61）300（米/分钟） 文具店与李华家的距离为：15003002900（米） 故答案为：900 16 （3 分）如图 1，在ABC 内部任取一点 P1，则图中互不重叠的所有角的和是 540 （）在图 1

27、 中的任一小三角形内任取一点 P2（如图 2） ，则图中互不重叠的所有角的和是 900 ； （2）以此类推，当取到点 Pn时，图中互不重叠的所有角的和是 （2n+1）180 （用含 n 的代数 式表示） 【解答】 解： （1） 在图 1 中的任一小三角形内任取一点 P2（如图 2） ， P 则图中互不重叠的所有角的和是： 5180900； （2）当ABC 内的点的个数是 1 时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是 3； 当ABC 内的点的个数是 2 时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是 5； 依此类推得到当ABC 内的点的个数是 3 时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是 7； 当ABC 内

28、的点的个数是 n 时，三角形内互不重叠的小三角形的个数 2n+1 当取到点 Pn时，图中互不重叠的所有角的和是： （2n+1）180 故答案为： （1）900； （2） （2n+1）180 三、作图题三、作图题(本题满分本题满分 6 分分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 17 （6 分）两个小区 A、B 与两条马路公路 l1，l2位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门 需在 C 处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区 A、B 的距离必须相等，到两条马路 l1，l2 的距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图

29、中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C 【解答】解：如图，点 C 即为所求 四、解答题四、解答题(本题满分本题满分 66 分，共有分，共有 7 道小题道小题) 18 （18 分） （1）计算：23（3.14）0（） 1； （2）计算： （a2b3） （6ab2）2； （3）利用乘法公式计算：1982； （4）先化简，再求值（3m+n） （mn）（2mn）2+（m2n） （m+2n）（2n） ，其中 m1，n 2 【解答】解： （1）原式81（2） 8+2 6； （2）原式（a2b3） （36a2b4） 9a4b7； （3）原式（2002）2 40000800+4 39204； （4）原式（3m

30、23mn+mnn24m2+4mnn2+m24n2）2n （2mn6n2）2n m3n， 当 m1，n2 时，原式13（2）1+67 19 （6 分）如图所示， 在ABC 中，AD 是BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交 AB、BC 延长线于点 F、 E 求证：DFAC 证明： AD 平分BAC BAD DAC （角平分线的定义） EF 垂直平分 AD FD FA （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等） BADADF（ 等边对等角 ） DACADF（等量代换） DFAC（ 内错角相等两直线平行 ） 【解答】证明：AD 平分BAC BADDAC（角平分线的定义） EF 垂直平分 AD

31、FDFA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等） BADADF（等边对等角） DACADF（等量代换） DFAC（内错角相等两直线平行） 故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行 20 （6 分）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成 6 等份，分别标有数字 2、3、4、5、6、7 这六个数字， 转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字 （1）转动转盘，转出的数字大于 3 的概率是多少？ （2）现有两张分别写有 3 和 5 的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数 字分别作为三条线段的长度 这三条线段能构成三角形的概率是多少？

32、 这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？ 【解答】解： （1）转盘被平均分成 6 等份，转到每个数字的可能性相等，共有 6 种可能结果，大于 3 的 结果有 4 种， 转出的数字大于 3 的概率是； （2）转盘被平均分成 6 等份，转到每个数字的可能性相等，共有 6 种可能结果，能够成三角形的结果 有 5 种， 这三条线段能构成三角形的概率是； 转盘被平均分成 6 等份，转到每个数字的可能性相等，共有 6 种可能结果，能够成等腰三角形的结果 有 2 种， 这三条线段能构成等腰三角形的概率是 21 （8 分）如图，RtABC 中，BCA90，ACBC，点 D 是 BC 的中点，CEAD 于 E

33、，BFAC 交 CE 的延长线于点 F （1）ACD 和CBF 全等吗？请说明理由； （2）连结 DF，AB 能否垂直平分 DF？为什么？ 【解答】解： （1）ACDCBF，理由如下： CEAD， AEC90， CAE+ACE90， BCA90， ACE+DCE90， CAEDCE， BFAC， ACB+CBF180， CBF90， 在ACD 和CBF 中， ， ACDCBF（ASA） ， （2）AB 垂直平分 DF，理由如下： 由（1）知：ACDCBF， CDBF， 点 D 是 BC 的中点， DBCD， BFDB， BFAC， CABABF， ACBC， CABCBA， ABFCBA， A

34、B 垂直平分 DF 22 （8 分）某食品工厂将一种食品的加工任务平均分给甲、乙两个生产组共同完成甲、乙两组同时以相 同的效率开始工作， 中途乙组因升级设备， 停工了一段时间 乙组设备升级完毕后， 工作效率有所提升， 在完成本组任务后，还帮助甲组加工了 60 千克，最后两组同时停工，完成了此次加工任务两组各自加 工的食品量 y（千克）与甲组工作时间 x（小时）的关系如图所示 （1）甲组每小时加工食品 30 千克，乙组升级设备停工了 2 小时； （2）设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品多少千克？ （3）求 a、b 的值 【解答】解： （1）由图象可得， 甲组每小时加工食品：210730（千克

35、） ；乙组升级设备停工了：422（小时） ， 故答案为：30；2； （2） （210302）（74）50（千克/时） ， 答：设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品 50 千克； （3）根据题意得， 50（b4）30（b2）+602， 解得 b13， a302+50（134）510 23 （10 分）如图，在ABC 中，AB12cm，BC20cm，过点 C 作射线 CDAB点 M 从点 B 出发，以 3cm/s 的速度沿 BC 匀速移动；点 N 从点 C 出发，以 acm/s 的速度沿 CD 匀速移动点 M、N 同时出发， 当点 M 到达点 C 时，点 M、N 同时停止移动连接 AM、MN，设

36、移动时间为 t（s） （1）点 M、N 从移动开始到停止，所用时间为 s； （2）当ABM 与MCN 全等时， 若点 M、N 的移动速度相同，求 t 的值； 若点 M、N 的移动速度不同，求 a 的值 【解答】解： （1）点 M 的运动时间 t（秒） ， 故答案为； （2）点 M、N 的移动速度相同， CNBM， CDAB， NCMB， 当 CMAB 时，ABM 与MCN 全等， 则有 12203t，解得 t； 点 M、N 的移动速度不同， BMCN， 当 CNAB，CMBM 时，两个三角形全等， 运动时间 t， a 24 （10 分）阅读下列材料： 数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、

37、穷举法，我们通常通过枚举法发现规律找到特点，并运 用数学推理的方法对其进行验证 （一）探索规律 我们把末尾数字为 5 的正整数称为“威武数”N，N 的平方数称为“平武数”M 例：152225（212） ， 252625（623） ， 3521225（1234） ， 4522025（2045） ， 5523025（3056） ， （二）归纳总结 由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是： （1） “平武数”的末两位数字是 25 ； （2）去掉末两位数字 25 后，剩下部分组成的数字等于 n（n+1） （若“威武数”去掉个位数字 5 后剩余部分为 n，请用含 n 的代数式表达这一特点） （三）验

38、证推广 （1）根据以上特点我们能够推出四位的“平武数”M 一共有 7 个 （2）同学们用学过的完全平方公式验证：对任意“威武数”N，其平方数“平武数”M 都满足以上特点 （3）已知一个位数小于六位的“平武数”M 的首位数字是 2，又满足其“威武数”N 的各位数字之和与 M 的各位数字之和相等，求出该“平武数”M 【解答】解： （二） （1）由题中等式的右边观察：225，625，1225 得出最后两位数都是 25 故答案为：25 （2）n（n+1） ；由等式的左右两边观察：122，236，3412，得出去掉末两位数字 25 后，剩 下部分组成的数字等于 n（n+1） 故答案为：n（n+1） （三

39、） （1）四位的“平武数”M，去掉 25，得出 n（n+1）为两位数的有 3595，3521225，9529025， 符合条件的有：35，45，55，65，75，85，95 共 7 个； 故答案为：7 （2）由（二） （2）知若“威武数”去掉个位数字 5 后剩余部分为 n，可设 N10n+5，N2（10n+5）2 100n2+100n+25100n（n+1）+25； （3） 讨论 M 是五位数 已知一个位数小于六位的“平武数” ，可得所求的平武数是一位数，去掉末位数 25，得 n（n+1）3 位 数，即 M，测算：1314182（首位是 2，不符） ，1415210，1516240，16 17

40、272，1718306，得出当 n14 或 15 或 16 符合题意 当 N145 时，M145221025，1+4+510 而 2+1+0+2+510，N 的各位数字之和与 M 的各位数字之 和相等，符合题意； 当 N155 时，M155224025，1+5+511 而 2+4+0+2+513，N 的各位数字之和与 M 的各位数字之 和不相等，不符合题意； 当 N165 时，M165227225，1+6+510 而 2+7+2+2+518，N 的各位数字之和与 M 的各位数字之 和不相等，不符合题意； 讨论 M 是四位数 n（n+1）2 位数，即 M，测算：3412（首位是 2，不符） ，4520，5630，越来 越大，所以得出 n4；N45，M4522025，而 4+59，2+0+2+59，N 的各位数字之和与 M 的各 位数字之和相等，符合题意； 讨论 M 是三位数； n（n+1）1 位数2，即 M225，所以得出 n1；N15，M152225，而 1+56，2+2+59，N 的各位数字之和与 M 的各位数字之和不相等，不符合题意； 讨论 M 是二位数，显然 M25，N5，N 的各位数字之和与 M 的各位数字之和不相等，不符合题意； 故答案为：2025，21025