全国重点高中竞赛讲座 29有理数的运算

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1、 1 竞赛讲座 29 有理数的运算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础， 同学们在理解有理数的概念、 法则的基础上， 能够利用法则、公式等正确地运算。但有些有理数计算题，数字大、项数多，结构貌似复杂， 致使同学们望题生畏，不知所措。本讲采用举例的办法，介绍几种有理数的计算方法，以帮 助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 一、连续自然数的和 二、凑整法 例 2.计算 3998+2997+1996+195 分析：直接计算较繁，根据题目，将原有数字凑成相应的整数或便于计算的数，达到 简单的目的。 解：原式=(40002)+(30003)+(20004)+(2005)

2、 =(4000+3000+2000+200) (2+3+4+5) =920014 =9186 三、拆项相消法 1 2 小数大数，项数 项数末项）（首项 连续自然数的和 49 48 49 2 49 1 5 4 5 3 5 2 5 1 4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 1 . 1计算例 )48321 ( 49 1 )4321 ( 5 1 )321 ( 4 1 )21 ( 3 1 2 1 解：原式 2 48)481 ( 49 1 2 4)41 ( 5 1 2 3 1 2 1 2 48 2 4 2 3 1 2 1 )484321 ( 2 1 2 48)481 ( 2 1 4849 4 1 5

3、88 2 利用一对相反数的代数和为零这一性质常可简化运算。 四、分组法 ”之和。“分别配对构成一系列的、二项、第三项与第四项 项与第”，故采用分组将第一”或“任何相邻两项之和或为分析：此算式的规律是 计算例 1 11 200220014321. 5 s )20022001()43()21 (s解： 1001 ) 1() 1() 1( 22 ) 1() 1( 2 ) 1(4321 1 nn s n n ns n 的和，则个为偶数时，有讨论：当 推广： 2 1 2 1 ) 1( ) 1() 1( 2 1 1 n n n s nn n n n 则 的和，再加上最后一项个为奇数时，有当 1411 1

4、118 1 85 1 52 1 . 4 计算例 ) 3 11 ( 3 1 ) 3( 1 nnnn 的，可构造：数的项而达到相消的目分析：为产生互为相反 ) 14 1 11 1 ( 3 1 ) 11 1 8 1 ( 3 1 ) 8 1 5 1 ( 3 1 ) 5 1 2 1 ( 3 1 解：原式 ) 14 1 11 1 11 1 8 1 8 1 5 1 5 1 2 1 ( 3 1 ) 14 1 2 1 ( 3 1 7 1 带有综合性的计算。产生相消项以解决一些推广：利用) 11 ( 1 )( 1 knnkknn 1110 1 32 1 21 1 . 3 计算：例 11 1 10 1 3 1 2

5、1 2 1 1 11 1 1 11 10 为相反数的项而相消。进行拆项，以此出现互总结：利用 1 11 ) 1( 1 nnnn 。分别化成两个分数的差此题的关键是把分数 1110 1 , 32 1 , 21 1 3 五、错位相减法 六、倒序相加法 分析：观察发现，从第二项开始，后项减前项的差都等于 2；其次，算式中首末两项之和 与距首末两项等距离的两项之和都等于 100，则采用“倒写相加”来凑整的方法解决。 七、运用公式法 997531. 7计算例 997531s解：设 193959799s ) 199()973()991 (2s ) 1 13 199 (100 50100 2500s 200

6、332 2 1 2 1 2 1 2 1 1 . 6 s计算例 ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 1 200332 s解： )2( 2 1 2 1 2 1 122 20022 s 2003 2 1 2) 1 ()2(s得：减 200332 2 1 2 1 2 1 2 1 1s或者：因 2004432 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 s则 2004 2 1 1 2 1 s这两式相减得： 2003 2 1 2s 相减使差易于计算。式中得项相同。再两式得项与式中除个别项外，其余所得 式，得式各项乘以如果将比都相等为起，每一项与前一项之说明：此算式从第二项 ) 1 ()2( )2(2) 1 (, 2 1 ) 12)(12)(12)(12)(12(. 8 16842 计算例 ) 12)(12)(12)(12)(12)(12( 16842 解：原式 ) 12)(12)(12)(12)(12( 168422 )12)(12)(12)(12( 16844 )12)(12( 1616 1232 达到简化计算的效果。的正、逆灵活使用，可一般地，公式 式逐步计算。”，然后利用平方差公”写成“说明：本题的技巧是将 22 )( 121 bababa 4