全国重点高中竞赛讲座 23完全平方数
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1、竞赛讲座 23 完全平方数完全平方数 (一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也 叫做平方数。例如: 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484, 观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性 的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质: 性质 1:完全平方数的末位数只能是 0,1,4,5,6,9。 性质 2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一: 10a+1, 10
2、a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后,得 (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5 (10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9 (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数 1,5,9;十位数字为偶数。 性质 3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是 6;反之, 如果完全平方数的个位数字是 6,则它的十位数字一定是奇数
3、。 证明 已知=10k+6, 证明 k 为奇数。 因为的个位数为 6, 所以 m 的个位数为 4 或 6, 于是可设 m=10n+4 或 10n+6。则 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 k 为奇数。 推论 1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是 6,那么这个数一定不是 完全平方数。 推论 2:如果一个完全平方数的个位数字不是 6,则它的十位数字是偶数。 性质 4:偶数的平方是 4 的倍数;奇数的平方是 4
4、 的倍数加 1。 这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质 5:奇数的平方是 8n+1 型;偶数的平方为 8n 或 8n+4 型。 在性质 4 的证明中,由 k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是 8n+1 型的数;由为奇数 或偶数可得(2k)为 8n 型或 8n+4 型的数。 性质 6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。 因为自然数被 3 除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2。平方后,分别得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到: 性质 7:不能被 5 整除的数的
5、平方为 5k 1 型,能被 5 整除的数的平方为 5k 型。 性质 8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。 除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之 和。例如,256 它的各位数字相加为 2+5+6=13,13 叫做 256 的各位数字和。如果再 把 13 的各位数字相加:1+3=4,4 也可以叫做 256 的各位数字的和。下面我们提到 的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位 数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题: 一个数的数字和等于这个数被 9 除的余数。
6、 下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为,则 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然,a+b+c+d 是四位数被 9 除的余数。 对于 n 位数,也可以仿此法予以证明。 关于完全平方数的数字和有下面的性质: 性质 9:完全平方数的数字之和只能是 0,1,4,7,9。 证明 因为一个整数被 9 除只能是 9k,9k 1, 9k 2, 9k 3, 9k 4 这几种形式,而 (9k)=9(9)+0 (9k 1)=9(9 2k)+1 (9k 2)=9(9 4k)+4 (9k 3)=9(9 6k
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