全国重点高中竞赛讲座 17数学归纳法
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1、竞赛讲座竞赛讲座 17 -数学归纳法数学归纳法 基础知识基础知识 数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法 在 数学竞赛中占有很重要的地位 1数学归纳法的基本形式 (1)第一数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题,如果 当 0 nn (Nn 0 )时,)(nP成立; 假设),( 0 Nknkkn成立,由此推得1 kn时,)(nP也成立,那么,根据 对一切正整数 0 nn 时,)(nP成立 (2)第二数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题,如果 当 0 nn (Nn 0 )时,)(nP成立; 假设),( 0 Nknkkn成立,由此推得1 kn时,)
2、(nP也成立,那么,根据 对一切正整数 0 nn 时,)(nP成立 2数学归纳法的其他形式 (1)跳跃数学归纳法 当ln, 3 , 2 , 1时,)(,),3(),2(),1 (lPPPP成立, 假设kn 时)(kP成立,由此推得lkn时,)(nP也成立,那么,根据对一 切正整数1n时,)(nP成立 (2)反向数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题,如果 )(nP对无限多个正整数n成立; 假设kn 时,命题)(kP成立,则当1 kn时命题) 1( kP也成立,那么根据 对一切正整数1n时,)(nP成立 3应用数学归纳法的技巧 (1)起点前移:有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数n
3、都成立,但命题本身对 0n也成立,而且验证起来比验证1n时容易,因此用验证0n成立代替验证1n, 同理,其他起点也可以前移,只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步, 有意前移起点 (2)起点增多:有些命题在由kn 向1 kn跨进时,需要经其他特殊情形作为基 础,此时往往需要补充验证某些特殊情形,因此需要适当增多起点 (3)加大跨度:有些命题为了减少归纳中的困难,适当可以改变跨度,但注意起点也 应相应增多 (4)选择合适的假设方式:归纳假设为一定要拘泥于“假设kn 时命题成立”不可, 需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式,灵活选择使用 (5)变换命题:有些命题
4、在用数学归纳证明时,需要引进一个辅助命题帮助证明,或 者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要,才能顺利进行证明 5归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的,也可能是错误的, 这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论,只能是一种猜想,其 正确与否,必须进一步检验或证明,经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、 解决问题极好的方法 例题分析例题分析 例 1用数学归纳法证明: 3 13) 23 1 1 () 7 1 1)( 4 1 1)(11 ( n n (1, * nNn) 例 2 已知对任意 * Nn,1n,0 n a
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