全国重点高中竞赛讲座 19排列组合、二项式定理
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1、竞赛讲座竞赛讲座 1919 - -排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理 基础知识基础知识 1排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除, 这是解决排列组合题的常用策略 (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各 类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的 方法数,这是乘法原理 (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数 (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法即先安排好 没有限制条件的元素,然后将有限制条
2、件的元素按要求插入到排好的元素之间 (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ,然后与其它“普通 元素”全排列,然后再“松绑” ,将这些特殊元素在这些位置上全排列 (6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模 型如将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔 板,把球分成 4 堆,分别装入 4 个不同的盒子中的方法数应为 3 11 C,这也就是方程 12dcba的正整数解的个数 2圆排列 (1)由, 321n aaaaA的n个元素中,每次取出r个元素排在一个圆环上, 叫做一个圆排列(或叫环状排列) (2)圆排
3、列有三个特点: (i)无头无尾; (ii)按照同一方向转换后仍是同一排列; (iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不 同的圆排列 (3)定理:在, 321n aaaaA的n个元素中,每次取出r个不同的元素进行 圆排列,圆排列数为 r P r n 3可重排列 允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列 在m个不同的元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那 么第一、第二、第n位是的选取元素的方法都是m种,所以从m个不同的元素中, 每次取出n个元素的可重复的排列数为 n m 4不尽相异元素的全排列 如果n个元素中,有 1 p个元素相同,又有
4、2 p个元素相同,又有 s p个元素相同 (nppp s 21 ) ,这n个元素全部取的排列叫做不尽相异的n个元素的全排 列,它的排列数是 ! ! 21s ppp n 5可重组合 (1)从n个元素,每次取出p个元素,允许所取的元素重复出现p, 2 , 1次的组合 叫从n个元素取出p个有重复的组合 (2)定理:从n个元素每次取出p个元素有重复的组合数为: r pn p n CH )1( 6二项式定理 (1)二项式定理 n k kknk n n baCba 0 )(( * Nn) (2)二项开展式共有1n项 (3) rrnr nr baCT 1 (nr 0)叫做二项开展式的通项,这是开展式的第1r
5、 项 (4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等 (5)如果二项式的幂指数n是偶数,则中间一项的二项式系数 2 n n C最大;如果n是 奇数,则中间两项的二项式系数 2 1n n C与 2 1n n C最大 (6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和,即 531420 nnnnnn CCCCCC 7数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数 学竞赛的命题者却对其情有独钟 (1)利用二项式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式; (2)处理整除性问题:构造对偶式或利用与递推式的结合; (3
6、)求证不等式:通过二项式展开,取展开式中的若干项进行放缩; (4)综合其他知识解决某些综合问题:有些较复杂的问题看似与二项式定理无关, 其实通过观察、分析题目的特征,联想构造合适的二项式模型,便可使问题迅速解决 例题分析例题分析 例 1数 1447,1005,1231 有某些共同点,即每个数都是首位为 1 的四位数,且每个四 位数中恰有两个数字相同,这样的四位数共有多少个? 例 2有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数? 例 3有n2个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结 对方式? 例 4将1n个不同的小球放入n个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多 少种
7、放法? 例 5在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及正方体的中心共 27 个 点中,共线的三点组的个数是多少个? 例 6用 8 个数字 1,1,7,7,8,8,9,9 可以组成不同的四位数有多少个? 例 7 用EDCBA,五种颜色给正方体的各个面涂色, 并使相邻面必须涂不同的颜 色,共有多少种不同的涂色方式? 例 8某种产品有 4 只次品和 6 只正品(每只产品可区分) ,每次取一只测试,直到 4 只次品全部测出为止求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种? 例 9在平面上给出 5 个点,连结这些点的直线互不平行,互不重合,也互不垂直, 过每点向其余四点的连线作
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