全国重点高中竞赛讲座 15函数方程

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1、竞赛讲座 15 -函数方程 一、相关知识 函数方程)()(xfxf的解是 函数方程)()(axfxf )0(a的解是 二、函数方程的题型 许多函数方程的解决仅以初等数学为工具， 解法富于技巧， 对人类的智慧具有明显的挑 战 意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。 1、确定函数的形式 尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无 解（如：方程01)()( 22 xfxf无解） 。 2、确定函数的性质 3、确定函数值 三、求函数的解析式 1、换元法 例题例题 1、设函数)(xf满足条件xxfxf2)1 (2) 1(3，求)(xf。 例题例题 2、设函数)(

2、xf定义于实数集R，且)(xf满足条件xxxfxf1)1 ()(，求 )(xf。 1ex：函数)(xf在0 x处没有定义，但对所有非零实数x有：x x fxf3 1 2)( ，求 )(xf。 答案： x x xf 2 2 )( 2ex：求满足条件 42 2)1 ()(xxxfxfx的)(xf。 2、赋值法 例题例题 1、设函数)(xf定义于实数集R上，且1)0(f，若对于任意实数m、n，都有： ) 12()()(nmnmfnmf，求)(xf。 例题例题 2、设函数)(xf定义于自然数集N上，且1) 1 (f，若对于任意自然数x、y，都 有：xyyfxfyxf)()()(，求)(xf。 四、究函数的性质 例题、例题、设函数)(xf定义于R上，且函数)(xf不恒为零，0) 2 ( f，若对于任意实数x、 y，恒有：) 2 () 2 (2)()( yx f yx fyfxf 。 求证：)()2(xfxf 求证：)()(xfxf 求证：1)(2)2( 2 xfxf 3ex：若对常数m和任意x，等式 )(1 )(1 )( xf xf mxf 都成立，求证：函数)(xf是周期 函数。 4ex：设函数)(xf定义于实数集R上，函数)(xf不恒为零，且对于任意实数 1 x、 2 x， 都有：)()()2()2( 212121 xxfxxfxfxf，求证：)()(xfxf。