全国重点高中竞赛讲座 12覆盖
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1、竞赛讲座竞赛讲座 1212 覆盖覆盖 一个半径为 1 的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的反过来则不然,一个 半径为的圆无法盖住单位圆那么两个半径为的圆能否盖住呢?不妨动手实验 一下,不行为什么不行?需几个这样的小圆方能盖住大圆?,这里我们讨论 的就是覆盖问题,它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题 定义 设和是两个平面图形 如果图形或由图形经过有限次的平移、 旋转、 对称等变换扣得到的大小形状不变的图形上的每一点都在图形上我们就说 图形覆盖图形;反之,如果图形或上至少存在一点不在上,我们就说 图形不能覆盖图形 关于图形覆盖,下述性质是十分明显的: () 图形覆盖自身; () 图形覆盖图形
2、,图形覆盖图形,则图形覆盖图形 最简单情形用一个圆覆盖一个图形 首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到: 定理 如果能在图形所在平面上找到一点, 使得图形中的每一点与的距 离都不大于定长,则可被一半径为的圆所覆盖 定理 对于二定点、及定角 若图形中的每点都在同侧,且对、 视角不小于 ,则图形被以为弦,对视角等于 的弓形所覆盖 在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中,上述二定理应用十分广泛 例 求证:()周长为的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖 ()桌面上放有一丝线做成的线圈,它的周长是,不管线圈形状如何,都可 以被个半径为的圆纸片所覆盖 分析 ()关键在于圆心位置,考虑到平行四边形是中心对称图形,
3、可让覆盖圆 圆心与平行四边形对角线交点叠合 ()曲化直对比(),应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆 圆心 证明 ()如图,设的周长为,、 交于,为周界上任意一点,不妨设在上,则 , 有 又, 故 因此周长为的平行四边形可被以为圆心;半径为的圆所覆盖,命 题得证 (2)如图 45-2,在线圈上分别取点 R,Q,使 R、Q 将线圈分成等长两段,每段各长 l.又设 RQ 中点为 G,M 为线圈耻任意一点,连 MR、MQ,则 因此,以 G 为圆心,长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈 例ABC 的最大边长是,则这个三角形可被一半径为的圆所覆盖 分析 为最大边,所对角 A 满足A 证明 不妨设 BC,
4、以 BC 为弦,在 A 点所在一侧作含 60角的弓形弧(图 )因A180,故根据定理,ABC 可被该弓形所覆盖 由正弦定理,弓形相应半径,所以ABC 可被半径为的圆 所覆 盖 显然覆盖ABC 的圆有无穷多个,那么半径为的圆是否是最小的覆盖圆呢?事 实并不 尽然 例 的最大边 BC 等于,试求出覆盖ABC 的最小圆 解 分三种情形进行讨论: () 为钝角,以为直径作圆即可覆盖BC () 是直角,同样以为直径作圆即可覆盖ABC; ()是锐角假若O 覆盖ABC,我们可在O 内平移ABC,使一个顶点 B 落到圆周上,再经过适当旋转,使另一个顶点落在圆周上,此时第三个顶点 A 在O 内或其圆周上,设 B
5、C 所对圆周角为 ,那么BAC,设O 直径,ABC 外 接圆直径,那么 所以对于锐角三角形 ABC,最小覆盖圆是它的外接圆 今后我们称覆盖图形 F 的圆中最小的一个为 F 的最小覆盖圆最小覆盖圆的半径叫 做图形 F 的覆盖半径 综合例、例,即知ABC 中,若为最大边,则ABC 的覆盖半径满足 一个图形能否被覆盖,与图形中任意两点间的距离最大值密切相关 以下我们称图形中任意两点间的距离最大值为图形的直径 我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题 定义 对于图形,若图形中的每一点都被这组图形中的某个 所覆盖,则称这几个图形覆盖图形 图形,为个圆是一特殊情形 例 以的边为直径向平行四边形内作四个半圆, 证
6、明这四个半圆一定覆 盖整个平行四边形 分析 的每一点至少被某个半圆所盖住 证明 用反证法如图设存在一点在以、为直径 的圆外,根据定理二,均小于,从 而 与四角和应为周角相矛盾故应被其中一半圆盖住,即所作四个半圆覆盖 分析 划片包干,如图,将分为若干部分,使每一部分分别都被 上述四个半圆所覆盖 证明 在中, 如图, 设 分别过、 引垂线、 垂直,交于、,将分成四个直角三角形,、 、每一个直角三角形恰好被一半圆所覆盖,从而整个 四边形被四个半圆所覆盖 上述结论可推广到任意四边形,留给读者考虑 例 求证:一个直径为的圆不能被两个直径小于的圆所覆盖 证明 如图,先考虑其中一个小圆即去覆盖大圆,连、过
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