全国重点高中竞赛讲座 07面积问题和面积方法
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1、竞赛讲座竞赛讲座 07 -面积问题和面积方法面积问题和面积方法 基础知识基础知识 1面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形, 故在面积公式中最基本的是三角形的 面积公式它形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用 设ABC,cba,分别为角CBA,的对边, a h为a的高,R、r分别为ABC外接 圆、内切圆的半径,)( 2 1 cbap则ABC的面积有如下公式: (1) aABC ahS 2 1 ; (2)AbcS ABC sin 2 1 (3))()(cpbpappS ABC (4)prcbarS ABC )( 2 1 (5) R abc S ABC 4 (6)CBARS ABC
2、 sinsinsin2 2 (7) )sin(2 sinsin 2 CB CBa S ABC (8))( 2 1 acbrS aABC (9))2sin2sin2(sin 2 1 2 CBARS ABC 2面积定理 (1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和; (2)两个全等形的面积相等; (3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等; (4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底) 的比; (5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方; (6)共边比例定理:若PAB和QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M,则 QMP
3、MSS QABPAB : ; (7)共角比例定理:在ABC和CBA中,若AA或180AA,则 CABA ACAB S S CBA ABC 3张角定理:如图,由P点出发的三条射线PCPBPA,,设APC,CPB, 180APB,则CBA,三点共线的充要条件是: PCPAPB )sin(sinsin 例例题分析题分析 例 1梯形ABCD的对角线BDAC,相交于O,且mS AOB ,nS COD ,求 ABCD S 例 2在凸五边形ABCDE中,设1 EABDEACDEBCDABC SSSSS,求此五边 形的面积 例 3G是ABC内一点,连结CGBGAG,并延长与ABCABC,分别交于FED,, A
4、GF、BGF、BGD的面积分别为 40,30,35,求ABC的面积 例 4RQP,分别是ABC的边BCAB,和CA上的点,且1RCQRPQBP, 求ABC的面积的最大值 例 5过ABC内一点引三边的平行线DEBC,FGCA,HIAB,点 IHGFED,都在ABC的边上, 1 S表示六边形DGHEFI的面积, 2 S表示 ABC的面积求证: 21 3 2 SS 例 6在直角ABC中,AD是斜边BC上的高,过ABD的内心与ACD的内心的直 线分别交边AB和AC于K和L,ABC和AKL的面积分别记为S和T求证: TS2 例 7锐角三角形ABC中,角A等分线与三角形的外接圆交于一点 1 A,点 1 B
5、、 1 C与此类 似,直线 1 AA与B、C两角的外角平分线将于一点 0 A,点 0 B、 0 C与此类似求证: (1)三角形 000 CBA的面积是六边形 111 CBBAAC的面积的二倍; (2)三角形 000 CBA的面积至少是三角形ABC的四倍 例 8在ABC中,RQP,将其周长三等分,且QP,在边AB上,求证: 9 2 ABC PQR S S 例 9在锐角ABC的边BC边上有两点E、F,满足CAFBAE,作ABFM , ACFM (NM,是垂足) , 延长AE交ABC的外接圆于点D, 证明四边形AMDN与 ABC的面积相等 三面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一,
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