全国重点高中竞赛讲座 06平面几何四个重要定理

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1、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 06 平面几何四个重要定理平面几何四个重要定理 四个重要定理：四个重要定理： 梅涅劳斯梅涅劳斯(Menelaus)(Menelaus)定理（梅氏线）定理（梅氏线） ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R，则 P、Q、 R 共线的充要条件是 。 塞瓦塞瓦(Ceva)(Ceva)定理（塞瓦点）定理（塞瓦点） ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、CR 共点的 充要条件是。 托勒密托勒密(Ptolemy)(Ptolemy)定理定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松西姆松(

2、Simson)(Simson)定理（西姆松线）定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题：例题： 1 设 AD 是ABC 的边 BC 上的中线，直线 CF 交 AD 于 F。求证： 。 【分析】CEF 截ABD（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过 A、B、D 之一作 CF 的平行线。 2 过ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于 E、F， 交 CB 于 D。 求证：。 【分析】连结并延长 AG 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中 点。 DEG 截ABM（梅氏定理） DGF 截ACM（梅氏定理） =1 【评注】

3、梅氏定理 3 D、E、F 分别在ABC 的 BC、CA、AB 边上， ，AD、BE、CF 交成LMN。 求 SLMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4 以ABC 各边为底边向外作相似的 等腰BCE、CAF、ABG。求证：AE、BF、 CG 相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5 已知ABC 中，B=2C。求证：AC 2=AB2+ABBC。 【分析】过 A 作 BC 的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， ACBD=ADBC+CDAB。 【评注】 托勒密定理 6 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第 21 届全

4、苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7 ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交 外接圆于 P，作 PEAB 于 E，延长 ED 交 AC 延长线于 F。 求证：BCEF=BFCE+BECF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N 分成的比 为AM：AC=CN：CE=k，且 B、M、N 共线。 求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9 O 为ABC 内一点，分别以 da、db、dc表示 O 到 BC、CA、AB 的距离，以 Ra、Rb、 Rc表示 O 到 A、B、C 的距离。 求证：（1）a

5、Rabdb+cdc; (2) aRacdb+bdc; (3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。 【分析】 【评注】面积法 10ABC 中，H、G、O 分别为垂心、 重心、外心。 求证： H、 G、 O 三点共线， 且 HG=2GO。 （欧拉线） 【分析】 【评注】同一法 11ABC 中，AB=AC，ADBC 于 D，BM、BN 三等分ABC，与 AD 相交于 M、N，延长 CM 交 AB 于 E。 求证：MB/NE。 【分析】 【评注】对称变换 12G 是ABC 的重心，以 AG 为 弦作圆切 BG 于 G，延长 CG 交圆 于 D。求证：AG 2=GCGD。 【分析】 【评注】平移变

6、换 13C 是直径 AB=2 的O 上一点，P 在ABC 内，若 PA+PB+PC 的最小值是，求此时ABC 的面积 S。 【分析】 【评注】旋转变换 费马点： 已知 O 是ABC 内一点，AOB=BOC=COA=120； P 是ABC 内任一点， 求证： PA+PB+PCOA+OB+OC。 （O 为费马点） 【分析】 将 CC， OO， PP， 连结 OO、 PP。 则B OO、B PP都是正三角形。 OO=OB，PP=PB。显然BOCBOC，BPCBPC。 由于BOC=BOC=120=180-BOO，A、O、O、C四点共线。 AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即 PA+PB+PCOA

7、+OB+OC。 14(9595 全国竞赛全国竞赛) 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边 分别交于 E、F、G、H，在弧 EF 和弧 GH 上分别作 O 的切线交 AB、BC、CD、DA 分别于 M、N、P、Q。 求证：MQ/NP。 【分析】由 ABCD 知：要证 MQNP，只需证 AMQ=CPN， 结合A=C 知，只需证 AMQCPN ，AMCN=AQCP。 连结 AC、BD，其交点为内切圆心 O。设 MN 与O 切于 K，连结 OE、OM、OK、ON、OF。 记ABO=，MOK=，KON=，则 EOM=，FON=，EOF=2+2=180-2。 BON=90-NOF-COF=90-= CNO

8、=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM 又OCN=MAO，OCNMAO，于是， AMCN=AOCO 同理，AQCP=AOCO。 【评注】 15(9696 全国竞赛全国竞赛)O1和O2与 ABC 的三边所在直线 都相切，E、F、G、H 为切点，EG、FH 的延长线交于 P。 求证：PABC。 【分析】 【评注】 16(9999 全国竞赛全国竞赛)如图，在四边形 ABCD 中，对角 线 AC 平分BAD。在 CD 上取一点 E，BE 与 AC 相交 于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证：GAC=EAC。 证明：连结 BD 交 AC 于 H。对BCD 用塞瓦定理，可得 因为 AH 是BA

9、D 的角平分线，由角 平分线定理， 可得，故 。 过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I，过 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。 则， 所以，从而 CI=CJ。 又因为 CI/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。 因此，ACIACJ，从而IAC=JAC，即GAC=EAC。 已知 AB=AD，BC=DC，AC 与 BD 交于 O，过 O 的任意 两条直线EF和GH与四边形ABCD的四边交于 E、 F、 G、H。连结 GF、EH，分别交 BD 于 M、N。求证： OM=ON。（5 届 CMO） 证明证明： 作EOHEOH， 则只需证 E、 M、H共线，

10、即 EH、BO、GF 三线共点。 记BOG=，GOE=。连结 EF 交 BO 于 K。 只需证=1（Ceva 逆定理）。 =1 注注：筝形筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。 对应于 99 联赛 2：EOB=FOB，且 EH、GF、BO 三线共 点。求证：GOB=HOB。 事实上，上述条件是充要条件，且 M 在 OB 延长线上时结论仍然 成立。 证明方法为：同一法。 蝴蝶定理蝴蝶定理：P 是O 的 弦 AB 的中点，过 P 点 引O 的两弦 CD、EF， 连结 DE 交 AB 于 M， 连 结 CF 交 AB 于 N。求证：MP=NP。 【分析】 设 GH 为过 P 的直径， FFF， 显然O。 又 PGH， PF=PF。 PFPF，PAPB，FPN=FPM，PF=PF。 又 FFGH，ANGH，FFAB。FPM+MDF=FPN+EDF =EFF+EDF=180，P、M、D、F四点共圆。PFM=PDE=PFN。 PFNPFM，PN=PM。 【评注】一般结论为：已知半径为R的O 内一弦 AB 上的一点 P，过 P 作两条相交 弦 CD、EF，连 CF、ED 交 AB 于 M、N，已知 OP=r，P 到 AB 中点的距离为a，则 。（解析法证明：利用二次曲线系知识）