全国重点高中竞赛讲座 04平面几何证明

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1、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 0404 平面几何证明平面几何证明 竞赛知识点拨竞赛知识点拨 1 1 线段或角相等的证明线段或角相等的证明 （1） 利用全等或相似多边形； （2） 利用等腰； （3） 利用平行四边形； （4） 利用等量代换； （5） 利用平行线的性质或利用比例关系 （6） 利用圆中的等量关系等。 2 2 线段或角的和差倍分的证明线段或角的和差倍分的证明 （1） 转化为相等问题。如要证明a=bc，可以先作出线段p=bc，再去证 明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。 （2） 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt斜边上的中线等于斜边 的一半；的外角等于不相邻的内角之和；圆周

2、角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3 3 两线平行与垂直的证明两线平行与垂直的证明 （1） 利用两线平行与垂直的判定定理。 （2） 利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰的“三线合一”可证 明垂直。 （3） 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 【竞赛例题剖析】【竞赛例题剖析】 【例 1】从O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD。从 A 点作弦 AE 平行于 CD，连结 BE 交 CD 于 F。求证：BE 平分 CD。 【分析 1】构造两个全等。 连结 ED、AC、AF。 CF=DFACFEDF PAB=AEB=PFB 【分析 2】利用圆中的等量关系

3、。连结 OF、OP、OB。 PFB=POB 注：连结 OP、OA、OF，证明 A、O、F、P 四点共圆亦可。 【例 2】ABC 内接于O，P 是弧 AB 上的一点，过 P 作 OA、OB 的垂线，与 AC、BC 分别交于 S、T，AB 交于 M、 N。求证：PM=MS 充要条件是 PN=NT。 【分析】只需证， PMPN=MSNT。 （1=2，3=4）APMPBN PMPN=AMBN （BNT=AMS，BTN=MAS）BNTSMA MSNT=AMBN 【例 3】已知 A 为平面上两半径不等的圆 O1和 O2的一个交点， 两外公切线 P1P2、Q1Q2分别切两圆于 P1、P2、Q1、Q2，M1、

4、M2分 别为 P1Q1、P2Q2的中点。求证：O1AO2=M1AM2。 【分析】设 B 为两圆的另一交点，连结并延长 BA 交 P1P2于 C， 交 O1O2于 M，则 C 为 P1P2的中 点，且 P1M1CMP2M2，故 CM 为 M1M2的中垂线。 在 O1M 上截取 MO3=MO2，则 M1AO3=M2AO2。 故只需证O1AM1=O3AM1，即 证。 由P1O1M1P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A 可得。 【例 4】在ABC 中，ABAC，A 的外角平分线交ABC 的外接圆于 D，DEAB 于 E， 求证：AE=。 【分析】方法 1、2AE=AB-

5、AC 在 BE 上截取 EF=AE，只需证 BF=AC，连结 DC、DB、DF，从而只需证DBFDCA DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC DFA=DAF=DAG。 方法 2、延长 CA 至 G，使 AG=AE，则只需证 BE=CG 连结 DG、DC、DB，则只需证DBEDCG DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。 【例 5】 ABC 的顶点 B 在O 外， BA、 BC 均与O 相交， 过 BA 与圆的交点 K 引ABC 平分线的垂线，交O 于 P，交 BC 于 M。 求证：线段 PM 为圆心到 ABC 平分线距离的 2 倍。 【分析】若角平分线过 O， 则 P、M 重

6、合，PM=0，结论 显然成立。 若角平分线不过 O， 则延长 DO 至 D，使 OD=OD，则 只需证 DD=PM。连结 DP、DM，则只需 证 DMPD为平行四边形。 过O作mPK， 则DD,K P，DPK=DKP BL 平分ABC，MKBLBL 为 MK 的中垂 线DKB=DMK DPK=DMK，DPDM。而 D DPM， DMPD为平行四边形。 【例 6】 在ABC 中， AP 为A 的平分线， AM 为 BC 边上的中线， 过 B 作 BHAP 于 H， AM 的延长线交 BH 于 Q，求证：PQAB。 【分析】 方法 1、 结 合中线和 角平分线 的性质， 考虑用比 例证明平 行。

7、倍长中 线：延长 AM 至 M，使 AM=MA，连结 BA，如图 6-1。 PQAB ABQ=180-(HBA+BAH+CAP)= 180-90-CAP=90-BAP=ABQ 方法 2、结合角平分线和 BHAH 联想对称知识。 延长 BH 交 AC 的延长线于 B， 如图 6-2。 则 H 为 BB的中点， 因为 M 为 BC 的中点， 连结HM， 则HMB /C。 延长HM交AB于O， 则O为AB的中点。 延长MO至M， 使OM=OM， 连结 MA、MB，则 AMBM 是平行四边形， MPAM，QMBM。于是，所以 PQAB。 【例 7】菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E、F、

8、G、H，在 EF 与 GH 上分 别作O 的切线交 AB 于 M，交 BC 于 N，交 CD 于 P，交 DA 于 Q。 求证：MQNP。（95 年全国联赛二试 3） 【分析】由 ABCD 知：要证 MQNP，只需证AMQ=CPN， 结合A=C 知，只需证AMQCPN，AMCN=AQCP。 连结 AC、BD，其交点为内切圆心 O。设 MN 与O 切于 K，连结 OE、OM、OK、ON、OF。 记ABO=，MOK=，KON=，则 EOM=，FON=，EOF=2+2=180-2。 BON=90-NOF-COF=90-= CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM 又OCN=MAO，OCNM

9、AO，于是， AMCN=AOCO 同理，AQCP=AOCO。 【例 8】ABCD 是圆内接四边形，其对角线交于 P，M、N 分别是 AD、BC 的中点，过 M、 N 分别作 BD、AC 的垂线交于 K。求证：KPAB。 【分析】延长 KP 交 AB 于 L，则只需证 PAL+APL=90， 即只需证PDC+KPC=90，只需证 PDC=PKF， 因为 P、F、K、E 四点共圆，故只需证 PDC=PEF，即 EFDC。 DMECNF 【例 9】以ABC 的边 BC 为直径作半圆，与 AB、AC 分别交于点 D、E。过 D、E 作 BC 的垂线，垂足分别是 F、G，线段 DG、EF 交于点 M。求证：AMBC。 【分析】连结 BE、 CD 交于 H，则 H 为垂心，故 AHBC。（同一法） 设 AHBC 于 O， DG、AH 交于 M1， EF、AH 交于 M2。 下面证 M1、M2重 合。 OM1DFOM1=。 OM2EGOM2=。 只需证OG DF=EG OF，即 Rt OEGRt ODFDOF=DHB=EHC=EOG。