小升初数学名校冲刺精编教程讲义-第20讲立体图形的表面积和体积（教师版）
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1、第 20 讲 立体图形的表面积和体积 小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的 表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形 的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面 积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图 形切拼时表面积和体积的变化规律。 知识点一：知识点一：立体图形的立体图形的表面积和表面积和体积计算常用公式：体积计算常用公式： 立体图形立体图形 表面积表面积 体积体积 长方体长方体 S=2)(bhahab a：长 b:宽 h：高 S：表
2、面积 Vabh VSh 正方体正方体 S= 2 6a a：棱长 S：表面积 3 Va VSh 圆柱圆柱 2 222Srhr 圆柱 侧面积个底面积 2 Vr h 圆柱 圆锥圆锥 22 360 n Slr 圆锥 侧面积底面积 注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 2 1 3 Vr h 圆锥体 知识点二：知识点二：解解决决立体图形的表面积立体图形的表面积和体积和体积问题时问题时的的注意注意事项事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体 图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两
3、倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个 长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 2.2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部 分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那 么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. h r h r （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的
4、方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 考点一：长方体和正方体表面积长方体和正方体表面积的变与不变的变与不变 【例 1】（2019射洪县）把若干个边长 2 厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立体图形，这个立体图形 的表面积是 平方厘米 【思路分析】 要求这个立方体的表面积是多少平方厘米， 只要看这个正方体的表面由多少个小正方形组成， 通过观察，可以得出，立体图形的上面有3 39个小正方形，下面也有 9 个小正方形；左面和右面各 有9个小正方形； 前面和后面各有10个小正方形， 这样得出这个立方体的表面是由56个小正方形组成； 小正方形的面积
5、可根据“正方形的面积边长边长”得出；然后用小正方形的面积乘正方形的个数即 可； 【规范解答】解：(9 4 10 2) (2 2)， 564， 224（平方厘米） ； 答：这个立方体的表面积是 224 平方厘米 故答案为：224 【名师点评】此题考虑大立方体的表面是由多少个小正方形组成，然后根据公式求出小正方形的面积，用 小正方形的面积乘个数即可得出结论 【例 2】把一个长12cm、宽6cm、高9cm的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块这两个小长方体 木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了多少平方厘米？（请你将几种情况都写出来） 【思路分析】把一个长方体截成两个长方体，只锯一次，增加两
6、个横截面， （1）切割时，平行于126面切割，这样切割后，就增加了 2 个126面的面积，由此即可解决问题； （2）切割时，平行于129面切割，这样切割后，就增加了 2 个129面的面积，由此即可解决问题； （3）切割时，平行于96面切割，这样切割后，就增加了 2 个96面的面积，由此即可解决问题 【规范解答】解： （1）1262 722 144（平方厘米） 答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了 144 平方厘米 （2）1292 来源:Zxxk.Com 1082 216（平方厘米） 答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了 216 平方厘米
7、（3）962 542 108（平方厘米） 答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了 108 平方厘米 【名师点评】本题考查了长方体切割后的图形的表面积计算，根据长方体切割小长方体的方法，明确表面 积增加的 2 个面是几几的面是解决本题的关键 1 （2019 春江西校级期末）如图每个小正方体积木的边长是 2 厘米，把它们堆放在墙角，露在外面的面 的面积是 平方厘米 【思路分析】从正面看能看到 6 个小正方形的面，从上面看能看到 6 个小正方形的面，从右面看能看到 6 个小正方形的面，共看到66618（个)，每个小正方形的面积是：224平方厘米，所以露在外 面的面积是4 1
8、872厘米 2，据此解答 【规范解答】解：22 (666) 4 18 72（平方厘米） 答：露在外面的面的面积是 72 平方厘米 故答案为：72 【名师点评】本题考查了从不同方向观察物体的三视图的灵活应用，关键是得出露在外面的小正方形面的 个数 2 （2019萧山区模拟）一个长方体如果高增加2cm就成了一个正方体，而且表面积增加 24 平方厘米，原 来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【思路分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加 2 厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比 高大 2 厘米，因此增加的 24 平方厘米是 4 个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长 (244)23厘
9、米，由于长比高多 2 厘米，那么高321厘米，由此再利用长方体的表面积计算 公式计算即可解答 【规范解答】解：24423（厘米） 321（厘米） 3 323 1 4 1812 30（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是 30 平方厘米 【名师点评】本题主要考查长方体正方体表面积的实际应用，解答本题的关键是根据高增加2cm，就变成 一个正方体，可知增加的部分是长为 2 厘米的 4 个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利 用长方体的表面积的计算方法即可求解 3 （2019深圳校级模拟）把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成一个大长 方体，这个大长方体的表面
10、积最少是多少？ 【思路分析】根据两个长方体拼组成大长方体的方法，拼在一起的面越小，那么拼组后的大长方体的表面 积就越大，反之，拼组后的表面积就越小；所以要使拼成的一个大长方体的表面积最小，只要把两个大 面(97)拼在一起，然后用两个小长方体的表面积之和减去减少的面积解答即可 【规范解答】解：(9 79 47 4)2 29 7 2 ， 12722126 ， 508126， 382（平方厘米） ； 答：大长方体的表面积最小是 382 平方厘米 【名师点评】解决本题的关键是明确拼组后的长方体的表面积等于这两个小长方体的表面积之和减少的 两个面的面积 4将一个表面积为 2 72cm的正方体等分成两个长
11、方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体（如图） ，求 大长方体的表面积 【思路分析】等分成两个长方体后，表面积会增加 2 个正方形的面，也就是说有 8 个正方形的面积；一个 正方形的面积： 2 72612()cm；再拼成的大长方体的拼法是把最小面(12的一半）粘合，即粘合了 1 个面积为 2 12cm的正方形这样大长方体的表面积其实就是 7 个正方形的面的面积；据此解答即可 【规范解答】解：7267 ，来源:Z_xx_k.Com 127， 84（平方厘米） ； 答：大长方体的表面积是 84 平方厘米 【名师点评】解答此题的关键：明确后来拼成的长方体的面积其实就是 7 个正方形的面的面积，是解答
12、本 题的关键所在 考点二：长方体和正方体长方体和正方体体积体积的变与不变的变与不变 【例 3】（2019徐州）一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米， 则体积增加 90 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 160 立方厘米原长方体的表面积是 平方 厘米 【思路分析】由题意，长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘米，可知宽高240 立方厘米，则宽高20 平方厘米同理可知长高30平方厘米，长宽40平方厘米，根据长方体的表面积（长宽长高 宽高）2列式解答 【规范解答】解： （长宽长高宽高）2 (402903 1604)2 (203040)2 18
13、0（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 180 平方厘米 故答案为：180 【名师点评】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变根据长方体的 表面积公式解答即可 【例 4】（2019龙海市）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后，便成 为一个正方体，表面积减少了 120 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】根据长方体的特征，相对的面面积相等，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方 体后， 表面积减少了 120 平方厘米， 减少的只是前后左右的侧面积， 因为截去两部分后又露出两个底面； 又因为剩下部分
14、是正方体，因此减少部分（上下）的 4 个面的面积相等，因此求出一个面的面积， 120430（平方厘米） ，再除以上下部分的高就可以求出剩下部分正方体的棱长；由此解答 【规范解答】解：1204(23)3056（厘米） ； 6 6 (65)36 11396 （立方厘米） ； 答：原来长方体的体积是 396 立方厘米 【名师点评】此题主要考查长方体的体积计算，解答的关键是理解表面积减少的只是侧面积，只要求出剩 下部分正方体的棱长，再利用长方体的体积公式解答即可 1有大、中、小三个正方体水池，它们的棱长分别是 6 米、3 米、2 米，把两堆碎石分别沉落在中、小水 池的水里，两个水池的水面分别升高了 6
15、 厘米、4 厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大 水池的水面将升高多少厘米？（得数保留一位小数） 【思路分析】有大、中、小三个正方形的水池，可知这三个水池底面都是正方形的，把两堆碎石分别沉没 在中、 小水池的水里， 可知底面是不变的， 只是水面会升高， 升高那部分水的体积就是所放碎石的体积， 利用长方体的体积公式长宽高求出两堆碎石的体积；再将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，底 面变了，体积没变，水面升高的那部分水的体积就是两堆碎石的体积，那就用两堆碎石的体积除以大正 方形水池的底面积即可求出 【规范解答】解：6 米600厘米 3 米300厘米 2 米200厘米 放中池里碎石的体积：3
16、003006540000（立方厘米） 放小池里碎石的体积：2002004160000（立方厘米） 两堆碎石总体积：540000160000700000（立方厘米） 大水池的水面升高：700000(600 600)1.9（厘米） 答：大水池的水面将升高大约 1.9 厘米 【名师点评】此题主要是利用规则图形长方体的体积公式，来将不规则固体借助水的流动性变成规则的形 状，底面是不变的，水面升高那部分体积就是不规则物体的体积，再利用体积公式解答即可 2 （2019 秋东海县期末）有一个长方体容器（如图） ，长 30 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米，里面的水深 6 厘米（最大面为底面） ，如果把这
17、个容器盖紧，再朝左竖起来（最小面为底面） ，里面的水深应该是多 少厘米？ 【思路分析】先根据长方体的体积公式Vabh，求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱内水的体积 不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度，然后即可解 答 【规范解答】解：30 20 6(20 10) ， 3600200， 18（厘米） ， 答：里面的水深应该是 18 厘米 【名师点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面的面积） ，就 是水面的高度 3 （2019温江区）有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那 么
18、这个长方体的体积是 【思路分析】正面和上面之和为 209，所以长宽长高长（宽高）209，把 209 分解因数为： 20911 19，又因为长、宽、高都是质数， （1）若长19，宽高11，11 是奇数，只能分解成一个奇数一个偶数，而偶数中只有 2 是质数，11 只能分成29，而 9 又不是质数，所以此情况不成立来源:学#科#网 （2）若长11，宽高19，同样 19 只能分成217，所以这个长方体的三个棱长分别为 2、11、17， 由此可以解决问题 【规范解答】解：正面和上面之和为 209，所以长宽长高长（宽高）209，把 209 分解因数 为：20911 19，又因为长、宽、高都是质数， （1）
19、若长19，宽高11，11 是奇数，只能分解成一个奇数一个偶数，而偶数中只有 2 是质数，11 只能分成29，而 9 又不是质数，所以此情况不成立 （2）若长11，宽高19，同样 19 只能分成217，所以这个长方体的三个棱长分别为 2、11、17， 体积：2 11 17，来源:Zxxk.Com 22 17， 374； 答：这个长方体的体积是 374； 故答案为：374 【名师点评】解答此题的关键：先根据题意，进行分析，判断出长、宽、高的长度，然后根据长方体的体 积计算公式进行解答即可 4 （2019 秋泗阳县校级期中）一个长方体，如果高增加 3 厘米，它就变成一个正方体，此时表面积就增 加 4
20、8 平方厘米原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加 3 厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比 高大 3 厘米，因此增加的 48 平方厘米是 4 个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长 (484)34厘米，由于长比高多 3 厘米，那么高431厘米，由此解答 【规范解答】解：增加的 1 个面的面积：48412（平方厘米） 长方体的长（宽):1234（厘米） 长方体的高：431（厘米） 体积：44 116 （立方厘米） 答：原来这个长方体的体积是 16 立方厘米 【名师点评】此题解答关键是求出长方体的长、宽，进而求出高；然后利用长方体的体积计算
21、公式解答即 可 考点三：圆柱的表面积圆柱的表面积和体积的变与不变和体积的变与不变 【例 5】（2019深圳校级模拟） 一个圆柱体底面周长和高相等， 如果高缩短了 2 厘米， 表面积就减少 12.56 平方厘米求这个圆柱体的表面积 【思路分析】一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形解题的关键在于求出底 面周长，如图：高缩短 2 厘米，表面积就减少 12.56 平方厘米，用如图表示，从图中不难看出阴影部分 就是圆柱体表面积减少的部分 【规范解答】解：底面周长（也是圆柱体的高）:12.5626.28（厘米） ， 侧面积：6.286.2839.4384（平方厘米） ， 两个底面积：
22、 2 6.28 3.14()26.28 23.14 （平方厘米） ， 所以表面积：39.43846.2845.7184（平方厘米） ， 答：这个圆柱的表面积是 45.7184 平方厘米 【名师点评】解答此题的关键是根据高 2 厘米的侧面积求出这个圆柱的底面周长和高，据此再利用圆柱的 表面积公式即可解答 【例 6】（2019南阳模拟）六一儿童节，康康把一块橡皮泥揉成圆柱形， 切成三块（如图1)，表面积增加了 50.24 平方厘米； 切成四块（如图2)，表面积增加了 48 平方厘米 请你算算圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米 【思路分析】如图：切成 3 块，增加 4 个面，表面积增加 50.24 平
23、方厘米，由此求出一个底面的面积，进 而求出圆柱的底面半径；纵切，表面积增加 4 以底面直径为长，以圆柱的高为宽的长方形的面积，由此 求出一个长方形的面积，进而求出圆柱高，然后根据：圆柱的体积底面积高，由此解答即可 【规范解答】解：50.24412.56（平方厘米） ； 假设圆柱的底面半径是r，则 2 12.56r， 所以 2 12.563.144r ，所以2r （厘米） ； 圆柱的高：484(22) 124 3（厘米） 体积为： 2 3.1423 12.563 37.68（立方厘米） 答：圆柱形橡皮泥的体积是 37.68 立方厘米 【名师点评】此题考查了圆柱的知识，明确圆柱的切拼方法，是解答此
24、题的关键 【例 7】（2019上街区）有一个足够深的水槽，底面是长为 16 厘米、宽为 12 厘米的长方形，原本在水槽 里盛有 6 厘米深的水和 6 厘米深的油（油在水的上方） 如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为 8 厘米、 8 厘米、12 厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？ 【思路分析】首先根据长方体的体积长宽高，求出原来水槽中水的体积是多少；然后根据长方形的 面积长宽，可得水槽的底面积是192(16 12192)平方厘米，铁块的底面积是64(8 864) 平方厘米， 用水槽的底面积减去铁块的底面积，求出放入铁块后水所占的底面积是128(19264128)平方厘米，再用 原来水槽中水的
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