小升初数学名校冲刺精编教程讲义-第19讲立体图形的认识与测量（二）（教师版）
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1、第 19 讲 立体图形的认识与测量（二） 知识点一：知识点一：圆柱与圆锥的认识圆柱与圆锥的认识 1.1.圆柱的定义圆柱的定义: :以 长方形长方形 的一条边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆柱。 2.2.圆锥的定义圆锥的定义: :以 直角三角形直角三角形 的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作 圆锥。 3.3.圆柱和圆锥的特征圆柱和圆锥的特征: : 名称名称 图形图形 展开图展开图 特征特征 圆柱圆柱 (1)上下两个底面是两个相等的圆;两个底面之 间的距离叫作高(h);圆柱有 无数无数 条高。 (2)侧面展开图是长方形(或正方形),长方形的 长相当于圆柱的底面 周长周长
2、,宽相当于圆柱 的 高高 圆锥圆锥 (1)底面是圆,顶点到底面圆心(O)的距离叫作 高(h),圆锥只有 1 1 条高。 (2)圆锥的侧面展开图是一个 扇形扇形 知识点二：知识点二：圆柱与圆锥的测量圆柱与圆锥的测量 1.1.圆柱的侧面积、表面积。圆柱的侧面积、表面积。 (1)(1)圆柱的侧面积圆柱的侧面积= = 底面周长高底面周长高 , ,用字母表示为用字母表示为:S:S 侧侧= = dh(dh(或或 2 2rh)rh) (2)(2)圆柱的表面积圆柱的表面积= = 底面积底面积2+2+侧面积侧面积 , ,用字母表示为用字母表示为:S=:S= 2 2r r 2 2+2 +2rhrh 2.2.圆柱的
3、体积圆柱的体积= = 底面积高底面积高 , ,用字母表示为用字母表示为:V=:V= r r 2 2h h 。 3.3.圆锥的体积圆锥的体积= = 底面积高 底面积高 , ,用字母表示为用字母表示为:V=:V= r r 2 2h h 知识点三：知识点三：用排水法计算不规则物体的体积用排水法计算不规则物体的体积 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变 化 体积差体积差 就是物体的体积。 2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的 体积体积 就是物 体的体积。 考点一：圆圆柱和圆锥的认识柱和圆锥的认识 【例 1】（2019无锡
4、校级一模）在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，恰好围成一个圆锥模型（如图） 如 果圆的半径为r，扇形半径为R，那么:r R 1:4 【思路分析】根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个 半径之间的关系 【规范解答】解：因为扇形的弧长等于圆锥底面周长， 所以 1 22 4 Rr 1 2 2 Rr :1:4r R ； 故答案为：1:4 【名师点评】解答此题的关键是明白：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长 【例 2】（2019鄂托克旗）用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图，单位：厘米） ，打结处正好是底面 圆心
5、， 打结用去绳长25 厘米 扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？在它的整个侧面贴上商标和说明， 这部分的面积是多少平方厘米？ 【思路分析】 （1）要求扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米，就是求 8 条直径、8 条高和打结用去的绳长 的总和； （2）求商标的面积是多少平方厘米，就是求圆柱形蛋糕盒的侧面积，根据“圆柱的侧面积dh”解答即 可 【规范解答】解： （1）15 850825， 12040025， 545（厘米） ， 面积：3.1450 15， 157 15， 2355（平方厘米） ； 答：扎这个盒子至少用去塑料绳 545 厘米，在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积是 2355 平方 厘
6、米 【名师点评】解答此题用到的知识点：圆柱的侧面积的计算方法；圆柱的特征 1 （2019聊城）如图扇形的半径是r请你想象，用这个扇形围成一个高为h的圆锥（接缝处不计） ，圆 锥的高h与扇形半径r之间的关系是( ) Ahr Bhr Chr 【思路分析】把该扇形围成圆锥后，扇形的半径即围成后圆锥的母线，圆锥的高与底面半径、圆锥母线构 成直角三角形的三边，根据三角形中，斜边最长，所以扇形的高小于圆锥的母线（即扇形的半径) r；据此 判断即可 【规范解答】解：用这个扇形围成一个高为h的圆锥（接缝处不计） ，圆锥的高h与扇形的半径r之间的关 系：hr； 故选：B 【名师点评】解答此题应明确：圆锥的侧面展
7、开图是一个扇形，此扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的 高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边来源:学&科&网 Z&X&X&K 2 （2019浙江）将圆柱的侧面展开成一个平行四边形与展开成一个长方形比( ) A面积小一些，周长大一些 B面积相等，周长大一些 C面积相等，周长小一些 【思路分析】因为侧面积一定，所以无论展开成什么形状，面积都是一样的；可由长方形展成平行四边形 后，上下边长没变，左右两边由垂直底边变成倾斜的，所以周长变长了；从而问题得解 【规范解答】解：因为侧面积一定，所以无论展开成什么形状，面积都是一样的； 可由长方形展成平行四边形后，上下边长没变，左右两边由垂直底边变成倾斜的
8、，所以周长变长了； 故选：B 【名师点评】此题主要考查对圆柱的侧面展开图 3 （2019楚州区）如图一个半径为 10 厘米的半圆形铁皮，再配上一个面积是 78.5 平方厘米的圆形铁 皮刚好可以制成一个圆锥体（不考虑损耗） 【思路分析】根据半径求圆周长的一半，圆周长的一半就是母线长，母线长就是底面圆的周长，根据底面 圆的周长可以求出底面圆的半径，从而求出底面圆的面积 【规范解答】解：半径为 10 厘米，则圆周长的一半10（厘米） ，底面半径1025r（厘米） ， 底面面积2578.5（平方厘米） ； 故答案为：78.5 【名师点评】本题利用了圆的面积公式，圆的周长公式和圆锥的特征进行求解 4 （
9、2019南京）有一张长方体铁皮（如图） ，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体， 这个圆柱体的底面半径为 10 厘米，那么圆柱的底面积是 平方厘米，体积是 立方厘米 【思路分析】剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，圆柱的底面半径是 10 厘米，高 是 20 厘米，根据圆柱体的底面半径为 10 厘米， 2 sr求出圆柱的底面积即可；然后用圆柱的底面积 乘以高即可求出圆柱的体积 【规范解答】解：根据分析， 圆柱的底面半径是 10 厘米，高是 20 厘米， 圆柱的底面积： 22 3.14 10314sr（平方厘米） 圆柱的体积：314206280vsh（立方厘米） 故答
10、案为：314、6280 【名师点评】此题中分析出圆柱的底面半径是 10 厘米，高是 20 厘米是解答的关键 考点二：圆柱的表面积圆柱的表面积 【例 3】（2019 春吉水县期末）求如图图形的表面积 （单位：厘米） 【思路分析】观察图形可知，这个图形的表面积等于下面的底面直径是 20 厘米、高 15 厘米的圆柱的表面 积与上面的底面直径 10 厘米、高 15 厘米的圆柱的侧面积之和，据此计算即可解答问题 【规范解答】解： 2 3.14 20 153.14 (202)23.14 10 15 942628471 2041（平方厘米） 答：这个图形的表面积是 2041 平方厘米 【名师点评】此题主要考
11、查了组合图形的表面积的计算方法，一般都是转换到规则图形中利用表面积公式 计算即可解答 【例 4】（2019娄底模拟）有一个半圆柱如图，已知它的底面直径是 20 厘米，高是 8 厘米，求它的表面 积 【思路分析】观察图形可知，半圆柱的表面积等于整圆柱的侧面积的一半与底面直径是 20 厘米的一个底 面圆的面积之和，再加上长与宽分别是 20 厘米、8 厘米的长方形的面积，据此计算即可解答问题 【规范解答】解： 2 3.14 20 823.14 (202)20 8 251.2314160 725.2（平方厘米） 答：它的表面积是 725.2 平方厘米 【名师点评】解答此题关键是明确这个半圆柱的表面积都
12、包括哪几个部分，再利用圆柱的侧面积和底面积 以及长方形的面积公式计算即可解答问题 1 （2019 春张掖期中）砌一个圆柱形的水池，底面直径 6 米，深 3 米在池的周围和底面抹上水泥，每 平方米用水泥 5 千克，大约要用水泥多少千克？（得数保留整千克数） 【思路分析】根据题干可知，抹水泥的面积是指水池的底面积和侧面积之和，由此先利用圆柱的底面积和 侧面积公式计算出需要抹水泥的总面积，再乘 5 即可解答 【规范解答】解：需要抹水泥的面积是： 2 3.14 (62)3.14 6 3 ， 3.14956.52， 28.2656.52， 84.78（平方米） ， 84.78 5424（千克） ， 答：
13、大约要用水泥 424 千克 【名师点评】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转 化为数学问题，再运用数学知识解决 2 （2019 春成都期末）一根圆柱形水管，横截面的半径是 5 厘米，长是 1.2 米，做 100 节这样的水管要 铁皮多少平米？ 【思路分析】本题就是求这个截面直径（即底面半径）为 5 厘米0.05米，长 1.2 米的圆柱的侧面积，由 此利用圆柱的侧面积底面周长高求出一节用铁皮的面积，再乘 100 即可 【规范解答】解：5 厘米0.05米， 3.140.052 1.2 100 3.140.1 1.2 100 0.3768 100 37.6
14、8（平方米） ； 答：做 100 节这样的水管至少需要 37.68 平方米的铁皮 【名师点评】此题考查了圆柱的侧面积公式的计算应用，此类问题要结合生活实际进行解答 3 （2019东莞校级自主招生） 把一个长 12 厘米， 宽 6 厘米的长方形纸板沿长旋转一周， 得到一个圆柱体， 这个圆柱体的侧面积是多少？ 【思路分析】根据题意知道，得到的圆柱体的底面半径是 6 厘米，高是 12 厘米，由此根据圆柱的侧面积 公式，2Schrh，代入数据，列式解答即可来源:Z*xx*k.Com 【规范解答】解：3.1462 12 ， 6.286 12 ， 37.68 12， 452.16（平方厘米） ， 答：这个
15、圆柱体的侧面积是 452.16 平方厘米 【名师点评】解答此题的关键是知道旋转后得到的圆柱体与原来的长方形的关系，再利用相应的公式解决 问题 4 （2019 春招远市期末） 如图， 是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚， 长 16 米， 横截面是一个直径 2 米的半圆 （1）这个大棚的种植面积是多少平方米？ （2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？ 【思路分析】 （1）根据题干，这个大棚的种植面积就是这个长 15 米，宽 2 米的长方形的面积，根据长方 形的面积公式即可解答； （2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积，即它所在的圆柱的侧面积的一半，加上一个圆柱的底面积； 由此利用圆柱的侧面积和底面
16、积公式即可解答 【规范解答】解： （1）16232（平方米） 答：这个大棚的种植面积是 32 平方米 （2） 2 3.14 2 1623.14 (22) 50.243.14 53.38（平方米） 答：覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有 53.38 平方米 【名师点评】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转 化为数学问题，再运用数学知识解决 考点三：圆柱和圆锥的体积圆柱和圆锥的体积 【例 5】（2019海口）在下面两个空容器中，将甲容器注满水，再倒入乙容器，这时乙容器中的水深 cm 【思路分析】因为等底等高的圆锥的容积（体积）是圆柱容积（体积）的 1 3 ，
17、所以当圆锥与圆柱的底面积 相等、体积相等时，圆柱的高是圆锥高的 1 3 ，据此解答即可 【规范解答】解： 1 124 3 （厘米） 答：乙容器中的水深 4 厘米 故答案为：4 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用 【例 6】（2019如东县）如图是一个直角三角形AC边上的高是多少厘米？（请先在图中画出高，并计 算）再算一算，以AC为轴旋转一周形成的立体图形的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】根据三角形的面积公式：2Sah，那么2hSa，据此可以求出AC边上的高是多少厘 米，以AC为轴旋转一周形成的立体图形是两个同底面的圆锥，两个圆锥高的和是 10 厘米的
18、圆锥，根据圆 锥的体积公式： 2 1 3 Vr h，把数据代入公式解答 【规范解答】解：AC边上的高： 如图： 862210 4810 4.8（厘米） 2 1 3.144.810 3 1 3.1423.04 10 3 241.152（立方厘米） 答：以AC为轴旋转一周形成的立体图形的体积是 241.152 立方厘米 【名师点评】此题主要考查三角形的面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式 【例 7】（2019顺庆区）如图，ABCD是直角梯形，以AB为轴将梯形旋转一周，得到一个立体图形，这 个立体图形的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】根据题意可知：以AB为轴旋转一周得到是一个上面是空
19、心圆锥，下面是一个圆柱，圆锥和 圆柱的底面半径都是 2 厘米， 圆锥的高是(85)厘米， 圆柱的高是 8 厘米， 根据圆锥的体积公式： 1 3 vsh， 圆柱的体积公式：vsh，把数据分别代入公式求出圆柱与圆锥的体积差即可 【规范解答】解：如下图： 22 1 3.14283.142(85) 3 1 3.14483.1443 3 100.4812.56 87.92（立方厘米） ， 答：这个立体图形的体积是 87.92 立方厘米 【名师点评】解答求组合图形的体积，关键是考查分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的体积和， 还是求各部分的体积差，再利用相应的体积公式解答 1 （2019渝中区）把一块
20、棱长为 8 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径是 10 厘米的圆锥形铁块，这个 圆锥形铁块的高度是多少？ 【思路分析】由题意知，正方体铁块熔铸成圆锥形铁块后体积是不变的，所以求出圆锥的体积，又知道圆 锥底面的直径，就可求出圆锥铁块的高了 【规范解答】解： 3 8512（立方厘米） 2 3 512(3.14 10 ) 1536314 4.89（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高大约是 4.89 厘米 【名师点评】此题是求圆锥的高，本题中铁块由正方体变为圆锥体只是形状变了，体积没变 2 （2019富源县）一个底面半径是 6 厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高 9 厘米 的圆锥体铅锤当
21、铅锤从水中取出后，水面下降了 0.5 厘米这个圆锥体的底面积是多少平方厘米？( 取3.14) 【思路分析】圆锥铅锤的体积等于圆柱容器水面下降的那部分水的体积，先根据圆柱的体积公式，求出容 器中水下降的体积 （即圆锥的体积） ， 已知圆锥的高是 9 厘米， 用体积除以高再除以 1 3 即可求出底面积 由 此列式解答 【规范解答】解：容器水下降的体积： 2 3.1460.5 3.14360.5 56.52（立方厘米） ； 圆锥的底面积： 1 56.52(9) 3 56.523 18.84（平方厘米） ； 答：这个圆锥体的底面积是 18.84 平方厘米 【名师点评】此题解答关键是理解容器中水下降的那
22、部分水的体积等于圆锥的体积，利用圆柱、圆锥的体 积计算方法解决问题 3 （2019广东）仔细观察下面图形的特点，然后用较简便的方法求出这个图形的体积： （单位：厘米） 【思路分析】由图形可知：圆锥和圆柱等底等高，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的 1 3 ，根据圆柱 的体积公式：vsh，圆锥的体积公式： 1 3 vsh，把数据代入公式求出它们的体积之和即可 【规范解答】解： 22 414 3.14( )93.14( )9 232 ， 1 3.14493.1449 3 ， 113.0437.68， 150.72（立方厘米） ； 答：这个图形的体积是 150.72 平方厘米 【名师点评】求组合图
23、形的体积，关键是分清图形是由哪几部分组成的，然后根据相应的体积公式解答 4 （2019萧山区模拟）图形计算 求立体图形的体积 单位（分米） 【思路分析】由图形可知：这是一个空心圆柱，底面是环形，根据环形面积外圆面积内圆面积，求出 底面积，再根据圆柱的体积公式：vsh，把数据代入公式解答 【规范解答】解： 22 3.14 (202)(102) 15 3.14 10025 15 3.1475 15 3532.5（立方分米） ， 答：这个立体图形的体积是 3532.5 立方分米 【名师点评】解答求组合图形的体积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，数它们的体积和还是求 它们的体积差，然后利用相应的
24、体积公式解答即可 5 （2019成都）如图，将三个高都是 1 米，底面半径分别是 1.5 米、1 米、0.5 米的 3 个圆柱体组成一个 物体 求这个物体的体积？ 求这个物体的表面积？ 【思路分析】由题意可知：这个物体的体积就等于 3 个圆柱的体积之和，利用圆柱的体积公式即可得解； 这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可 【规范解答】解： （1） 222 3.14 (1.510.5 ) 1， 3.14 (2.25 10.25) ， 3.143.5， 10.99（立方米） ， 答：这个物体的体积是 10.99 立方米 （2）大圆柱的表面积： 2 3.14 1.5
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