湖南省长沙市开福区二校联考2020-2021学年九年级上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、长沙市开福区长沙市开福区二校联考二校联考 2020-2021 学年学年九年级上九年级上第一次月考数学试卷第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 38.0 分）分） 1如果 3x2y（x、y 均不为零） ，那么 x：y 的值是（ ） A B C D 2下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） Am3+m2m5 Bm3m2m6 C （1m） （1+m）m21 D 4甲、乙、丙、丁四名学生近 5 次数学成绩的平均数都是 110 分，方差如表，则这四名学生成绩最稳定的 是（ ） 学生 甲 乙 丙 丁 方

2、差（s2） 11.6 6.8 7.6 2.8 A甲 B乙 C丙 D丁 5若在同一直角坐标系中，作 yx2，yx2+2，y2x2+1 的图象，则它们（ ） A都关于 y 轴对称 B开口方向相同 C都经过原点 D互相可以通过平移得到 6一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，墙长 20m，另外三边由篱笆围成，篱笆长度为 30m，则垂直于墙的一 边的长度 x 取值范围为（ ） A5x15 B0 x20 C5x20 D0 x15 7关于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点（6，2） D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 8如

3、图，直线 ABCD，A70，C40，则E 等于（ ） A30 B40 C60 D70 9如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A175cm2 B350cm2 Ccm2 D150cm2 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，4a） ，点 A（4，y1）是该抛物 线上一点，若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： 4a2b+c0； 若 y2y1，则 x24； 若 0 x24，则 0y25a； 若方程 a（x+1） （x

4、3）1 有两个实数根 x1和 x2，且 x1x2，则1x1x23 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 21.0 分）分） 11在某校举行的“人人崇尚美，个个奉献爱”的演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成 绩各不相同，其中一位同学想知道自己是否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生 成绩的 （填“平均数” “中位数”或“众数” ） 12分解因式：2a28b2 13如图是一个高速公路隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，路面 AB8 米，净高 CD

5、8 米，则此圆的半径 OA 为 14以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30 度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空 气阻力，球的飞行高度 h（单位 m）与飞行时间 t（单位 s）之间具有函数关系：h20t5t2，那么球从 飞出到落地要用的时间是 15已知点 P（a，b）在直线 yx1 上，点 Q（a，2b）在直线 yx+1 上，则代数式 a24b21 的值 为 16如图，在 RtABC 中，ACB90，AC10，BC8，点 D 是 BC 上一点，BC3CD，点 P 是线段 AC 上一个动点， 以 PD 为直径作O， 点 M 为的中点， 连接 AM， 则 AM 的最小值为

6、三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 38.0 分）分） 17计算： 18先化简，再求值：，然后在不等式 x2 的非负整数解中选择一个适当的数 代入求值 19如图，已知反比例函数 y的图象与一次函数 yx+b 的图象交于点 A（1，4） ，点 B（4，n） （1）求 n 和 b 的值； （2）求OAB 的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围 202020 年是决胜全面建成小康社会冲锋之年，为进一步加快脱贫攻坚步伐，某市出台了民生兜底、医保 脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了 2 到 5 种

7、帮扶 措施，现把享受了 2 种、3 种、4 种和 5 种帮扶措施的贫困户分别称为 A、B、C、D 类贫困户为检查 帮扶措施是否落实， 随机抽取了若干贫困户进行调查， 现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图： 请根据图中信息回答下面的问题： （1）求本次抽样调查贫困户总户数，并补全条形统计图； （2）若该地共有 15000 户贫困户，请估计至少得到 3 项帮扶措施的大约有多少户； （3）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从 D 类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行 重点帮扶，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丙的概率 21如图，ADBC，AC 平分BAD，BD 平分ABC

8、，AC，BD 相交于点 O，CEBD，DEAC （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AC6，BD10，求 OE 的长 22某网店专售一品牌牙膏，其成本为 22 元/支，销售中发现，该商品每天的销售量 y（支）与销售单价 x （元/支）之间存在一次函数关系，当售价为 30 元时销售量为 100 支，售价为 35 元时销售量为 50 支 （1）请求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3） 该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 100 元捐给希望工程， 为了保证捐款后每天剩余的利润不 低于 350 元，请你给

9、该网店店主提供一个合理化的销售单价范围 23如图，O 为等边ABC 的外接圆，半径为 4，点 D 在劣弧 AB 上运动（不与点 A、B 重合） ，连接 DA、 DB、DC （1）求证：DC 是ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 长 x 的函数吗？如果是，请求出函数解析式；如果不是，请说明 理由； （3） 若点 M、 N 分别在线段 CA， CB 上运动 （不含端点） ， 经过探究发现，点 D 运动到每一个确定位置， DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会发生变化，求所有 t 值中的最大值 24对于给定的两个函数 yk1x+b1（k10）和

10、yk2x+b2（k20） ，在这里我们把 y（k1x+b1） （k2x+b2） （k10，k20）叫做这两个函数的“友好”函数 （1）写出函数 yx+1 和 yx+3 的“友好”函数，然后写出这个“友好”函数的图象与 x 轴交点的坐 标； （2）已知函数 yx+2n 和 yx，当它们的“友好”函数自变量的取值范围是1x3，且当 n3 时这个“友好”函数的最大值是 9，求 n 的值以及这个“友好”函数的最小值； （3） 已知函数 yx+2n 和 yx， 当它们的 “友好” 函数的自变量的取值范围是时， 写出这个“友好”函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标 y 与 n 之间的函数关系式 25如图，

11、抛物线 yax2+x+c 经过点 C（3，0） ，顶点为 B，对称轴 x1 与 x 轴相交于点 A，D 为线段 BC 的中点 （1）求抛物线的解析式； （2）P 为线段 BC 上任意一点，M 为 x 轴上一动点，连接 MP，以点 M 为中心，将MPC 逆时针旋转 90，记点 P 的对应点为点 E，点 C 的对应点为 F，当直线 EF 与抛物线 yax2+x+c 只有一个交点时， 求点 M 的坐标； （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若 PC（如图） 求证：EAED； 当点 E 在（1）所求的抛物线上时，求线段 CM 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（

12、本大题共 10 小题，共小题，共 38.0 分）分） 1如果 3x2y（x、y 均不为零） ，那么 x：y 的值是（ ） A B C D 【分析】根据等式的性质，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式） ，结果不变，可得 答案 【解答】解：两边都除以 3y，得 ， 故选：B 【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键，等式的两边都乘以（或除以）同一个不 为零的数（或整式） ，结果不变 2下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，

13、故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 3下列计算正确的是（ ） Am3+m2m5 Bm3m2m6 C （1m） （1+m）m21 D 【分析】根据同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质即可判断 【解答】解：A、不是同类项，不能合并，

14、故选项错误； B、m3m2m5，故选项错误； C、 （1m） （1+m）1m2，选项错误； D、正确 故选：D 【点评】本题考查了同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质，理解 平方差公式的结构是关键 4甲、乙、丙、丁四名学生近 5 次数学成绩的平均数都是 110 分，方差如表，则这四名学生成绩最稳定的 是（ ） 学生 甲 乙 丙 丁 方差（s2） 11.6 6.8 7.6 2.8 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差越小成绩越稳定求解可得 【解答】解：由表可知丁的方差最小， 所以这四名学生成绩最稳定的是丁， 故选：D 【点评】 本题主要考查方差， 解题的关键是掌

15、握方差的意义： 方差是反映一组数据的波动大小的一个量 方 差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越 好 5若在同一直角坐标系中，作 yx2，yx2+2，y2x2+1 的图象，则它们（ ） A都关于 y 轴对称 B开口方向相同 C都经过原点 D互相可以通过平移得到 【分析】从三个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为 0，故对称轴 x0，对称轴为 y 轴 【解答】解：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为 0， 故对称轴 x0，对称轴为 y 轴，都关于 y 轴对称 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，需要熟

16、练掌握二次函数性质是解题关键 6一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，墙长 20m，另外三边由篱笆围成，篱笆长度为 30m，则垂直于墙的一 边的长度 x 取值范围为（ ） A5x15 B0 x20 C5x20 D0 x15 【分析】由垂直于墙的一边的长度及篱笆的长度，可得出平行于墙的一边的长度，再结合矩形的各边长 非负及墙长 20m，即可得出关于 x 的一元一次不等式组，解之即可得出 x 的取值范围 【解答】解：垂直于墙的一边的长度为 xm， 平行于墙的一边的长度为（302x）m 又墙长 20m， ， 5x15 故选：A 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

17、不等式组是 解题的关键 7关于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点（6，2） D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对 C 进行判断；根据反比例函数的性质对 A、B、D 进行 判断 【解答】解：反比例函数 y，k120， A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确； B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确； C、函数图象经过点（6，2） ，故本选项说法不正确； D、当 k0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，故

18、本选项说法 正确； 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 y（k0）的图象是双曲线；当 k0，双曲线 的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k0，双曲线的两支分别位于 第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 8如图，直线 ABCD，A70，C40，则E 等于（ ） A30 B40 C60 D70 【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 即可求出E 的度数 【解答】解：如图，ABCD，A70， 1A70， 1C+E，C40， E1C704030 故选：A 【点评】本题考查的

19、是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的 关键 9如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A175cm2 B350cm2 Ccm2 D150cm2 【分析】贴纸部分的面积等于扇形 ABC 减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为 120，扇形的半径为 25cm 和 10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积 【解答】解：AB25，BD15， AD10， S贴纸2（） 2175 350cm2， 故选：B 【点评】本题主要考查扇形面积的计

20、算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难 度一般 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，4a） ，点 A（4，y1）是该抛物 线上一点，若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： 4a2b+c0； 若 y2y1，则 x24； 若 0 x24，则 0y25a； 若方程 a（x+1） （x3）1 有两个实数根 x1和 x2，且 x1x2，则1x1x23 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线的对称轴方程 x，和顶点坐标为（1，4a） ，便可用 a 的代数式表示 b、 c 与，进而代入

21、4a2b+c 便可由 a 的取值范围确定此小题的结论正确与否；点 A（4，y1）关于直线 x 1 的对称点为（2，y1） ，当 y2y1，则 x24 或 x22，便可确定此小题的结论正确与否；当 x 4 时，y116a+4b+c16a8a3c5a，当1x24，则4ay25a，便可确定此小题的结论正 确与否；方程 a（x+1） （x3）1 有两个实数根 x1和 x2，可得抛物线 ya（x+1） （x3）与直线 y1 交点的坐标（x1，1）和（x2，1） ，再由抛物线 ya（x+1） （x3）0 与 x 轴的两个交点坐 标分别为（1，0）和（3，0） ，便可确定此小题的结论正确与否 【解答】解：二

22、次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，4a） ， x，且4aa+b+c， b2a，c3a， 4a2b+c4a+4a3a5a0（抛物线开口向上，则 a0） ， 于是的结论正确； 点 A（4，y1）关于直线 x1 的对称点为（2，y1） ， 当 y2y1，则 x24 或 x22， 于是错误； 当 x4 时，y116a+4b+c16a8a3c5a， 当1x24，则3ay25a， 于是错误； 方程 a（x+1） （x3）1 有两个实数根 x1和 x2，且 x1x2， 抛物线 ya（x+1） （x3）与直线 y1 交点的坐标（x1，1）和（x2，1） ， 抛物线 ya（x

23、+1） （x3）0 时，x1 或 3， 即抛物线 ya（x+1） （x3）0 与 x 轴的两个交点坐标分别为（1，0）和（3，0） ， 1x1x23， 于是正确 故选：B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 21.0 分）分） 11在某校举行的“人人崇尚美，个个奉献爱”的演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成 绩各不相同，其中一位同学想知道自己是否进入前 5 名，不仅要了

24、解自己的成绩，还要了解这 9 名学生 成绩的 中位数 （填“平均数” “中位数”或“众数” ） 【分析】9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩参赛选手要想知道自己是否能进入前 5 名，只需要了解自 己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 的成绩是中位数，要判断是否进入前 5 名，故应知道中位数的多少 故答案为：中位数 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义 12分解因式：2a28b2 2（a2b） （a+2b） 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：2a2

25、8b2， 2（a24b2） ， 2（a+2b） （a2b） 故答案为：2（a+2b） （a2b） 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点 在于要进行二次分解因式 13如图是一个高速公路隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，路面 AB8 米，净高 CD 8 米，则此圆的半径 OA 为 5 【分析】先根据垂径定理求出 AD 的长，再设O 的半径为 r，则 OD8r，在 RtAOD 中，根据勾股 定理即可求出 r 的值 【解答】解：CDAB，AB8m， ADAB4m， 设O 的半径为 r，则 OD8r， 在 RtAOD 中， OA2

26、OD2+AD2，即 r2（8r）2+42，解得 r5m 故答案为：5 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，先根据垂径定理得出 AD 的长，再根据勾股定理求解是解答此 题的关键 14以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30 度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空 气阻力，球的飞行高度 h（单位 m）与飞行时间 t（单位 s）之间具有函数关系：h20t5t2，那么球从 飞出到落地要用的时间是 4s 【分析】根据函数关系式，当 h0 时，020t5t2，解方程即可解答 【解答】解：当 h0 时，020t5t2， 解得：t10，t24， 则小球从飞出到落地需要 4s 故答案为：4s

27、 【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键 15已知点 P（a，b）在直线 yx1 上，点 Q（a，2b）在直线 yx+1 上，则代数式 a24b21 的值 为 1 【分析】将点的坐标代入直线中可得出关于 a、b 的二元一次方程组，解方程即可得出 a、b 的值，将其 代入代数式 a24b21 中，即可得出结论 【解答】解：由已知得：， 解得： a24b21411 故答案为：1 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解二元一次方程组，解题的关键是求出 a、b 的 值本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在直线上得出方程（或方程组）是

28、关键 16如图，在 RtABC 中，ACB90，AC10，BC8，点 D 是 BC 上一点，BC3CD，点 P 是线段 AC 上一个动点，以 PD 为直径作O，点 M 为的中点，连接 AM，则 AM 的最小值为 5 【分析】如图，连接 OM，CM，过点 A 作 ATCM 交 CM 的延长线于 T证明ACT45，求出 AT 即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OM，CM，过点 A 作 ATCM 交 CM 的延长线于 T ， OMPD， MOD90， MCDMOD45， ACB90， ACT45， ATCT， ATC90， AC10， ATACsin455， AMAT， AM5， AM 的最小值

29、为 5， 故答案为 5 【点评】本题考查圆周角定理，垂线段最短，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决 问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 38.0 分）分） 17计算： 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式91+32 9 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18先化简，再求值：，然后在不等式 x2 的非负整数解中选择一个适当的数 代入求值 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把 x

30、 的 值代入计算即可求出值 【解答】解：原式， x2 的非负整数解为：x0，1，2，且（x1） （x+1） （x2）0， 当 x0 时，原式2 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关 键 19如图，已知反比例函数 y的图象与一次函数 yx+b 的图象交于点 A（1，4） ，点 B（4，n） （1）求 n 和 b 的值； （2）求OAB 的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围 【分析】 （1）把点 A 坐标分别代入反比例函数 y，一次函数 yx+b，求出 k、b 的值，再把点 B 的坐 标代入反比例函数解析式

31、求出 n 的值，即可得出答案； （2）求出直线 AB 与 y 轴的交点 C 的坐标，分别求出ACO 和BOC 的面积，然后相加即可； （3）根据 A、B 的坐标结合图象即可得出答案 【解答】解： （1）把 A 点（1，4）分别代入反比例函数 y，一次函数 yx+b， 得 k14，1+b4， 解得 k4，b3， 点 B（4，n）也在反比例函数 y的图象上， n1； （2）如图，设直线 yx+3 与 y 轴的交点为 C， 当 x0 时，y3， C（0，3） ， SAOBSAOC+SBOC31+347.5； （3）B（4，1） ，A（1，4） ， 根据图象可知：当 x1 或4x0 时，一次函数值大于

32、反比例函数值 【点评】 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题， 用待定系数法求函数的解析式， 三角形的面积， 一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想 202020 年是决胜全面建成小康社会冲锋之年，为进一步加快脱贫攻坚步伐，某市出台了民生兜底、医保 脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了 2 到 5 种帮扶 措施，现把享受了 2 种、3 种、4 种和 5 种帮扶措施的贫困户分别称为 A、B、C、D 类贫困户为检查 帮扶措施是否落实， 随机抽取了若干贫困户进行调查， 现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图

33、： 请根据图中信息回答下面的问题： （1）求本次抽样调查贫困户总户数，并补全条形统计图； （2）若该地共有 15000 户贫困户，请估计至少得到 3 项帮扶措施的大约有多少户； （3）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从 D 类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行 重点帮扶，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丙的概率 【分析】 （1）由 A 类别户数及其对应百分比可得答案；总数量乘以 C 对应百分比可得 C 类的人数，进而 可补全条形统计图； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解： （1）本次抽

34、样调查的总户数为 26052%500（户） ， 抽查 C 类贫困户为 50024%120（户） ， 补全图形如图： （2）估计至少得到 3 项帮扶措施的大约有 15000（152%）7200（户） ； （3）由题意可画如下树状图： 由树状图知共有 12 种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有 2 种结果， 所以恰好选中甲和丙的概率为 【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解 此题的关键 21如图，ADBC，AC 平分BAD，BD 平分ABC，AC，BD 相交于点 O，CEBD，DEAC （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AC6，B

35、D10，求 OE 的长 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到BACDAC，根据平行线的性质得到ACBDAC，求得 BACACB，得到 ABBC，同理，ABAD，于是得到结论； （2）根据已知条件得到四边形 OCED 是平行四边形，根据菱形的性质得到 ACBD，OCAC，OD BD， 求得COD90， 根据勾股定理得到 CD， 推出四边形 OCED 是矩形，于是得到 OECD 【解答】 （1）证明：AC 平分BAD， BACDAC， ADBC， ACBDAC， BACACB， ABBC， 同理，ABAD， ADBC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形； （2

36、）解：CEBD，DEAC， 四边形 OCED 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OCAC，ODBD， COD90， AC6，BD10， OC3，OD5， CD， 四边形 OCED 是平行四边形，COD90， 四边形 OCED 是矩形， OECD 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确 的识别图形是解题的关键 22某网店专售一品牌牙膏，其成本为 22 元/支，销售中发现，该商品每天的销售量 y（支）与销售单价 x （元/支）之间存在一次函数关系，当售价为 30 元时销售量为 100 支，售价为 35 元时销售量为 50 支

37、（1）请求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3） 该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 100 元捐给希望工程， 为了保证捐款后每天剩余的利润不 低于 350 元，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围 【分析】 （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0） ，由待定系数法求解即可； （2）设每天销售利润为 w 元，由题意得 w 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质 可得答案； （3）根据题意得出关于 x 的一元二次方程，求得方程的解，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解

38、： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0） ， 当售价为 30 元时销售量为 100 支，售价为 35 元时销售量为 50 支， ， 解得：， y10 x+400； （2）设每天销售利润为 w 元，由题意得： w（x22） （10 x+400） 10（x31）2+810， 当 x31 时，w 有最大值，最大值为 810 元 当该品牌牙膏销售单价定为 31 元时，每天销售利润最大是 810 元 （3）由（2）得：w（x22） （10 x+400） ， 从每天获得的利润中抽出 100 元捐给希望工程且每天剩余的利润等于 350 元时，有： （x22） （10 x+400）10

39、0350， 整理得：x262x+9250， 解得：x125，x237 利润为关于 x 的二次函数，二次项系数为负， 当 25x37 时，捐款后每天剩余的利润不低于 350 元， 销售单价范围为：25x37 【点评】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用， 明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 23如图，O 为等边ABC 的外接圆，半径为 4，点 D 在劣弧 AB 上运动（不与点 A、B 重合） ，连接 DA、 DB、DC （1）求证：DC 是ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 长 x 的函数吗？如果是，请求出函数解析式；如果不是，请说明 理由； （3）

40、 若点 M、 N 分别在线段 CA， CB 上运动 （不含端点） ， 经过探究发现，点 D 运动到每一个确定位置， DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会发生变化，求所有 t 值中的最大值 【分析】 （1）由等边三角形的性质可得ABCBACACB60，圆周角定理可得ADCBDC 60，可得结论； （2）将ADC 绕点逆时针旋转 60，得到BHC，可证DCH 是等边三角形，可得四边形 ADBC 的面 积 SSADC+SBDCSCDHCD2，即可求解； （3） 作点 D 关于直线 AC 的对称点 E， 作点 D 关于直线 BC 的对称点 F， 由轴对称的性质可得 EMDM， D

41、NNF，可得DMN 的周长DM+DN+MNFN+EM+MN，则当点 E，点 M，点 N，点 F 四点共线时， DMN 的周长有最小值，即最小值为 EFt，由轴对称的性质可求 CDCECF，ECF120，由 等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求 EF2PEECCDt，则当 CD 为直径时，t 有最大 值为 8 【解答】证明： （1）ABC 是等边三角形， ABCBACACB60， ADCABC60，BDCBAC60， ADCBDC， DC 是ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数， 理由如下： 如图 1，将ADC 绕点 C 逆时针旋转 60，得到

42、BHC， CDCH，DACHBC， 四边形 ACBD 是圆内接四边形， DAC+DBC180， DBC+HBC180， 点 D，点 B，点 H 三点共线， DCCH，CDH60， DCH 是等边三角形， 四边形 ADBC 的面积 SSADC+SBDCSCDHCD2， Sx2（4x8） ； （3）如图 2，作点 D 关于直线 AC 的对称点 E，作点 D 关于直线 BC 的对称点 F， 点 D，点 E 关于直线 AC 对称， EMDM， 同理 DNNF， DMN 的周长DM+DN+MNFN+EM+MN， 当点 E，点 M，点 N，点 F 四点共线时，DMN 的周长有最小值， 则连接 EF，交 A

43、C 于 M，交 BC 于 N，连接 CE，CF，DE，DF，作 CPEF 于 P， DMN 的周长最小值为 EFt， 点 D，点 E 关于直线 AC 对称， CECD，ACEACD， 点 D，点 F 关于直线 BC 对称， CFCD，DCBFCB， CDCECF，ECFACE+ACD+DCB+FCB2ACB120， CPEF，CECF，ECF120， EPPF，CEP30， PCEC，PEPCEC， EF2PEECCDt， 当 CD 有最大值时，EF 有最大值，即 t 有最大值， CD 为O 的弦， CD 为直径时，CD 有最大值 8， t 的最大值为 8 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的

44、有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等 知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 24对于给定的两个函数 yk1x+b1（k10）和 yk2x+b2（k20） ，在这里我们把 y（k1x+b1） （k2x+b2） （k10，k20）叫做这两个函数的“友好”函数 （1）写出函数 yx+1 和 yx+3 的“友好”函数，然后写出这个“友好”函数的图象与 x 轴交点的坐 标； （2）已知函数 yx+2n 和 yx，当它们的“友好”函数自变量的取值范围是1x3，且当 n3 时这个“友好”函数的最大值是 9，求 n 的值以及这个“友好”函数的最小值； （3） 已知函数 yx+2n 和

45、yx， 当它们的 “友好” 函数的自变量的取值范围是时， 写出这个“友好”函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标 y 与 n 之间的函数关系式 【分析】 （1）由题意得：y（x+1） （x+3） ，令 y（x+1） （x+3）0，解得 x1 或 3，即可求解； （2） 因为 n3， 而1x3， 故当 x1 时， yx2+2nx 取得最小值， 即 y最小x2+2nx12n， 进而求解； （3）分n+n、nn、nnn+三种情况，根据对称轴的位置确定在 内函数的最值，即可求解 【解答】解： （1）由题意得：y（x+1） （x+3） ， 令 y（x+1） （x+3）0，解得 x1 或 3， 故函数与 x

46、 轴交点的坐标为（1，0） ， （3，0） ； （2）由题意得：yx（x+2n）x2+2nx， 函数的对称轴为 xn， n3，而1x3， 故函数对称轴在 x3 的右侧（含 x3） ， 当 n3 时这个“友好”函数的最大值是 9， n3， 当 x1 时，yx2+2nx 取得最小值， 即 y最小x2+2nx12n， 当 n3 时，y最小12n167， 故 n3 时，这个“友好”函数的最小值为7； （3）由（2）知，yx2+2nx，其对称轴为 xn， 当n+n 时，即 n3， 此时当 xn+时，yx2+2nx 取得最大值， yx2+2nx（n+）2+2n（n+）n2+n； 当nn 时，即 n1， 同

47、理可得，当 xn时，yx2+2nx 取得最大值， 则 yx2+2nxn2n； 当nnn+时，即1n3， xn 时，y 取得最大值， 则 yx2+2nx（n）2+2nnn2， 综上，y 与 n 之间的函数关系式为 【点评】本题主要考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征等，理解新定义和 分类求解是本题解题的关键 25如图，抛物线 yax2+x+c 经过点 C（3，0） ，顶点为 B，对称轴 x1 与 x 轴相交于点 A，D 为线段 BC 的中点 （1）求抛物线的解析式； （2）P 为线段 BC 上任意一点，M 为 x 轴上一动点，连接 MP，以点 M 为中心，将MPC 逆时

48、针旋转 90，记点 P 的对应点为点 E，点 C 的对应点为 F，当直线 EF 与抛物线 yax2+x+c 只有一个交点时， 求点 M 的坐标； （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若 PC（如图） 求证：EAED； 当点 E 在（1）所求的抛物线上时，求线段 CM 的长 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的解析式求出点 B 及已知点 C 的坐标，证明ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性 质推出直线 EF 与 x 轴的夹角为 45，因此设直线 EF 的解析式为 yx+b，设点 M 的坐标为（m，0） ， 推出点 F（m，3m） ，直线 EF 与抛物线只有一个交点，联立两个解析式，得到关于 x 的一元二次方程， 根据根的判别式为 0 得到关于 m 的方程，解方程得点 M 的坐标注意有两种情况，均需讨论 （3）过点 P 作 P