2022届高考数学必须牢记的136个关键注意点

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1、20222022 届高考数学必须牢记的届高考数学必须牢记的 136136 个关键注意点个关键注意点 1. 因为命题p与p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易 正面判断时，可先判断其否定的真假 2. 题目中若有条件BA，则应分B和B两种情况进行讨论 3. 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应 该用并集符号“”连接 4. 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等 5. 导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养 6. 求分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值 函数具有奇偶性包括两个必备条件： 7

2、. 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域 8. 判断f(x)与f(x)的关系在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x) f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立 常见特殊结构的奇偶函数：f(x)loga(x 21x)(a0 且 a1)为奇函数，f(x)a xax(a 0 且a1)为偶函数 9. 已知函数奇偶性可以解决的 3 个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出 (3)求解析式中的参数： 利用待定系数法求解， 根据f(x)

3、f(x)0 得到关于参数的恒等式， 由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值 10. 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T， 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要 注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ 且k0)也是函数的周期 11. 周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所 求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 12. 奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区

4、间D上的奇函数， 则对任意的xD， 都有f(x)f(x)0.特别地， 若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若 0D，则f(0)0. 13. 抽象函数的周期性 (1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a. (2)如果f(xa) 1 f（x）(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a. (3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a. 14. 抽象函数的对称性 已知函数f(x)是定义在 R 上的函数 (1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xab 2 对称

5、，特别地，若f(a x)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称 (2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点 (a，0)对称 15. 幂函数的图象与性质特征的关系 (1)幂函数的形式是yx (R)， 其中只有一个参数 ， 因此只需一个条件即可确定其解析 式 (2)判断幂函数yx (R)的奇偶性时，当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断 (3)若幂函数yx 在(0，)上单调递增，则 0，若在(0，)上单调递减，则0， 故exf(x)f(x)f(x)ex， 其符号由 f(x)f(x)的符号确定， f（x） e x f（x）f（x）

6、 e x，其符号由f(x)f(x)的符号确定含有f(x)f(x)类的问题可以 考虑构造上述两个函数 42. 常见构造原函数的类型如下： (1)对于不等式xf(x)f(x)0，构造函数g(x)xf(x) (2)对于不等式xf(x)f(x)0，构造函数g(x)f（x） x (x0) (3)对于不等式xf(x)nf(x)0，构造函数g(x)x nf(x) (4)对于不等式xf(x)nf(x)0，构造函数g(x)f（x） x n(x0) 43. 含f(x)tan xf(x)或f(x)f(x)tan x型 该类型构造原函数如下： (1)对于f(x)tan xf(x)0(0(0(0(g(x)max恒成立从

7、而f(x)g(x)，但此处 f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值” 对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导 数研究单调性、最值，从而得出参数范围 45. “恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化 46. 构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为 求函数的最值问题 47. 已知函数(方程)零点的个数求参数范围 (1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理 (2)若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析 (3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函

8、数图象交点的个数 注意 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转 180可得角180 的终边，类推可知k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角 48. 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度 49. 三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下 为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负 50. 利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正 用、逆用、变形同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题， 可利用已知条件， 结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过

9、解方程组达到解决问题的目的 51. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 52.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉， 使其转化 为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域 53. 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求 基本 思路 分析结构特点，选择恰当公式； 利用公式化成单角三角函数； 整理得最简形式 化简 要求 化简过程是恒等变换； 结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值 的要求出值 54. 要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，若0，n0，mn)， 也可设为Ax 2By21(A0， B0，且AB) 96. 对

10、于椭圆方程， 在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为 0， 故一定为一元二次方程 97. 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平 方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系 98. 在应用双曲线定义时， 要注意定义中的条件， 搞清所求轨迹是双曲线， 还是双曲线的一支， 若是双曲线的一支，则需确定是哪一支 99. 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称 100. 解决概念型多项选择题的关键如下： (1)明概念，巧借

11、选项所给信息，正确理解概念，明确辨析点； (2)辨问题，结合概念的内含和外延，对题中所述概念再进一步深层次辨析； (3)定选项，利用概念对选项作选择，也可借助反例法、特值法求解 101. 解决运算求解型问题多项选择题就是根据题中已知条件，通过运算求得结果，然后进行 判断的问题，此类问题实质就是一个定量的分析问题其解题关键如下： (1)定问题，即根据选项明确所求解的问题，建立相应的求解目标； (2)析条件，即分析题中与所求目标相关的条件，确定计算所需的基本量，如圆锥曲线方程中 的参数、数列中的通项公式和项数、三角函数中的角等； (3)求数值，即通过目标建立相关问题的模型，然后利用相应的数学知识求

12、解相关数值； (4)定选项，根据所求解的结果判断选项的正误，从而得到正确的结果 102. 逻辑推理型多项选择题就是根据已知条件，利用相关的定理、性质等逐项进行推理论证 的多项选择解决此类问题的关键如下： (1)判断类型，即判断选项涉及的数学问题类型，确定数学模块归属； (2)确定依据，即根据选项确定解决此类问题的模块理论依据，如不等式的性质、空间线面关 系的判定定理、函数的性质等； (3)逻辑推理，即利用相关的定理、推理、性质等对选项进行逐项判断，然后选出正确选项 103. 数据分析就是根据统计图表， 提取相关数据， 并根据数据的特征以及变化进行分析判断， 从而得到相关结论解题关键如下： (1

13、)提取数据，即根据选项研究的问题，从统计图表中读取相应的数据； (2)分析数据，即分析提取数据的特征，如变化率、变化趋势、最值等，根据选项研究的问题 进行简单分析； (3)确定选项，即根据数据分析的结果逐项判断选项的正误，从而得到正确结果 104. 综合型多选题就是同一道选择题中，定量、定性问题都出现，此类问题既需要利用相关 理论进行逻辑推理，又必须根据条件进行定量分析，所以思考量比较大解决此类问题的基本 思路是先分类，再逐项进行检验其解题步骤如下： (1)合理分类：即根据选项研究的问题类型进行合理分类，将其分为定性型问题(如空间中的线 面关系、函数的性质的判断等)与定量型问题(如求角、距离、

14、面积、体积等)两大类 (2)逐类判断：即对归类后的问题进行逐类分析，对于定性型问题，可利用相关的定理、性质 等进行逻辑推理，进而判断正误；对于定量型问题，如几何体的体积、平面图形的面积、圆锥 曲线的离心率等的求解，可根据已知条件代入求值，进而判断正误 (3)确定选项：即根据判断结果得到正确选项 105. 利用抛物线的定义可解决的常见问题 轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 距离问题： 涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时， 注意在解题中利用两 者之间的相互转化. 提醒 一定要验证定点是否在定直线上. 106. 抛物线定义的应用规律 10

15、7. 建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域 108. 涉及弦的中点、斜率时，可采用“点差法”求解 109. 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的 距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件， 这样就 能避免烦琐的代数运算 110. 若抛物线上的点P到直线l的距离最小，则过点P与l平行的直线与抛物线相切，且最 小距离为两平行直线间的距离， 所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线， 然后求两平行直 线间的距离 111. 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目

16、标函 数，再用求函数最值的方法求解解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标 112. 对于证明问题，一般是根据已知条件，运用所涉及的知识通过运算化简，利用定义、定 理、公理等，直接推导出所证明的结论即可，证明不等式常用不等式的性质，或基本不等式求 得最值 113. 圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法 和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为 另一问题 本题证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HNy轴通过直 线与抛物线联立得到根与系数的关系的形式，利用根与系数的关系的结论证得HNy轴 114.

17、求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，利用平面 几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题常用的结论有： (1)两点间线段最短； (2)点到直线的垂线段最短 115. 指构建所求式子的不等关系，通过不等式变形或不等式的求解确定范围的方法解决问 题的关键如下： (1)构建所求式子的不等关系，可根据已知条件中的不等式(组)建立不等关系或根据题意建立 不等关系一般通过以下几何条件建立不等关系：三角形两边之和大于第三边、直角三角形斜 边大于直角边、点的横(纵)坐标大小比较、直线的斜率、圆锥曲线中线段长的范围等 (2)求范围，利用不等式的性质或解不等式求解所要求的式子

18、的范围 圆锥曲线的最值与范围问题中， 若目标表达式与已知条件具有比较明确的关系， 则可以考虑建 立目标函数，通过研究函数的单调性、图象或基本不等式等来解决，116. 破解最值或范围类 问题的关键如下： (1)定变量，根据题目定变量以及变量的取值范围 (2)定目标函数，根据题目信息确定目标函数(一般以所求式子为函数解析式) (3)求最值或范围，根据目标函数解析式，借助配方、基本不等式、三角函数的有界性、函数 的单调性(可借助导数研究)等确定目标函数的最值或取值范围 证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知)，可把要证明的结论当条件，逆推上去，若得到使 已知条件成立的结论，则证明了直线或曲线过定点

19、117. 分类加法计数原理的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类 (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方 法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理 118. 利用分步乘法计数原理解题分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二 是步与步确保连续，逐步完成 (1)解决排列组合问题经常用到分类讨论思想，其分类原则经常为：一是按元素的性质分类， 二是按事件发生的过程分类，本例是按元素的性质分类 (2)由于排列、组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检 查所设计的解决问

20、题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看结 果是否相同 119. 概率与频率的关系 120. 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非 负值 (2)若X为随机变量， 则 2X1 仍然为随机变量， 求其分布列时可先求出相应的随机变量的值， 再根据对应的概率写出分布列 121. 独立重复试验的特点 每次试验中，事件发生的概率是相同的； 每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例 122. 判断随机变量X服从二项分布的条件(XB(n，p) X的取值为 0，1，2，n； P(Xk)C

21、 k np k(1p)nk(k0，1，2，n，p 为试验成功的概率) 123. 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为 独立重复试验，进而判定是否服从二项分布 124. 均值与方差的实际应用 (1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的 取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用D（X）来描述X的 分散程度 125. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值 的程度， 它们从整体和全局上刻画了随机变量， 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论

22、依据， 一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 126. 抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签 法 127. 分层抽样问题类型及解题思路 求某层应抽个体数量，根据该层所占总体的比例计算 已知某层个体数量，求总体容量，根据分层抽样即按比例抽样，列比例式进行计算 确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况 128. 通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系 129. 折线图可

23、以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在 相等时间间隔下数据的趋势 130. 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似它优于频率 分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失， 第二点是茎叶图便于 记录和表示其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐 131. 准确理解频率分布直方图的数据特点： 频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果， 不要误以为纵轴上的数据是 各组的频率，不要和条形图混淆 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估 计总体分布 132. 众数、中位数、平

24、均数、方差的意义及常用结论 (1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着 重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小 (2)方差的简化计算公式：s 21 n(x 2 1x 2 2x 2 n)n x 2或写成 s 21 n(x 2 1x 2 2x 2 n)x 2， 即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方 133. 频率分布直方图是表达和分析数据的重要工具，破解此类频率分布直方图的关键：一是 会求频率，即会观图、读数据，利用频率分布直方图中每一个小矩形的高乘以组距求出这一组 的频率；二是会求频数，利用频率乘以样本容量，

25、即可求出样本数据落在对应区间上的频数 134. 统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏” 破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是活用性质，即利 用频率分布直方图中各小矩形面积和为 1，得含参数的方程，从而达到求参数的目的；二是不 混淆，即利用频率分布直方图求中位数与平均数时，注意区分其本质的不同，中位数左边和右 边的直方图的面积相等， 平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和 135. 破解频数分布表、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望相交汇题的易错点有三 处：一是忽视关键字眼，导致所得的数据出错，从而补全 22 列联表时出错，

26、如本题，若把 “不少于 60 元”误以为“少于 60 元”，则会导致求解出错；二是计算K 2的观测值时不会利 用分子、分母先约分再计算的技巧，导致计算结果出错，从而推断出错；三是二项分布与超几 何分布搞混，或把非二项分布误以为二项分布，导致求期望值出错，如本题，误以为是二项分 布，导致误得E(X)31 31. 136. 正态分布下的概率计算常见的两类问题 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x对称，及曲线与x轴之间的面积为 1. (2)利用 3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联 系， 确定它们属于(， (2，2， (3，3中的哪一个