2022届高考数学一轮复习解题方法汇总（149个必考方法总结）

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1、 高考数学人教高考数学人教 A A 版 （版 （20192019） 一轮复习一轮复习 解题方法汇总解题方法汇总 1.1.判断两集合关系的判断两集合关系的 3 3 种常用方法种常用方法 2.2.根据两集合的关系求参数的方法根据两集合的关系求参数的方法 3.3.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到 (2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求 解 4.4.全称命题与特称命题真假的判断方法全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一

2、判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 5.5.充分条件、必要条件的两种判断方法充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题 (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的 范围的推断问题 6.6.比较两个数比较两个数( (式式) )大小的方法大小的方法 注意 (1)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊 值验证的方法 (2)在求

3、式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致 范围扩大 7.7.利用待定系数法求代数式的取值范围利用待定系数法求代数式的取值范围的方法的方法 已知M1f1(a，b)N1，M2f2(a，b)N2，求g(a，b)的取值范围 (1)设g(a，b)pf1(a，b)qf2(a，b)； (2)根据恒等变形求得待定系数p，q； (3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围 8.8.解一元二次不等式的方法和步骤解一元二次不等式的方法和步骤 9.9.解含参数的一元二次不等式的步骤解含参数的一元二次不等式的步骤 二次项若含有参数应讨论参数是等于 0，小于 0，还是大于

4、 0，然后将不等式转化为一次不 等式或二次项系数为正的一元二次不等式； 判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式与 0 的关系； 确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨 论两实根的大小关系，从而确定解集 10.10.消元法求最值的方法消元法求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有 时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解但应注意保留元的范围 11.11.求函数定义域的两种方法求函数定义域的两种方法 方法 解读 适合题型 直接法 构造使解析式有意义的不等式 (组)求解 已知

5、函数的具体表达式， 求f(x) 的定义域 转移法 若yf(x)的定义域为(a，b)， 则解不等式ag(x)0，且 a1)的函数求值域时，要借助换元法：令uf(x)，先求出uf(x) 的值域，再利用ya u的单调性求出 ya f(x)的值域 (2)形如ya f(x)(a0， 且 a1)的函数单调性的判断， 首先确定定义域D， 再分两种情况讨论： 当a1 时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数ya f(x)在区间(m，n) 上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同； 当 0alogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1 与

6、 0ab的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式 24.24.函数图象的画法函数图象的画法 25.25.函数图象的辨识函数图象的辨识方法方法 (1)抓住函数的性质，定性分析 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置； 从函数的单调性，判断图象的变化趋势； 从周期性，判断图象的循环往复； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性 (2)抓住函数的特征，定量计算 利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题 26.26.判断函数零点所在区间的方法判断函数零点所在区间的方法 方法 解读 适合题型 定理法 利用函数零点的存在性定理进 行判断 能够容易判断区间端点值所对 应函数值的

7、正负 图象法 画出函数图象，通过观察图象 与x轴在给定区间上是否有交 点来判断 容易画出函数的图象 27.27.判断函数零点个数的判断函数零点个数的 3 3 种方法种方法 (1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0(或f(x)0)，yAcos(x)(0)的最小正周期为2 ，函数y Atan(x)(0)的最小正周期为 求解 56.56.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法 (1)思路：函数yAsin(x)图象的对称轴和对称中心可结合

8、ysin x图象的对称轴和 对称中心求解 (2)方法： 利用整体代换的方法求解， 令xk 2 ，kZ Z， 解得x（2k1）2 2 ， kZ Z，即对称轴方程；令xk，kZ Z，解得xk ，kZ Z，即对称中心的横坐 标(纵坐标为 0)对于yAcos(x)，yAtan(x)，可以利用类似方法求解(注意 yAtan(x)的图象无对称轴) 57.57.解决三角函数图象与性质综合问题的方法解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将yf(x)化为yasin xbcos x的形式，然后用辅助角公式化为yAsin(x)的形 式，再借助yAsin(x)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题 58.

9、58.三角函数中三角函数中值的求法值的求法 利用三角函数的周期T求解 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T2 与所给区间的关系，从而建立不等关系 利用三角函数的单调性求解 根据正弦函数的单调递增区间， 确定函数g(x)的单调递增区间， 根据函数g(x)2sin x(0) 在区间 6 ， 4 上单调递增，建立不等式，即可求的取值范围 利用三角函数的对称性求解 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T 2，相邻的对称轴和对称 中心之间的“水平间隔”为T 4，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进 而可以研究“”的取值值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图

10、象上的最高点(极大 值)或最低点(极小值)，函数f(x)Asin(x)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这 就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而 可以确定“”的取值 利用三角函数的最值求解 利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于的不等式，进而求出的值或取值 范围 59.59.函数函数y yA Asin(sin(xx)()(A A00，0)0)的图象的两种作法的图象的两种作法 五点法 设zx，由z取 0， 2 ，3 2，2 来求出相应的 x， 通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象 图象变换法 由函数ysin x的图象通过变换得到y

11、Asin(x)的图象， 有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 60.60.确定确定y yA Asin(sin(xx) )b b( (A A0 0，0)0)的步骤和方法的步骤和方法 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m， 则AMm 2 ，bMm 2 . (2)求，确定函数的最小正周期T，则可得2 T . (3)求，常用的方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求 解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)； 特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下： “最大值点”(即图象的“峰点”)时x 2 2k(kZ Z)

12、；“最小值点”(即图象的 “谷点”)时x3 2 2k(kZ Z) 61.61.求解求解三角函数图象与性质的综合问题三角函数图象与性质的综合问题的方法的方法 先将yf(x)化为yAsin(x)B的形式，再借助yAsin(x)的图象和性质(如 定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题 (1)正、余弦定理的选用 利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已 知两边和一边的对角，求其他边或角； 利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已 知三边求角由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的 (2)

13、三角形解的个数的判断 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有 不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 62.62.判定三角形形状的两种常用途径判定三角形形状的两种常用途径 63.63.求三角形面积的方法求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该 角的两边之积，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总 之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键 64.64.已知三角形面积求边、角的方法已知三角形面积求边、角的

14、方法 (1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 65.65.巧建系妙解题巧建系妙解题，常见的建系方法如下常见的建系方法如下 (1)利用图形中现成的垂直关系 若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直 线建立坐标系 (2)利用图形中的对称关系 图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰 梯形等)，可利用自身对称性建系建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标 轴上，或在同一象限 66.66.求向量的模或其范围的方

15、法求向量的模或其范围的方法 (1)定义法：|a a|a a 2 a aa a，|a ab b| （a ab b） 2 a a 22a ab bb b2. (2)坐标法：设a a(x，y)，则|a a|x 2y2. (3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相 关知识求解 67.67.处理处理平面向量与三角函数的综合问题平面向量与三角函数的综合问题方法方法 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得 到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路

16、是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 68.68.由递推关系求数列的通项公式的常用方法由递推关系求数列的通项公式的常用方法 69.69.解决数列单调性问题的三种方法解决数列单调性问题的三种方法 用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列； 用作商比较法，根据a n1 an (an0 或an0)与 1 的大小关系进行判断； 结合相应函数的图象直观判断 70.70.求数列最大项或最小项的方法求数列最大项或最小项的方法 可以利用不等式组 an1an， anan1 (n2)找到数列的最大项； 利用不等式组 an1an， anan1 (n2)找到

17、数列的最小项 71.71.解决数列周期性问题的方法解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值 推断数列的通项公式 解答此类问题的具体步骤： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； (6)对于符号交替出现的情况，可用(1) k或(1)k1，kN N*处理 72.72.等差数列的判定与证明方法等差数列的判定与证明方法 73.73.求等差数列求等差数列 a an n 的前的前n n项和项和S

18、Sn n的最值的方法的最值的方法 74.74.等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明 75.75.数列求数列求和的五种常用方法和的五种常用方法 (1)分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成， 则求和时可用分组 求和法，分别求和后再相加减 (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么这个数列的 前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的 (4)倒序相加法 如果一个数列an的前n项中首末两端等“

19、距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求 这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的 (5)并项法 一个数列的前n项和中，可两两结合求和，称为并项法求和，形如：(1) nf(n)类型，可考虑 利用并项法求和 76.76.用错位相减法求和的用错位相减法求和的方法及步骤方法及步骤 (1)掌握解题“3 步骤” (2)注意解题“3 关键” 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn qSn”的表达式 在应用错位相减法求和时， 若等比数列的公比为参数， 应分公比q1和q

20、1两种情况求解 77.77.裂项求和的基本步骤裂项求和的基本步骤 78.78.处理处理数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题的方法的方法 (1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的 单调性比较大小 (2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值 (3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可以通过 构造函数进行证明 79.79.解决数列问题的七大常用解决数列问题的七大常用方法方法 方法一 巧用性质减少运算 等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从 整

21、体上使用公式 方法二 巧用升降角标法实现转化 在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通 过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题 方法三 巧用不完全归纳找规律 解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律 方法四 巧用辅助数列求通项 已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差数列、 等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式 (1)当出现anan1m(n2)时，构造等差数列； (2)当出现anxan1y(n2)时，构造等比

22、数列 方法五 巧用裂项求和 裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项，裂项的基本 原则是anf(n)f(n1) 方法六 巧用分组妙求和 分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现， 其基本特点是把求和目标分成 若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和 方法七 巧用特值验算保准确 使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误， 应该在求出结 果后使用a1S1进行检验，如果出现a1S1，则说明运算结果一定错误，这时可以检查解题过 程找出错误、矫正运算结果 80.80.空间几何体概念辨析问题的常用方法空间几何体概念辨析问题

23、的常用方法 81.81.三类几何体表面积的求法三类几何体表面积的求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形， 利用求平面图形 面积的方法求多面体的表面积. 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手， 将其展开后求 表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开 图中的边长关系. 求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出 这些基本的柱体、 锥体、 台体的表面积， 再通过求和或作差， 求出所给几何体的表面积. 82.82.处理处理不规则几何体不规则几何体体积问题的体积问题的步骤步骤 83.83.求求几何体几何体体积的常用方

24、法体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的 几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体 积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任 一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 84.84.共面、共线、共点问题的证明方法共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明点或线共面： 首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 (2)证明点共线： 先由两点确

25、定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定 的直线上 (3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 85.85.空间两直线位置关系的判断方法空间两直线位置关系的判断方法 86.86.直线、平面平行的判定方法直线、平面平行的判定方法 (1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件 (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 (3)利用实物进行空间想象，比较判断 87.87.证明直线与平面平行的常用方法证明直线与平面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义 (2)利用线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观

26、判断题中 是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的 对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明 88.88.判定面面平行的方法判定面面平行的方法 89.89.判定线面垂直的四种方法判定线面垂直的四种方法 90.90.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的 问题转化为证明平面角为直角的问题 定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而 把问题转化为证明线线垂直加以解决 91.91.共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用方法方法

27、 三点三点P P，A A，B B共线共线 空间四点空间四点M M，P P，A A，B B共面共面 PA PB MP xMAyMB 对空间任一点O，OP OAtAB 对空间任一点O，OP OMxMAyMB 对空间任一点O， OP xOA(1x)OB 对空间任一点O，OP xOMyOA(1xy)OB 92.92.空间向量数量积的计算方法空间向量数量积的计算方法 定义法：设向量a a，b b的夹角为，则a ab b|a a|b b|cos . 坐标法，设a a(x1，y1，z1)，b b(x2，y2，z2)，则a ab bx1x2y1y2z1z2. 93.93.空间向量数量积的应用空间向量数量积的应

28、用方法方法 求夹角设向量a a，b b所成的角为，则 cos a ab b |a a|b b|，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离)运用公式|a a| 2a aa a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问 题 94.94.求直线与平面所成角的方法求直线与平面所成角的方法 (1)定义法： 作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键； 证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； 求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角 (2)公式法：sin h l(其中 h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜

29、足的距离，为斜线与平面所成的角) (3)向量法：sin |cosAB ，n n|ABn n| |AB |n n|(其中 AB为平面的斜线，n n为平面的法 向量，为斜线AB与平面所成的角) 95.95.利用向量法计算二面角大小的常用方法利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向 量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的 两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 96.96.求空间距离常用的方法求空间距

30、离常用的方法 (1)直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通 过解三角形求出距离 (2)间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解 (3)向量法：空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解 97.97.求点求点P P到平面到平面的距离的三个步骤：的距离的三个步骤： 在平面内取一点A，确定向量PA 的坐标； 确定平面的法向量n n； 代入公式d|PA n n| |n n| 求解 98.98.求解直线方程的求解直线方程的 2 2 种方法种方法 直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程 待定系数法 设所求直线方程的某种形式； 由

31、条件建立所求参数的方程(组)； 解这个方程(组)求出参数； 把参数的值代入所设直线方程 99.99.两直线平行、垂直的判断方法两直线平行、垂直的判断方法 若已知两直线的斜率存在 两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直两直线的斜率之积等于1. 100.100.求过两直线交点的直求过两直线交点的直线方程的方法线方程的方法 求过两直线交点的直线方程， 先解方程组求出两直线的交点坐标， 再结合其他条件写出直线方 程 101.101.两种距离的求解两种距离的求解方法方法 (1)点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式 (2)两平行直线

32、间的距离的求法 利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式) 102.102.四种常见对称问题的求解方法四种常见对称问题的求解方法 103.103.求圆的方程的两种方法求圆的方程的两种方法 (1)直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b， r的方程组，从而求出a，b，r的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径， 则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出

33、关于D，E， F的方程组，进而求出D，E，F的值 104.104.建立函数关系式求最值建立函数关系式求最值的方法的方法 根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方 法求最值 105.105.与圆有关的轨迹问题的四种求法与圆有关的轨迹问题的四种求法 106.106.判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断 (2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方 程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断 如果0，那么直 线与圆相交 107.107.

34、圆的切线方程的求法圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距 离d，然后令dr，进而求出k； (2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二 次方程，然后令判别式0 进而求得k. 108.108.求直线被圆截得的弦长的常用方法求直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦 长|AB|2r 2d2； (2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系 数的关系结合弦长公式求解，其公式为|

35、AB| 1k 2|x 1x2|. 109.109.圆与圆的位置关系的判断方法圆与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由两圆的圆心距d与半径R，r(Rr)的关系来判断dRr外离；dRr 外切；RrdRr相交；dRr内切；dRr内含 (2)代数法：设圆C1：x 2y2D 1xE1yF10，圆C2：x 2y2D 2xE2yF20. 对于方程组 x 2y2D 1xE1yF10， x 2y2D 2xE2yF20，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交 110.110.用定义法求椭圆的标准方程用定义法求椭圆的标

36、准方程的方法的方法 先根据椭圆的定义确定a 2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程其中常用的关系有： b 2a2c2； 椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a； 椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a. 111.111.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 112.112.求椭圆离心率或其取值范围的方法求椭圆离心率或其取值范围的方法 (1)求出a，b或a，c的值，代入e 2c 2 a 2a 2b2 a 21 b a 2 直接求 (2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b 2a2c2转化为关于 a，c的齐 次等式(不等式)，

37、然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a 2转化为关于 e或e 2的方程(不 等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围) 113.113.求解最值、取值范围问题的求解最值、取值范围问题的方法方法 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一 个图形 (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0e0，b0)或y 2 a 2x 2 b 21(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于 0， 即令x 2 a 2y 2 b 20， 得yb ax 或令y 2 a 2x 2 b 20， 得ya bx.反之， 已知渐近线方程为

38、 yb ax， 可设双曲线方程为x 2 a 2y 2 b 2(a0，b0，0) 120.120.求双曲线的离心率或其取值范围的方法求双曲线的离心率或其取值范围的方法 求a，b，c的值，由c 2 a 2a 2b2 a 21b 2 a 2直接求e. 列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b 2c2a2消去 b，然后转化成关于e的 方程(或不等式)求解 注:双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：kb a c 2a2 a c 2 a 21e 21. 121.121.利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的方法利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的方法 注:对于椭圆方程， 在第二步中得到的方程的二

39、次项系数一定不为 0， 故一定为一元二次方程 122.122.求解直线被椭圆截得弦长的方法求解直线被椭圆截得弦长的方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解 (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的 点，则弦长|AB| （x1x2） 2（y 1y2） 2 1k2|x 1x2|1 1 k 2|y1y2|(k0) 123.123.解决圆锥曲线解决圆锥曲线“中点弦中点弦”问题的方法问题的方法 124.124.解决椭圆中与向量有关问题的方法解决椭圆中与向量有关问题的方法 (1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识

40、建立数量关系 (2)利用向量关系转化成相关的等量关系 (3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题 125.125.求抛物线标准方程的方法求抛物线标准方程的方法 先定位：根据焦点或准线的位置； 再定形：即根据条件求p. 126.126.抛物线性质的应用抛物线性质的应用方法方法 利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； 要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 127.127.解决直线与抛物线位置关系问题的方法解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的 关系 (2)有关直线

41、与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可 直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不 求”“整体代入”等解法 128.128.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值 (2)两大解法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 变量法：其解题流程为,变量) 129.129.圆锥曲线中定点问题的常见解法圆锥曲线中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标， 根据题意选择参数

42、， 建立一个直线系或曲线系方程， 而该方程与参数无关， 故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意 完成一件事的方法种数的计算步骤 第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的； 第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪 一种； 第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数； 第四步，根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数 130.130.求解排列应用问题的求解排列应用问题的 6 6 种主要方法种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法

43、优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素 排列的空当中 定序问题除 法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 131.131.组合问题的组合问题的 2 2 种题型及解法种题型及解法 题型 解法 “含有”或“不含有”某些元素的组 合 “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中 去选取 “至少”或“至多”含有几个元素的 组合 解这类题型必须

44、十分重视“至少”与“至多”这两 个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接 法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向 思维，用间接法处理 132.132.求形如求形如( (a ab b) ) n n( (n nN N * *) )的展开式中与特定项相关的量 的展开式中与特定项相关的量( (常数项、参数值、特定项等常数项、参数值、特定项等) )的步骤的步骤 133.133.求形如求形如( (a ab bc c) ) n n展开式中特定项的步骤 展开式中特定项的步骤 134.134.求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，求系数

45、的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大” “二项式系数 最大”以及“最大项”三者中的哪一个； 第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(ab) n中 n的奇偶及二项式系数的性质求解若 是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数的是离散型变量，设展开式各项的系 数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中 项的系数的最大值只需解不等式组 AkAk1， AkAk1 即得结果 135.135.求复杂互斥事件的概率的两种方法求复杂互斥事件的概率的两种方法 (1)直接法 (2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)

46、 136.136.古典概型中基本事件的探求方法古典概型中基本事件的探求方法 137.137.利用公式法求解古典概型问题的步骤利用公式法求解古典概型问题的步骤 138.138.解决古典概型中交汇问题的方法解决古典概型中交汇问题的方法 解决与古典概型交汇的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随 机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算 139.139.求超几何分布的分布列的步骤求超几何分布的分布列的步骤 140.140.离散型随机变量分布列的求解步骤离散型随机变量分布列的求解步骤 141.141.条件概率的两种求解方法条件概率的两种求解方法 142.142.求均

47、值与方差的方法求均值与方差的方法方法方法 方法 方法 适用题型 巧用特殊分布列 利用相应公式直接求解 两点分布、二项分布 巧借性质 利用E(aXb)aE(X)b D(aXb)a 2D(X) 两随机变量有明确的线性关系 利用公式 D(X)E(X 2)E(X)2 计算复杂的方差 143.143.与二项分布有关的期望、方差的求法与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果B(n，p)， 则用公式E()np，D()np(1p)求解，可大大减少计算量 (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这 时， 可以综合

48、应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)， 同样还可求出D(a b) 144.144.服从服从N N( (， 2 2) )的随机变量 的随机变量X X在某个区间内取值的概率的求法在某个区间内取值的概率的求法 (1)利用P(X)，P(2X2)，P(30 时，正相关；当r0 时，正相关；b0 时，负相关 146.146.求回归直线方程的步骤求回归直线方程的步骤 147.147.独立性检验的一般步骤独立性检验的一般步骤 根据样本数据制成 22 列联表； 根据公式K 2 n（adbc） 2 （ab）（cd）（ac）（bd）计算 K 2的观测值 k； 查表比较K 2与临界值的大小关系，作出统计判断 148.148.解独立性检验