专题08相等关系和不等关系-五年(2017-2021)高考数学真题分项详解(新高考地区专用)(解析版)
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1、 专题专题 08 相等关系和不等关系相等关系和不等关系 【2021 年】年】 一、【2021浙江高考】若实数 x,y 满足约束条件 10 0 2310 x xy xy ,则 1 2 zxy的最小值是( ) A. 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 10 【答案】B 【解析】 【分析】画出满足条件的可行域,目标函数化为22yxz,求出过可行域点,且斜率为2的直线在y轴 上截距的最大值即可. 【详解】画出满足约束条件 10 0 2310 x xy xy 的可行域, 如下图所示: 目标函数 1 2 zxy化为22yxz, 由 1 2310 x xy ,解得 1 1 x y ,设( 1,1)A
2、, 当直线22yxz过A点时, 1 2 zxy取得最小值为 3 2 . 故选:B 二、【2021江苏高考】若过点(,)可以作曲线 = 的两条切线,则( ) A. B. C. 0 D. 0 0恒成立, 函数的图象如图, 0,即取得坐标在 x 轴上方, 如果(,)在 x轴下方,连线的斜率小于 0,不成立 点(,)在 x 轴或下方时,只有一条切线 如果(,)在曲线上,只有一条切线; (,)在曲线上侧,没有切线; 由图象可知(,)在图象的下方,并且在 x轴上方时,有两条切 线,可知0 0的解集是( ) A. (1,1) B. (,1) (1,+) C. (0,1) D. (,0) (1,+) 【答案】
3、D 【知识点】不等式求解、函数图象的应用 【解析】 【分析】 本题主要考查其它不等式的解法,函数的图象和性质,属于基础题 不等式即2 + 1.由于函数 = 2和直线 = + 1的图象都经过点(0,1)、(1,2),数形结合可得结论 【解答】 解:不等式() 0,即2 + 1 由于函数 = 2和直线 = + 1的图象都经过点(0,1)、(1,2),如图所示: 不等式() 0的解集是(,0) (1,+), 故选:D 二、【2020浙江高考】若实数 x,y 满足约束条件 3 + 1 0 + 3 0 ,则 = + 2的取值范围是( ) A. (,4- B. ,4,+) C. ,5,+) D. (,+)
4、 【答案】B 【知识点】范围与最值问题、二元一次不等式(组)与平面区域 【解析】【解析】 本题考查简单的线性规划,属于基础题 作出不等式组表示的平面区域,作出目标函数对应的直线,结合图形判断目标函数 = + 2的取值范围 【解答】 解:作出实数 x,y满足约束条件 3 + 1 0 + 3 0 对应的平面区域,如图: 将目标函数变形为 = 1 2 + 2, 则 z 表示直线在 y轴上截距的二倍,纵截距越大,z越大, 当目标函数过点(2,1)时,纵截距最小,此时 = 2 + 2 = 4, 故目标函数 = + 2的取值范围是,4,+) 故选:B 【2020浙江高考】已知 a, 且 a, 0,若( )
5、( )( 2 ) 0在 0上恒成立,则( ) A. 0 C. 0 【答案】C 【知识点】不等式的恒成立问题、分类讨论思想 【解析】 【分析】 本题考查不等式恒成立问题,考查分类讨论思想和转化思想,属于中档题 先由 = 0时, 不等式(2 ) 0恒成立, 可得1 + 2 0, 则,至少有一个是小于 0的, 再按 0, 0, 0, 0, 0,讨论可得结论 【解答】 解:由题意知, = 0时,不等式(2 ) 0恒成立,即(2 + ) 0, 0,可得1 + 2 0,则,至少有一个是小于 0 的, (1)若 0, 0, 0, 2 0, ( )( )( 2 ) 0在 0时恒成立,符合题意; (2)若 0,
6、 2 + 0, ( )( )( 2 ) 0在 0上恒成立, 则 = 2 + , 得 = 0, 矛盾,不符合题意 (3)若 0, 0,2 + 0, ( )( )( 2 ) 0在 0时恒成立,则 = 2 + ,则 + = 0,符合题意 综合, 0, 0,且 = 1,则 1 2 + 1 2 + 8 :的最小值为_ 【答案】4 【知识点】由基本不等式求最值或取值范围 【解析】 【分析】 本题考查利用基本不等式求最值,考查运算转化能力,属于较难题 由 1 2 + 1 2 + 8 : = : 2 + 8 : = : 2 + 8 :,利用基本不等式即可求出,注意检验取等号的条件是否成立 【解答】 解: 0,
7、 0,且 = 1, 则 1 2 + 1 2 + 8 : = : 2 + 8 : = : 2 + 8 : 2: 2 8 : = 4, 当且仅当: 2 = 8 :时取等号,解得 + = 4,结合 = 1, a,b为方程2 4 + 1 = 0的两根, = 2 + 3, = 2 3或 = 2 3, = 2 + 3 取等号, 1 2 + 1 2 + 8 :的最小值为 4, 故答案为 4 【2020天津高考】设 0, 0, + 2 = 5,则 (:1)(2:1) 的最小值为_ 【答案】43 【知识点】利用基本不等式求最值 【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题 将 (:1)(
8、2:1) 变形为2 + 6 ,利用基本不等式求最值 【解答】 解: 0, 0, + 2 = 5, 则 (:1)(2:1) = 2:2:1 = 2:6 = 2 + 6 ; 由基本不等式有: 2 + 6 22 6 = 43; 当且仅当2 = 6 时, 即: = 3, + 2 = 5时,即: = 3 = 1或 = 2 = 3 2 时,等号成立, 故 (:1)(2:1) 的最小值为43; 故答案为:43 四、【2020上海高考】下列等式恒成立的是( ) A. 2+ 2 2 B. 2+ 2 2 C. + 2| D. 2+ 2 2 【答案】B 【知识点】基本不等式 【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式
9、的应用,考查了转化思想,属基础题 利用( + )2 0恒成立,可直接得到2+ 2 2成立,通过举反例可排除 ACD 【解答】 解:.显然当 0时,不等式2+ 2 2不成立,故 A 错误; B ( + )2 0, 2+ 2+ 2 0, 2+ 2 2,故 B正确,D 错误; .显然当 0, 0时,不等式 + 2|不成立,故 C 错误; 故选:B 【2020上海高考】在研究某市场交通情况时,道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间, 车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度,现定义交通流量为 = ,x为道路密度,q 为车辆密度 = () = 100 135 ( 1 3) ,0
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