第1章 解直角三角形单元测试(B卷提升篇）（浙教版）（解析版）

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1、 1 / 22 第第 1 章章 解直角三角形单元测试解直角三角形单元测试(B 卷提升篇）卷提升篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2020姑苏区一模）如图，ABC 中，C90o，tanA2，则 cosA 的值为（ ） A B C D 【思路点拨】根据 tanA2，于是设 CB2k，ACk，由勾股定理得到 ABk， 于是得到结论 【答案】解：ABC 中，C90o， tanA2， 设 CB2k，ACk， ABk， cosA， 故选：B 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三

2、角函数的定义是解题的关键 2 （3 分） （2019 秋新泰市期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，下列式子正确的 是（ ） AsinA BcosA CtanA DcosB 【思路点拨】利用同角的余角相等可得ABCD，再根据正弦定义可得答案 【答案】解：ACB90，CDAB， 2 / 22 A+DCA90，DCA+BCD90， ABCD， sinAsinBCD， 故选：A 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，记作 sinA 3 （3 分） （2020浙江自主招生） 为锐角，当无意义时，sin（+1

3、5）+cos（15）的 值为（ ） A B C D 【思路点拨】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母 不等于 0 【答案】解：无意义， 1tan0，即 tan1， 锐角 45 sin（+15）+cos（15）sin60+cos30 故选：A 【点睛】本题考查了分式无意义的条件及特殊角的三角函数值，比较简单 4 （3 分） （2020上城区一模）一把 5m 长的梯子 AB 斜靠在墙上，梯子倾斜角 的正切值为，考虑安全 问题，现要求将梯子的倾斜角改为 30，则梯子下滑的距离 AA的长度是（ ） Am Bm Cm Dm 【思路点拨】设 AC3k，BC4k，根

4、据勾股定理得到 AB5k5，求得 AC3 米，BC 4 米，根据直角三角形的性质健康得到结论 3 / 22 【答案】解：如图，梯子倾斜角 的正切值为， 设 AC3k，BC4k， AB5k5， k1， AC3 米，BC4 米， ABAB5，ABC30， ACAB， AAACAC3米， 故梯子下滑的距离 AA的长度是米， 故选：D 【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解 题的关键，属于中考常考题型 5 （3 分） （2019 秋孟津县期末）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树 A，B 的距离，他 们设计了如图的测量方案：从树 A 沿着

5、垂直于 AB 的方向走到 E，再从 E 沿着垂直于 AE 的方向走到 F， C 为 AE 上一点，其中 4 位同学分别测得四组数据：AC，ACB；EF，DE，AD；CD，ACB， ADB；F，ADB，FB其中能根据所测数据求得 A，B 两树距离的有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 【思路点拨】 根据三角形相似可知， 要求出 AB， 只需求出 EF 即可 所以借助于 （1）（3） ， 根据 AB 4 / 22 即可解答 【答案】解：此题比较综合，要多方面考虑， 第组中，因为知道ACB 和 AC 的长，所以可利用ACB 的正切来求 AB 的长； 第组中可利用ACB 和ADB 的正切求

6、出 AB； 第组中设 ACx，ADCD+x，AB，AB； 因为已知 CD，ACB，ADB，可求出 x，然后得出 AB 第组中，在直角DEF 中已知条件中没有边，无法求得 DF 或 EF 或 DE 的长度，从而无法求得 AB 的 长度； 、 故选：C 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实 际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出 6 （3 分） （2019 秋百色期末）如图，半径为 3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2） ，B 是 y 轴左侧A 优弧 上的一点，则 cosOBC（ ） A B2 C D 【思路点拨】作直径 CD，根据勾

7、股定理求出 OD，根据余弦函数的定义求出 cosCDO，根据圆周角定 理得到OBCCDO，等量代换即可 【答案】解：作直径 CD， 5 / 22 在 RtOCD 中，CD6，OC2， 则 OD4， cosCDO， 由圆周角定理得，OBCCDO， 则 cosOBC， 故选：D 【点睛】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 7 （3 分） （2019富顺县三模）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D 都在这些小正方形上， AB 与 CD 相交于点 O，则 t

8、anAOD 等于（ ） A B2 C1 D 【思路点拨】首先连接 BE，由题意易得 BFCF，ACOBHO，然后由相似三角形的对应边成比例， 易得 HO：CO1：3，即可得 OF：CFOF：BF1：2，在 RtOBF 中，即可求得 tanBOF 的值，继 而求得答案 【答案】解：如图，连接 BE，与 CD 交于点 F， 四边形 BCEH 是正方形， HFCFCH，BFEFBE，CHBE，BECH， BFCF， ACBH， ACOBHO， HO：COBH：AC1：3， CFHF， 6 / 22 HO：HF1：2， HOOF， 在 RtOBF 中，tanBOF2 AODBOF， tanAOD2 故

9、选：B 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关内容 8 （3 分） （2019 秋叙州区期末）在 RtABC 中，C90，A、B 的对边是 a、b，且满足 a2ab 2b20，则 tanA 等于（ ） A1 B C2 D以上都不对 【思路点拨】求出 a2b，根据锐角三角函数的定义得出 tanA，代入求出即可 【答案】解：a2ab2b20， （a2b） （a+b）0， 则 a2b，ab（舍去） ， 则 tanA2， 故选：C 【点睛】本题考查了解二元二次方程和锐角三角函数的定义的应用，注意：tanA 9 （3 分） （2020深圳模拟）如图所示，从一热气球的探测器 A 点，

10、看一栋高楼顶部 B 点的仰角为 30， 看这栋高楼底部 C 点的俯角为 60，若热气球与高楼的水平距离为 30m，则这栋高楼高度是（ ） 7 / 22 A60m B40m C30m D60m 【思路点拨】过 A 作 ADBC，垂足为 D，在 RtABD 与 RtACD 中，根据三角函数的定义求得 BD 和 CD，再根据 BCBD+CD 即可求解 【答案】解：过 A 作 ADBC，垂足为 D 在 RtABD 中，BAD30，AD30m， BDADtan303010（m） ， 在 RtACD 中，CAD60，AD30m， CDADtan603030（m） ， BCBD+CD10+3040（m） ，

11、 即这栋高楼高度是 40m 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关 键 10 （3 分） （2020博兴县模拟）如图，ABC 中，CDAB，BEAC，则 sinA 的值为（ ） 8 / 22 A B C D 【思路点拨】本题可以利用锐角三角函数的定义求解 【答案】解：CDAB，BEAC 则易证ABEACD， ， 又AA， AEDABC， ， 设 AD2a，则 AC5a， 根据勾股定理得到 CDa， 因而 sinA 故选：B 【点睛】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到AEDABC 是解决本题的关键 二填

12、空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分） （2019 秋温岭市期末）如图，在ABC 和DEF 中，B40，E140，ABEF5， BCDE8，则两个三角形面积的大小关系为：SABC SDEF （填“或“”或“） 【思路点拨】分别表示出两个三角形的面积，根据面积得结论 【答案】接：过点 D 作 DHEF，交 FE 的延长线于点 H， 9 / 22 DEF140， DEH40 DHsinDEHDE8sin40， SDEFEFDH20sin40 过点 A 作 AGBC，垂足为 G AGsinBAB5sin40， SABCBCAG20sin

13、40 SDEFSABC 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数和三角形的面积公式解决本题的关键是能够用正弦函数表示出三角 形的高 12 （4 分） （2020宁波模拟）如图，在ABC 中，ADBC 于 D，CE 平分ACB，AEC45，若 AC 2，tanACB，则 AB 的长为 【思路点拨】过点 B 作 BFCA 交 CA 的延长线于 F想办法证明AFBADB（ASA） ，推出 BDBF 3k，CD2k，推出 AFAD4k2，在 RtADC 中，根据 AD2+CD2AC2构建方程即可解决问题 【答案】解：过点 B 作 BFCA 交 CA 的延长线于 F tanACB， 可以假设 BF3k

14、，CF4k，则 BC5k， 10 / 22 CE 平分ACB，AEC45， FBC90ACB2（45ECB）2ABC， AB 平分FBC， FADB90，BABA，ABFABD， AFBADB（ASA） ， BDBF3k，CD2k， AFAD4k2， 在 RtADC 中，AD2+CD2AC2， （4k2）2+（2k）24， k或 0（舍弃） ， BD，AD， AB 故答案为 【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形 解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 13 （4 分） （2019 秋玉田县期末）如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60方

15、向，距离灯塔 60 海里的 小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是 （30+30） 海里 【思路点拨】过点 C 作 CDAB，则在 RtACD 中易得 AD 的长，再在直角BCD 中求出 BD，相加可 得 AB 的长 【答案】解：过 C 作 CDAB 于 D 点， ACD30，BCD45，AC60 11 / 22 在 RtACD 中，ADAC30，cosACD， CDACcosACD6030 在 RtDCB 中，BCDB45， CDBD30， ABAD+BD30+30 答：这时轮船 B 与小岛 A 的距离是

16、（30+30）海里 故答案为： （30+30） 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为 解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 14 （4 分） （2020道里区校级三模）在ABC 中，CD 为高线，且 AD3，BD12，如果 CD6，那么 ACB 的平分线 CE 的长是 2或 6 【思路点拨】利用勾股定理求出 AC、BC，再根据三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于两 邻边的比，求出 AE：BE，然后求出 AE，再分A 是锐角和钝角两种情况讨论求出 DE，然后在 RtCDE 中，利用勾股定理列式计算即可答案 【答案】解解：在 RtAC

17、D 中，AC3， 在 RtBCD 中，BC6， CE 是ABC 的角平分线， AE：BEAC：BC3：61：2， 如图 1，A 是锐角时，ABAD+BD3+1215， AE155， DEAEAD532， 在 RtCDE 中，CE2， 12 / 22 如图 2，A 是钝角时，ABBDAD1239， AE93， DEAE+AD3+36， 在 RtCDE 中，CE6， 综上所述，CE 的长是 2或 6 故答案为：2或 6 【点睛】考查勾股定理，三角形角平分线的性质，利用性质求出 AE 与 BE 的比值是解题的关键，难点在 于要分情况讨论 15 （4 分） （2020东阳市模拟）图 2、图 3 是起重

18、机平移物体示意图在固定机架 BAM 中，AB5m，tan BAM吊杆 BCE 由伸缩杆 BC 与 6m 长的直杆 CE 组成，在机架 BAM 与直杆 CE 间有一根 9m 长 的支撑杆 AD，且 CD2m假设起重机吊起物体准备平移时，点 E、C、B 恰好在同一水平线上（图 2） ， 在物体平移过程中始终保持 EBAM（AM 处在水平位置） （1）如图 2，当准备平移物体时，伸缩杆 BC m （2）在物体沿 EB 方向平移过程中，当ADE60时，物体被平移的距离为 （+43） m 【思路点拨】 （1）过点 A 作 AGBC 于 G，解 RtABG 求得 BG，由勾股定理求得 GD，进而根据线段

19、和差求得 BC； （2）连接 BE，过 A 作 AFBE 于 F，过 E 作 EGAD 于 G，如图 2，解直角三角形求得 EG，再证明 AFHEGH，求得 AH：EH，进而由 AD9 列出方程求得 AH，EH，GH，FH，进而便可求得平移的 距离 【答案】解： （1）过点 A 作 AGBC 于 G，如图 1， 13 / 22 在 RtABG，ABGBAM，AB5， ， 设 AG4xm，则 BG3xm， ， 5x5， x1， AG4m，BG3m， GD（m） ， BCBG+GDCD3+2（m） ， 故答案为： （） ； （2）连接 BE，过 A 作 AFBE 于 F，过 E 作 EGAD 于

20、G，如图 2， BEAM， ABFBAM， tanABFtanBAM， 设 AF4xm，则 BF3xm， AB5x5， x1， AF4m，BF3m， 在 RtDEG 中，DE4m，EDG60， DG2m，EGm， AGADDG927m， AFHEGH90，AHFEHG， AFHEGH， ，即， 14 / 22 设 AH2y，则 EHy， HG， AGAH+GH2y+7， 解得，y143，或 y14+37（舍） ， EHy149（m） ，AH2y286（m） ， GHAGAH621， AFHEGH， ， FHGH1214， BEBF+FH+EH3+1214143+3， 物体平移的距离为： （）（

21、3+3）+43 故答案为： （+43） 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的性质与判定，关键是正确构造 直角三角形 16 （4 分） （2020拱墅区校级模拟）如图，已知 sinO，OA6，点 P 是射线 ON 上一动点，当AOP 为直角三角形时，则 AP 2或 3 【思路点拨】分别从若 APON 与若 PAOA 去分析求解，根据三角函数和勾股定理，即可求得答案 【答案】解：当 APON 时，APO90， 则 sinO，OA6， APOA2； 当 PAOA 时，A90， 15 / 22 则 sinO， 设 APx（x0） ，则 OP3x， 由勾股定理得： （x）2+

22、62（3x）2， 解得：x， AP3； 综上所述，AP 的长为 2或 3； 故答案为：2或 3 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2020灌云县模拟）计算： （1）2sin30+3cos604tan45 （2）+tan260 【思路点拨】 （1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案 【答案】解： （1）原式 ； （2）原式 +3 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 18

23、.（8 分） （2020 秋沙坪坝区校级月考）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，BC14，AD12，sinB （1）求线段 CD 的长度； （2）求 cosC 的值 16 / 22 【思路点拨】根据 sinB，求得 AB15，由勾股定理得 BD9，从而计算出 CD，再利用三角函数， 求出 cosC 的值即可 【答案】解： （1）AD 是 BC 上的高， ADBADC90 sinB，AD12， AB15， BD9， BC14， DCBCBD1495； （2）由（1）知，CD5，AD12， AC13， cosC 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的

24、关系是解题的关键 19 （8 分） （2019杭州模拟）如图，ABC 中，ACB90，sinA，BC8，D 是 AB 中点，过点 B 作直线 CD 的垂线，垂足为点 E （1）求线段 CD 的长； （2）求 cosABE 的值 【思路点拨】 （1）在ABC 中根据正弦的定义得到 sinA，则可计算出 AB10，然后根据直角 三角形斜边上的中线性质即可得到 CDAB5； （2） 在 RtABC 中先利用勾股定理计算出 AC6， 在根据三角形面积公式得到 SBDCSADC， 则 SBDC 17 / 22 SABC，即CDBEACBC，于是可计算出 BE，然后在 RtBDE 中利用余弦的定义求 解

25、【答案】解： （1）在ABC 中，ACB90， sinA， 而 BC8， AB10， D 是 AB 中点， CDAB5； （2）在 RtABC 中，AB10，BC8， AC6， D 是 AB 中点， BD5，SBDCSADC， SBDCSABC，即CDBEACBC， BE， 在 RtBDE 中，cosDBE， 即 cosABE 的值为 【点睛】 本题考查了解直角三角形： 在直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形 也 考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式 20 （10 分） （2020丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果： sin27+sin2830.12

26、2+0.9920.9945，sin222+sin2680.372+0.9321.0018，sin229+sin261 0.482+0.8720.9873，sin237+sin2530.602+0.8021.0000，sin245+sin245（）2+（）2 1 据此，嘉琪猜想：在 RtABC 中，C90，设A，有 sin2+sin2（90）1 （1）当 30时，验证 sin2+sin2（90）1 是否成立 （2）请你对嘉琪的猜想进行证明 【思路点拨】 （1）将 30代入，根据三角函数值计算可得； （2）设A，则B90，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证 18 / 22 【答案】解： （1）当

27、 30时， sin2+sin2（90） sin230+sin260 （）2+（）2 + 1； （2）嘉琪的猜想成立，证明如下： 如图，在ABC 中，C90， 设A，则B90， sin2+sin2（90） （）2+（）2 1 【点睛】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理 是解题的关键 21 （10 分） （2018金华模拟）如图，由 12 个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩 形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为 6，ABC 的顶点都在格点 （1）求每个小矩形的长与宽； （2）在矩形网格中找一格点 E，使ABE

28、为直角三角形，求出所有满足条件的线段 AE 的长度 （3）求 sinBAC 的值 19 / 22 【思路点拨】 （1）设每个小矩形的长为 x，宽为 y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个： 2 个矩形的宽矩形的长；两个矩形的宽+1 个矩形的长6，据此列出方程组，并解答即可； （2）利用图形和勾股定理逆定理进行解答； （3）由锐角三角函数的定义进行解答 【答案】解： （1）设每个小矩形的长为 x，宽为 y， 依题意得：， 解得， 所以每个小矩形的长为 3，宽为 1.5； （2）如图所示： ， AE3 或 3或； （3）由图可计算 AC，BC， AB sinBAC 【点睛】本题考查了四边

29、形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理以 及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角 三角形是解此类题的常用作法 22 （12 分） （2019 秋迁安市期末）如图，嘉琪家对面新建了一幢图书大厦，她在自家窗口 A 处测得大厦 20 / 22 底部 D 点的俯角为 ，大厦顶部 B 点的仰角为 ，sin 和 tan 是方程 2x23x+10 的两根嘉琪量 得两幢楼之间的距离 DE 为 20m （1）求出 、 的度数； （2）求出大厦的高度 BD （结果保留根号） 【思路点拨】 （1）利用公式法解出一元二次方程，根据特殊角的

30、三角函数值求出 、 的度数； （2）根据等腰直角三角形的性质求出 BC，根据正切的定义求出 CD，结合图形计算即可 【答案】解： （1）a2，b3，c1 b24ac94211 x， x11，x2， sin，tan1， 30，45； （2）如图，ACBD，BDDE，AEDE， 四边形 AEDC 是矩形， ACDE20， 在 RtABC 中，45， BCAC20米， 在 RtACD 中，tan， CDACtan302020， BDBC+CD20+20， 答：大厦的高度 BD 为（20+20）米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、一元二次方程的解法，掌握仰角俯角的概 21 / 22

31、 念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 23 （12 分） （2019 秋唐山期末）如图，在南北方向的海岸线 MN 上，有 A，B 两艘巡逻船，现均收到故障 船 C 的求救信号已知 A，B 两船相距 100（+1）海里，船 C 在船 A 的北偏东 60方向上，船 C 在 船 B 的东南方向上，MN 上有一观测点 D，测得船 C 正好在观测点 D 的南偏东 75方向上 （1）求 A 与 C，A 与 D 间的距离 AC 和 AD； （本问如果有根号，结果请保留根号） （此提示可以帮助你解题：） （2）已知距观测点 D 处 100 海里范围内有暗礁，若巡逻船 A 沿直线 AC 去营救船 C，在去营

32、救的途中有 无触礁的危险？（参考数据：，） 请按以下提示完成解答： 解： （1）过点 C 作 CEAB 于 E，设 AEx 海里， 过点 D 作 DFAC 于点 F，设 AFy 海里， 【思路点拨】 （1）作 CEAB 于 E，设 AEx 海里，则 BECEx 海里根据 ABAE+BEx+x 100（+1） ，求得 x 的值后即可求得 AC 的长；过点 D 作 DFAC 于点 F，同理求出 AD 的长； （2）根据（1）中的结论得出 DF 的长，再与 100 比较即可得到答案 【答案】解： （1）如图，作 CEAB 于 E， 22 / 22 由题意得：ABC45，BAC60， 设 AEx 海里

33、， 在 RtAEC 中，CEAEtan60 x； 在 RtBCE 中，BECEx AE+BEx+x100（+1） ， 解得：x100 AC2x200 在ACD 中，DAC60，ADC75，则ACD45 过点 D 作 DFAC 于点 F， 设 AFy，则 DFCFy， ACy+y200， 解得：y100（1） ， AD2y200（1） 答：A 与 C 之间的距离 AC 为 200 海里，A 与 D 之间的距离 AD 为 200（1）海里 （2）由（1）可知，DFAF100（1）126.3 海里， 因为 126.3100， 所以巡逻船 A 沿直线 AC 航线，在去营救的途中没有触暗礁危险 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是 解答此题的关键