2021年六年级奥数专项讲义及常考易错题-几何图形问题-等积变形（位移、割补） 通用版（含答案）

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1、常考易错题汇编常考易错题汇编-几何图形问题几何图形问题-等积变形（位移、割补）等积变形（位移、割补） 【知识点归纳】【知识点归纳】 等积变形的主要方法是： 1三角形内等底等高的三角形 2平行线内等底等高的三角形 3公共部分的传递性 4极值原理（变与不变） 【经典题型】【经典题型】 例例 1：求如图的体积（取（取 3.14） 分析：此题上面是斜面，可以把一个和它完全一样的图形拼成一个高是分析：此题上面是斜面，可以把一个和它完全一样的图形拼成一个高是 20+15=35 厘米，底面直径是厘米，底面直径是 4 厘米的圆柱体，所以此图的体积是圆柱体积的厘米的圆柱体，所以此图的体积是圆柱体积的 1 2 ；

2、利用圆柱体的体积公式计算出体积即可；利用圆柱体的体积公式计算出体积即可 解：解：3.14（42）2（15+20）， =3.14435， =219.8； 答：体积是答：体积是 219.8； 故答案为：故答案为：219.8 点评：此题主要根据圆柱体的体积公式解决问题，解题的关键是把两个完全一样的图形拼成一个圆点评：此题主要根据圆柱体的体积公式解决问题，解题的关键是把两个完全一样的图形拼成一个圆 柱体，此图的体积是圆柱体积的柱体，此图的体积是圆柱体积的 例例 2：如图所示：一块长方形草坪，长：如图所示：一块长方形草坪，长 20 米，宽米，宽 14 米，中间有一条宽米，中间有一条宽 2 米的曲折小路求

3、小路的占米的曲折小路求小路的占 地面积？地面积？ 分析：无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以分析：无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以 把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分 142，横的部分，横的部分 202，计算，计算 重叠重叠 22，则小路面积为（，则小路面积为（20+14）2-22=64（平方米）（平方米） 解：小路面积为：（解：小路面积为：（20+14）2-22=64（平方米），（平方米）， 答：小路的占地面积答：小

4、路的占地面积 64 平方米平方米 点评：利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横点评：利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横 的长方形和重叠的小正方形，进而解答的长方形和重叠的小正方形，进而解答 一选择题一选择题 1如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是 84.78cm2，圆的周长是（ ）cm A18.84 B75.36 C37.68 2 以下是四位同学运用转化的策略将左边的图形转化成右边的图形解决问题， 其中做对的有 （ ） 位 A1 B2 C3 D4 二填空题二填空题 3有一种饮料瓶的容积是

5、50 立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）现在瓶中装有一些饮料，正 放时饮料高度为 20 厘米，倒放时空余部分的高度为 5 厘米瓶内现有饮料 立方厘米 4如图，外侧大正方形的边长是 10 厘米，图中阴影部分的面积是 27.5 平方厘米，那么圆内的大正 方形面积是小正方形面积的 倍 5将一底面半径为 2 分米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，截开拼成一个和它等底等高的长方体 后，表面积增加 16 平方分米，圆柱的体积是 6在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形， 那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为 7 如图， E， F， G， H 是边长为 2 的

6、正方形 ABCD 各边的中点， 则图中阴影部分的面积等于 8如图，三个大小相同的正方形重叠地放在一个大的正方形 ABCD 内，已知能看见的部分、 的面积分别是 64 平方厘米、38 平方厘米、34 平方厘米那么正方形 ABCD 的边长是 厘 米 9下图是一个正方体木块M 是 AB 的中点，N 是 AD 的中点用一把锋利的锯，过 M、N、G 三个 点将木块锯成两块，使截面是平的，这个截面是 边形 10如图所示，一种饮料瓶，容积是 200ml，瓶身是圆柱形将该瓶正放时饮料高 20cm，倒放时余 部分高 5cm，瓶内的饮料是 ml 三操作题三操作题 11把下列图形改成平行四边形 四解答题四解答题 1

7、2如图，正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，E，F，G，H 分别为正方形四边上的 中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米 13看图求阴影部分的面积 （1）求出图（1）中阴影部分的面积 （2） 分析上面各图形之间的关系，看一看、想一想、 找一找图（4） 中阴影部分的面积是 14如图所示的多边形是由一个三角形和三个长方形组成的已知三个长方形的面积分别是 12 平方 厘米、4 平方厘米和 6 平方厘米三角形面积是多少平方厘米？ 15如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？ 16给一个直角楼梯铺地毯，如图所示（图中阴影处不铺），至少需要多少平方米的地毯？（单位：

8、 米） 17求小路的占地面积 如图所示：一块长方形草坪，长 20 米，宽 14 米，中间有一条宽 2 米的曲折小路 18一个圆锥形沙堆，底面积是 3.6 平方米，高 1.2 米把这堆沙装在长 2 米、宽 1.5 米的沙坑里， 可以装多高？ 19如图所示，用一张斜边长为 17 厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为 29 厘米的黄色直角三 角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形红、黄两张三角形纸片面积之和是多 少？ 20雨哗哗地不停地下着如果在雨地放一个如图 1 那样的长方体的容器（单位：厘米），雨水将它 灌满要用 1 小时雨水灌满图 2 容器各需多长时间？ 21把一个底面直径是 4

9、 厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体 积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 20 平方厘米，这个长方体的体 积是多少立方厘米？ 22求如图的体积（ 取 3.14） 23求如图的体积（ 取 3.14） 24给一个直角楼梯铺地毯，如图（图中阴影处不铺）情根据图中的数据，算一算，至少需要多少平 方米地毯？（单位：米） 25用 20 个大小相同的小正方可以组成一个十字图形把这个十字图形分割为 4 个部分，是的它们 的形状和大小都一样（分割线须沿着图内的虚线），方法有很多，如图例所示，请你再画出与范 例不同的两种分割方法 26如图，O 是半圆的圆心，

10、ACBC，CDDB，AB12 厘米，求阴影部分的面积 27 如图， 直角梯形 ABCD 中， AB12， BC8， CD9， 且三角形 AED、 三角形 FCD 和四边形 EBFD 的面积相等，求三角形 DEF 的面积 六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编- -几何图形问题几何图形问题- -等积变形（位移、割补）等积变形（位移、割补） 参考答案参考答案 一选择题一选择题 1解：84.785.14 113.043.14 36（cm2）； 6636（cm2）， 8.146237.68（cm） 答：圆的周长是 37.68cm 答案：C 2解：（1）如图， 因为

11、阴影部分 A 的面积等于空白部分 B 的面积， 所以涂色部分的面积可以转化为圆的面积， 所以涂色部分的面积占整个图形面积的， 所以（1）正确 （2）如图， 因为ABC 的面积可以转化为CDE 的面积，AFG 的面积可以转化为EFH 的面积， 所以涂色部分的面积可以转化为 10 个小方格的面积， 所以涂色部分的面积占整个图形面积的，即， 所以（2）不正确 （3）如图， 因为阴影部分 A 的面积等于空白部分 B 的面积， 所以涂色部分的面积转化为一个正方形的面积， 所以涂色部分的面积占整个图形面积的， 所以（3）正确 （4）因为该图形的周长转化为直径是 7cm 的半圆的周长和直径是 4cm 的圆的

12、周长的和， 而不是转化为直径是 4cm 的半圆的周长和一条 7cm 的直径的长度之和， 所以（4）不正确 综上，可得做对的有 2 位：（1）（3） 答案：B 二填空题二填空题 3解：5020（20+5） 50 40（立方厘米） 答案：40 立方厘米 4解：由分析可知：总阴影部分的面积大正方形的面积四分之一+圆内小正方形的面积四分之一 27.5（平方厘米）， 大正方形的面积四分之一：101025（平方厘米）， 所以圆内小正方形的面积四分之一：27.5252.8（平方厘米）， 则圆内小正方形的面积2.5810（平方厘米）， 圆内大正方形的面积： （102）（102）74 562 50（平方厘米），

13、 圆内的大正方形面积是小正方形面积的： 50105（倍）； 答案：7 5解：3.1424.28（分米）， 16227（分米）， 6.282350.24（立方分米）； 答：圆柱的体积是 50.24 立方分米 答案：50.24 立方分米 6解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和， 长方形的长，是“一”，则长宽30228； 宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和， 因此中间小正方形边长22846 所以中间小正方形面积6436 答：中间这个小正方形（阴影部分）的面积为 36 答案：36 7解：根据题干分析可得：222， 答：阴影部分的面积是 5 答案：2 8解：如上图图所示：设出

14、其中两条边分别为 a，b： 则将图所在的小正方形向左移动到最左边，图减少的面积等于图增加的面积， 图面积+图面积38+3472（平方厘米）， 因为大正方形 ABCD 的边长小正方形的边长+a小正方形的边长+b，所以 ab， 所以将图所在的小正方形向左移动到最左边后，图的面积等于图的面积， 即 8a8b72736（平方厘米）， 则 ab3684.2（厘米）， 则大正方形 ABCD 的边长为：8+4.812.5（厘米） 答：正方形 ABCD 的边长是 12.5 厘米 答案：12.4 9解：如图过 M、N、G 三个点将木块锯成两块、左、右、前、后五个面相交， 所以得到的截面是五边形； 答案：五边形

15、10解：20020（20+5） 200 160（ml） 答：瓶内的饮料是 160ml 答案：160 三操作题三操作题 11解：根据题干分析可得： 四解答题四解答题 12解：将原图割补为下图： ； 答：阴影部分的面积是 20 平方厘米 13解：（1）正方形边长：222（cm）； 阴影部分的面积：448.1422， 1612.56， 8.44（cm2）； （2）把第一幅图横竖分割成 4 等份，可组拼成后 3 个图形， 所以第四幅图中阴影部分的面积仍是 3.44cm2； 答案：7.44cm2 14解：如图，设三角形面积为 x 平方厘米， 则 2x：126：8 42x127 8x72 8x6728 x

16、9 答：三角形面积是 8 平方厘米 15解：如图， 阴影部分 A 的面积等于空白部分 B 的面积， 阴影部分 C 的面积等于空白部分 D 的面积， 所以阴影部分的面积和等于正方形面积的一半， 4478（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积为 8 平方厘米 16解：（2.5+5.2）2 3.72 11.5（平方米）， 答：至少需要 11.4 平方米的地毯 17解：小路面积为：（20+14）22464（平方米）， 答：小路的占地面积 64 平方米 18解：3.62.2（21.6）， 1.443， 8.48（米）； 答：可以装 0.48 米高 19解：根据题干分析可得： 29172246.5（平方厘米

17、）， 答：这两个直角三角形的面积和是 246.5 平方厘米 答案：246.5 平方厘米 20解：图所示的容积中，容积：接水面积（302010）：（3020）6000：60010：1； 图所示的容器中，容积：接水面积（201010+101010）：（1010）3000：100 30：1； 图所示的容器中，容积：接水面积（201010+101010）：（2010）3000：200 15：2； 答：雨水灌满图 2 的容器需 3 小时、雨水灌满图 4 的容器需 1.5 小时 21解：20210（平方厘米）， 42.1426.28（厘米）， 108.2862.8（立方厘米）； 答：这个长方体的体积是 6

18、2.8 立方厘米 22解：3.14（42）2（15+20）， 3.14435， 219.8； 答：体积是 219.3； 答案：219.8 23解：3.14（42）2（8+12）7 3.144205 125.6（立方厘米）； 答：它的体积是 125.6 立方厘米 24解：（2.5+8）2 5.82 11（平方米）， 答：至少需要 11 平方米地毯 25解：根据题干分析可将这个图形分割如下： 26解：S 阴S 扇形 COB 2.14， 2.149， 28.26（平方厘米）； 答：阴影部分的面积是 28.26 平方厘米 27解：（1）根据题干可得，梯形 ABCD 的面积为： （9+12）86， 2182， 84， 所以三角形 AED、三角形 FCD 和四边形 EBFD 的面积分别为： 84528， （2）在直角梯形 BECD 中， BE2822691494， （3）在直角三角形 FCD 中， FC2829， 所以 BF8， 所以直角三角形 BEF 的面积为：2， 故三角形 DEF 的面积为：28， 答：三角形 DEF 的面积为