2021年高中数学人教A版（2019）必须掌握的48个解题策略

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1、 高考数学人教高考数学人教 A A 版 （版 （20192019） 一轮复习一轮复习必须掌握的必须掌握的 4848 个解题策略个解题策略 1.1.与集合中元素有关问题的求解策略与集合中元素有关问题的求解策略 2.2.集合基本运算的求解策略集合基本运算的求解策略 3.3.利用充要条件求参数的利用充要条件求参数的策略策略 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的 关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验， 从而确定取舍 4.4.不等式性质应用问题的常见类型及解题策略不等式性质应

2、用问题的常见类型及解题策略 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理 判断需要利用不等式的性质 (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质 联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的 同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等 5.5.形如形如 f(x)0(f(x)0)(xaf(x)0(f(x)0)(xa，b b)恒成立问题的求解恒成立问题的求解策略策略 (1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于 0，从而求 出参数的范围 (2)数形结合，利用二次函数在端点 a，b 处的取值特点确定不等式

3、求参数的 取值范围 6.6.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法 求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调 整，做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 7.7.常数代换法求最值的常数代换法求最值的策略策略 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为 1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除， 进而构造和或积

4、的形 式； (4)利用基本不等式求解最值 8.8.应用基本不等式解决实际问题的基本应用基本不等式解决实际问题的基本策略策略 (1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数 的最值问题； (2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值； (3)还原为实际问题，写出答案 9.9.分段函数的求值问题的解题分段函数的求值问题的解题策略策略 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解 析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求 出相应自变量的值，切记要代入检验 10.10

5、.利用单调性求参数的策略利用单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数， 依据函数的图象或单调性定义， 确定函数的单调区间， 与已知单调区间比较求参数； (2)若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是 单调的 11.11.数形结合求函数的值域数形结合求函数的值域 (1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形 的直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义， 如两点间距离公式或直线的斜率等 (2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域， 再根据函数的具体形 式及运算确定其值域 12.12.函数的单调性与奇偶性的综合问题解题函

6、数的单调性与奇偶性的综合问题解题策略策略 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间 上具有相同的单调性，偶函数在关于 y 轴对称的两个区间上具有相反的单调性 (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 f(x1)f(x2)或 f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式 (组)，要注意函数定义域对参数的影响 13.13.二次函数单调二次函数单调性问题的求解策略性问题的求解策略 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置若开口方向 或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解 (2)利用二次函数的单调性比较大小，

7、一定要将待比较的两数通过二次函数 的对称性转化到同一单调区间上比较 14.14.二次函数最值问题的类型及求解策略二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴 定、区间变动 (2)求解策略： 抓住“三点一轴”数形结合， 三点是指区间两个端点和中点， 一轴指的是对称轴， 结合配方法， 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 1515 指数函数图象问题的求解策略指数函数图象问题的求解策略 变换 作图 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点 等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得 到其图象，然后数形结合使问题

8、得解 数形 结合 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图 象数形结合求解 16.16.利用函数的图象研究不等式的利用函数的图象研究不等式的策略策略 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时， 常将不等式问题转化为 两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题， 从而利用数形 结合法求解 17.17.求切点坐标的求切点坐标的策略策略 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数， 再让导数等于 切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐 标 18.18. 换元法构造函数证明不等式的基本换元法构造函数证明不等式的基本策略策略

9、 直接消掉参数 a，再结合所证问题，巧妙引入变量 cx 1 x2，从而构造相应的 函数其解题要点为： 联立 消参 利用方程 f(x1)f(x2)消掉解析式中的参数 a 抓商 构元 令 cx 1 x2，消掉变量 x 1，x2，构造关于 c 的函数 h(c) 用导 求解 利用导数求解函数 h(c)的最小值，从而可证得结论 19.19.分离参数法解含参不等式恒成立问题的分离参数法解含参不等式恒成立问题的策略策略 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负 的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一 端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可

10、以解决问题 20.20.弧长、扇形面积问题的解题策略弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式 l|r，扇形的面积公式是 S1 2lr 1 2 |r 2(其中 l 是扇形的弧长， 是扇形的圆心角) (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个 量 21.21.三角函数定义问题的解题策略三角函数定义问题的解题策略 (1)已知角终边上一点 P 的坐标，可求角 的三角函数值先求 P 到原点 的距离，再用三角函数的定义求解 (2)已知角的某三角函数值， 可求角终边上一点P的坐标中的参数值， 可根据定义中的两个量列方程求参数值 (3)已知角 的终边所在的直线方程或角

11、 的大小，根据三角函数的定义 可求角 终边上某特定点的坐标 22.22.关于关于 sin sin 与与 cos cos 的齐的齐 n n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策次分式或齐二次整式的化简求值的解题策 略略 已知 tan ，求关于 sin 与 cos 的齐 n 次分式或齐二次整式的值 23.23.三角函数公式的应用策略三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规 律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反” (2)使用公式求值， 应注意与同角三角函数基本关系、 诱导公式的综合应用 24.24.给角求值问题的解题策略给角求值问题的

12、解题策略 在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊 角总有一定关系基本思路是观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍 角公式等将非特殊角的三角函数值转化为： 25.25.给值求值问题的解题策略给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或 差的形式或和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、 差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解 26.26.给值求角的给值求角的策略策

13、略 已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好； 若角的范围为 2 ， 2 ，选正弦较好 27.27.与平面图形有关的解三角形问题策略与平面图形有关的解三角形问题策略 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数 据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正 弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 28.28.向量线性运算的解题策

14、略向量线性运算的解题策略 (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的 向量求和用平行四边形法则， 求差用三角形法则， 求首尾相连的向量的和用三角 形法则 (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一 个平行四边形或三角形中求解 29.29.向量坐标运算问题的向量坐标运算问题的策略策略 (1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标 来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直 角坐标系，使几何问题转化为数量运算 (2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运 算法则进行，若已

15、知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程 中要注意方程思想的运用 30.30.复数代数形式运算问题的解题策略复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化 31.31. S Sn n与与 a an n关系关系问题的问题的解题策略解题策略 (1)已知 Sn求 an的三个步骤 先利用 a1S1求出 a1； 用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系， 利用 anSnSn1(n2)便可求 出当 n

16、2 时 an的表达式； 注意检验 n1 时的表达式是否可以与 n2 时的表达式合并 (2)Sn与 an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化 利用 anSnSn1(n2)转化为只含 Sn，Sn1的关系式，再求解； 利用 SnSn1an(n2)转化为只含 an，an1的关系式，再求解 32.32.等差数列的基本运算的解题策略等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知 其中三个就能求另外两个，体现了方程思想 (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1和 d 是等差

17、数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法 33.33.解决等比数列基本运算问题的两种常用解决等比数列基本运算问题的两种常用策略策略 方程的策略 等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求 二”，通过列方程(组)求关键量 a1和 q，问题可迎刃而解 分类讨论的 策略 等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论， 当 q1 时，an的前 n 项和 Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna 1（1q n） 1q a 1anq 1q 34.34.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 (1)已知函数条件，解决数

18、列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研 究数列问题 (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公 式、前 n 项和公式、求和方法等对式子化简变形 注意数列与函数的不同， 数列只能看作是自变量为正整数的一类函数， 在解 决问题时要注意这一特殊性 35.35.处理球的处理球的“切切”“”“接接”问题的求解策略问题的求解策略 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面 几何问题求解，其解题的思维流程是： 3636. .平移法求异面直线所成角的策略平移法求异面直线所成角的策略 具体步骤如下： 37.37.用已知向量表示未知向量的解题策略用已知向量表示

19、未知向量的解题策略 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的 关键 (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向 量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量， 我们可把这个法则 称为向量加法的多边形法则 (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空 间仍然成立 38.38.利用空间向量解决平行、垂直问题的利用空间向量解决平行、垂直问题的策略策略 (1)建立空间直角坐标系， 建系时， 要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及 的点、直线、平面的要素

20、； (3)通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题 39.39.探索性问题的求解策略探索性问题的求解策略 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题， 它无须进行复杂的作 图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断 (1)对于存在判断型问题的求解， 应先假设存在， 把要成立的结论当作条件， 据此列方程或方程组， 把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解， 是否有 规定范围内的解”等 (2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出 等式，解出参数 40.40.翻折问题的翻折问题的 2 2 个解题策略个解题策略 确定翻折 前后变与 不变的

21、关 系 画好翻折前后的平面图形与立体图形， 分清翻折前后图形的位置 和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、 面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、 面之间的位置关系会发生变化； 对于不变的关系应在平面图形中 处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 确定翻折 后关键点 的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点因为这些点的位 置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及 其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化，只有分析清楚 关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的 位置，进而进行有关的证明与计算 41.41. 求倾斜角

22、的取值范围的策略求倾斜角的取值范围的策略 (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 求出斜率 ktan 的取值范围； 利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取值范围 求倾斜角时要注意斜率是否存在 (2)斜率的求法 定义法： 若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值， 一般根据 ktan 求斜率； 公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 k y 2y1 x2x1(x 1x2)求斜率 42.42.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再 利用基本不等式求解最

23、值 (2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直 接写出方程 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结 合函数的单调性或基本不等式求解 43.43.与圆有关的最值问题的求解策略与圆有关的最值问题的求解策略 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质， 并根据代数式的几 何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如 下： 常见类型 解题思路 yb xa型 转化为动直线斜率的最值问题 taxby 型 转化为动直线截距的最值问题， 或用三角代换求解 m(xa) 2(yb)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 44.

24、44.存在性问题的求解策略存在性问题的求解策略 解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在， 若结论不正确则不存在 (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论 (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意 45.45.利用分步乘法计数原理解利用分步乘法计数原理解题的策略题的策略 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的 (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分 步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总方法数 46.46.求解形如求解形如(a(ab)b)

25、 m m(c (cd)d) n n的展开式问题的 的展开式问题的策略策略 (1)若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(ab) 2(cd)n(a2 2abb 2)(cd)n，然后分别求解 (2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x) 5(1x)7(1x)(1 x) 5(1x)2(1x2)5(1x)2. (3)分别得到(ab) m，(cd)n的通项，综合考虑 47.47.赋值法求系数和的赋值法求系数和的策略策略 (1)“赋值法”对形如(axb) n，(ax2bxc)m(a，b，cR R)的式子求其展 开式的各项系数之和， 常用赋值法， 只需令 x1 即可； 对形如(axby) n(a， bR R) 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可 (2)若f(x)a0a1xa2x 2a nx n， 则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 偶次项系数之和为 a0a2a4f（1）f（1） 2 ，奇次项系数之和为 a1 a3a5f（1）f（1） 2 .令 x0，可得 a0f(0) 48.48.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题利用相互独立事件求复杂事件概率的解题策略策略 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和 (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互 独立事件的积事件 (3)代入概率的积、和公式求解