2020年湖北省武汉市东湖高新技术开发区中考素养数学试卷（含答案详解）

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1、2020 年湖北省武汉年湖北省武汉市东湖高新技术开发区市东湖高新技术开发区中考中考素养数学试卷素养数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确 的。 ）的。 ） 1（4 分） 如图， 在 RtABC 中， BAC90， 过 A 作 ADBC 于点 D， 若 则 tanC 的值为 （ ） A B C D 2 （4 分）如图，ABC 是圆 O 的内接正三角形，弦 EF 过 BC 的中点 D，且 EFAB，若 AB4，则 DE 的长为（ ） A

2、1 B1 C D2 3 （4 分）如图，RtABC 中，ABBC，AB6，BC4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB PBC，则线段 CP 长的最小值为（ ） A B2 C D 4 （4 分）已知 x，则 x62x5x4+x32x2+2x的值为（ ） A0 B1 C D 5（4分） 若关于x的方程+0只有一个实数根， 则实数a的所有可能取值的和为 （ ） A7 B15 C31 D以上选项均不对 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 6 （4 分）当1x1 时，函数 yx22mx+2n+1 的最小值是4，最大值是 0，则

3、 m、n 的值分别 是 7 （4 分）过原点的直线与双曲线 y分别交于 A、B 两点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为点 C（如图） ， 则ABC 的面积为 8 （4 分）2019 年 7 月，中共中央国务院发布的关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见 中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课” 我校积极响应，率先落实意见的相关精神，将 学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成立三个小组，分别承担本班的“走廊清 扫” 、 “栏杆清洁及维护” 、 “垃圾转运”这三项劳动任务现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中 任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女生

4、恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率 为 （直接填数字） 9 （4 分）若 7+和 5的小数部分分别为 m，n，则+ 10 （4 分）方程（a21）x22（5a+1）x+240 有两个不等负整数根，则整数 a 的值是 11 （4 分）如图，点 D 在ABC 的边 BC 上，C+BADDAC，tanBAD，AD，CD13， 则线段 AC 的长为 12 （4 分）定义a，b，c为函数 yax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数2m，1m，1m的函数的一 些相关结论： 当 m2 时，抛物线的顶点为（，） ； 当 m0 时，函数图象恒过定点； 当 m0 时，函数在 x1 时，y 随 x 的增大而减小

5、； 当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段的长度大于 其中正确的结论是 （直接填正确结论的编号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 52 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13 （10 分）如图 1，AB 是O 的直径，C 是圆上一点，BAC 的平分线交O 于点 D，过 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E （1）若 AB20，AC12，求 BD，DE 的长； （2）若 F 是 OA 的中点，FGOA 交直线 DE 于点 G，如图 2，若 FG，tanBAD，求O 的 半径 14 （12 分）

6、某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工 厂自身生产工料，该工厂去年（2 月至 12 月）每月所需的工料总量均为 12000 件，由于工厂生产车间处 于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进 行，2 月至 6 月，该工厂从市场上采购的工料量 y1（件）与月份 x（2x6，且为整数）之间满足的 函数关系如表： 月份 x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量 y1（吨） 6000 4000 3000 2400 2000 7 至 12 月，该工厂自身生产的工料量 y2（件）与月份 x（7x12，且 x 取

7、整数）之间满足二次函数关 系式为 y2ax2+c（a0） 其图象如图所示2 至 6 月，该工厂每件工料的市场成本 z1（元）与月份 x 之间满足函数关系式：z1x，该工厂自身生产的每件工料的成本 z2（元）与月份 x 之间满足函数关系 式：z2xx2；7 至 12 月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为 3 元/件，该工厂自身 生产的工料成本为 1.5 元/件 （1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写 出 y1，y2与 x 之间的函数关系式； （2）请你求出该工厂去年（2 月至 12 月）哪个月份所需的工料总费用 W（元）最多，并求出

8、这个最多 费用 15 （14 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，对角线 AC，BD 交于点 O点 P 从点 A 出发， 沿 AD 方向匀速运动， 速度为 1cm/s； 同时， 点 Q 从点 D 出发， 沿 DC 方向匀速运动， 速度为 1cm/s； 当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接 PO 并延长，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC，交 BD 于点 F设运动时间为 t（s） （0t6） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，AOP 是等腰三角形？ （2）设五边形 OECQF 的面积为 S（cm2） ，试确定 S 与 t 的函数关系式； （3）在运

9、动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S五边形OECQF：SACD9：16？若存在，求出 t 的值；若不 存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OD 平分COP？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说 明理由 16 （16 分） 已知一次函数 y1kx+m 与二次函数 y22ax2+bx+c （a0， b 为整数） 的图象交于 A （22， 32） 、B（2+2，3+2）两点，二次函数 y22ax2+2bx+c 和二次函数 y3ax2+bx+c1 的最小值 的差为 1 （1）求 y1、y2、y3的解析式； （2）P 是 y 轴上一点，过点 P 任意作一射线分别交 y2

10、、y3的图象于 M、N，过点 M 作直线 y1 的垂 线，垂足为 G，过点 N 作直线 y3 的垂线，垂足为 H是否存在这样的点 P，使 PMMG、PNNH 恒成立，若存在，求出 P 点的坐标，并探究是否为定值；若不存 PN 在请说明理由 （3）在（2）的条件下设过 P 点的直线 l 交二次函数 y2的图象于 S、T 两点，试求+的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确 的。 ）的。 ） 1（4 分）

11、 如图， 在 RtABC 中， BAC90， 过 A 作 ADBC 于点 D， 若 则 tanC 的值为 （ ） A B C D 【解答】解：， 设 BD4x，CD3x， ADBC， ADBADCBAC90， BAD+CADC+DAC90， CBAD， BADACD， ， AD2x， tanC， 故选：D 2 （4 分）如图，ABC 是圆 O 的内接正三角形，弦 EF 过 BC 的中点 D，且 EFAB，若 AB4，则 DE 的长为（ ） A1 B1 C D2 【解答】解：如图过 C 作 CNAB 于 N，交 EF 于 M， EFAB， CMEF 根据圆和等边三角形的性质知：CN 必过点 O

12、EFAB，D 是 BC 的中点， DG 是ABC 的中位线， DGAB2； CGD 是等边三角形，CMDG， DMMG； OMEF，由垂径定理得：EMMF， DEGF 弦 BC、EF 相交于点 D， BDDCDEDF，即 DE（DE+2）4； 解得 DE1（负值舍去） 故选：B 3 （4 分）如图，RtABC 中，ABBC，AB6，BC4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB PBC，则线段 CP 长的最小值为（ ） A B2 C D 【解答】解：ABC90， ABP+PBC90， PABPBC， BAP+ABP90， APB90， OPOAOB（直角三角形斜边中线等于斜边一半） ， 点

13、 P 在以 AB 为直径的O 上，连接 OC 交O 于点 P，此时 PC 最小， 在 RTBCO 中，OBC90，BC4，OB3， OC5， PCOCOP532 PC 最小值为 2 故选：B 4 （4 分）已知 x，则 x62x5x4+x32x2+2x的值为（ ） A0 B1 C D 【解答】解：x+， x62x5x4+x32x2+2x x5（x2）x4+x2（x2）+2x x5（+2）x4+x2（+2）+2x x5（）x4+x2（）+2x x4x（）1+x2（）+2x 0+x（+） （）+2x x+2x x 故选：C 5（4分） 若关于x的方程+0只有一个实数根， 则实数a的所有可能取值的和

14、为 （ ） A7 B15 C31 D以上选项均不对 【解答】解：已知方程化为 4x24xa+80， 若方程有两个相等实根，则1616（8a）0，即 a7， 当 a7 时，方程的根 x1x2，符合要求； 若 x2 是方程的根，则 8+8+a+80，即 a24， 此时，方程的另一个根为 x4，符合要求； 若 x2 是方程的根，则 88+a+80，即 a8， 此时方程的另一个根为 x0，符合要求， 综上，符合条件的 a 有6，24，8，其总和为38， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 6 （4 分）当1x1 时，函数

15、yx22mx+2n+1 的最小值是4，最大值是 0，则 m、n 的值分别是 1，1 或 1，1 【解答】解：函数 yx22mx+2n+1（x+m）2+m2+2n+1， 该函数图象开口向下，对称轴为直线 xm， 当1x1 时，函数 yx22mx+2n+1 的最小值是4，最大值是 0， 当m1 时，m1，当 x1 时，y0，当 x1 时，y4， 即，解得，不符合 m1，故此种情况不存在； 当1m1 时，1m1，xm 时，y0，当 x1 时 y4 或 x1 时 y4， 即或， 解得或； 当m1 时，m1，当 x1 时，y0，x1 时，y4， 即， 解得，不符合 m1，故此种情况不存在； 由上可得，m

16、、n 的值分别是1，1 或 1，1， 故答案为：1，1 或 1，1 7 （4 分）过原点的直线与双曲线 y分别交于 A、B 两点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为点 C（如图） ， 则ABC 的面积为 2 【解答】解：设点 A 坐标为（a，b） ， 则点 B 的坐标为（a，b） ， b，即 ab2， 根据题意可知，SBOC1， 1， SABCSBOC+SAOC1+12 故答案为：2 8 （4 分）2019 年 7 月，中共中央国务院发布的关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见 中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课” 我校积极响应，率先落实意见的相关精神，将 学校的公共卫生

17、清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成立三个小组，分别承担本班的“走廊清 扫” 、 “栏杆清洁及维护” 、 “垃圾转运”这三项劳动任务现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中 任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为 （直接填数字） 【解答】解：画树状图如图： 共有 24 个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有 18 个， 其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为， 故答案为： 9 （4 分）若 7+和 5的小数部分分别为 m，n，则+ 【解答】解：34， 7+的整数部分是 7+310，小数部分为 m3； 5的

18、整数部分是 541，小数部分为 n4； 则+ 故答案为： 10 （4 分）方程（a21）x22（5a+1）x+240 有两个不等负整数根，则整数 a 的值是 2 【解答】解：4（5a+1）2424（a21）4（a+5）2， x， x1，x2， 由方程有两个不等负整数根和 a 为整数， a5，且由 x1，得 a0 或1 或2； 由 x2，得 a2 或3； 所以 a 只能为2 故答案为2 11 （4 分）如图，点 D 在ABC 的边 BC 上，C+BADDAC，tanBAD，AD，CD13， 则线段 AC 的长为 4 【解答】解：作DAEBAD 交 BC 于 E，作 DFAE 交 AE 于 F，作

19、 AGBC 交 BC 于 G C+BADDAC， CAEACB， AEEC， tanBAD， 设 DF4x，则 AF7x， 在 RtADF 中，AD2DF2+AF2，即（）2（4x）2+（7x）2， 解得 x11（不合题意舍去） ，x21， DF4，AF7， 设 EFy，则 CE7+y，则 DE6y， 在 RtDEF 中，DE2DF2+EF2，即（6y）242+y2， 解得 y， DE6y，AE， 设 DGz，则 EGz，则 （）2z2（）2（z）2， 解得 z1， CG12， 在 RtADG 中，AG8， 在 RtACG 中，AC4 故答案为：4 12 （4 分）定义a，b，c为函数 yax

20、2+bx+c 的特征数，下面给出特征数2m，1m，1m的函数的一 些相关结论： 当 m2 时，抛物线的顶点为（，） ； 当 m0 时，函数图象恒过定点； 当 m0 时，函数在 x1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段的长度大于 其中正确的结论是 （直接填正确结论的编号） 【解答】解：当 m3 时，特征数为4，3，1， 则抛物线的表达式为 y4x2+3x+1， 则抛物线的对称轴为 x， 当 x时，y4x2+3x+1，故正确； 当 x1 时，y2mx2+（1m）x+（1m）2m+（1m）+（1m）0 即对任意 m，函数图 象都经过点（1，0）那么同样的：当

21、m0 时，函数图象都经过同一个点（1，0） ，当 m0 时，函数图 象经过同一个点（1，0） ，故当 m0 时，函数图象经过 x 轴上一个定点，故结论正确； 当 m0 时，y2mx2+（1m）x+（1m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对 称轴的右边 y 随 x 的增大而减小因为当 m0 时，即对称轴在 x右边，因此函数在 x 右边先递增到对称轴位置，再递减，故错误； 当 m0 时，令 y0，有 2mx2+（1m）x+（1m）0，解得 x11，x2，|x2x1| +，所以当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于，故正确 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4

22、 小题，共小题，共 52 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13 （10 分）如图 1，AB 是O 的直径，C 是圆上一点，BAC 的平分线交O 于点 D，过 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E （1）若 AB20，AC12，求 BD，DE 的长； （2）若 F 是 OA 的中点，FGOA 交直线 DE 于点 G，如图 2，若 FG，tanBAD，求O 的 半径 【解答】解： （1）如图 1，连接 BC，OD 交于点 N， DEAE， E90， AB 是O 的直径， ACBBCE90， OAOD， OADODA， AD 平分

23、BAC， OADDAE， ODACAD， ODAE， NDE90， BCEE90， 四边形 DECN 是矩形， CND90， ODBC， BNCNBC，DENC， RtABC 中，AB20，AC12， BC16， DEBNCN8， O 是 AB 的中点， ON 是ABC 的中位线， ONAC6， RtBDN 中，且 ON6，DN4，BN8， BD4； （2）如图 2，设 FG 与 AD 交于点 H，过点 G 作 GMHD，垂足为 M， tanBAD 设 BD3x，AD4x，则 AB5x， F 为 OA 的中点， AFx， GFAB AFH90 tanBAD FHAFtanBADx， 同理得：A

24、Hx， HDADAH4xxx， 由（1）知：HDG+ODA90， 在 RtHFA 中，FAH+FHA90， OADODA，FHADHG， DHGHDG， GHDG，MHMD， HMHDx， 在 RtHGM 中，HGx， FH+GH，即， 解得：x， O 的半径为8 14 （12 分）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工 厂自身生产工料，该工厂去年（2 月至 12 月）每月所需的工料总量均为 12000 件，由于工厂生产车间处 于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进 行，2 月至 6 月，该工厂从市

25、场上采购的工料量 y1（件）与月份 x（2x6，且为整数）之间满足的 函数关系如表： 月份 x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量 y1（吨） 6000 4000 3000 2400 2000 7 至 12 月，该工厂自身生产的工料量 y2（件）与月份 x（7x12，且 x 取整数）之间满足二次函数关 系式为 y2ax2+c（a0） 其图象如图所示2 至 6 月，该工厂每件工料的市场成本 z1（元）与月份 x 之间满足函数关系式：z1x，该工厂自身生产的每件工料的成本 z2（元）与月份 x 之间满足函数关系 式：z2xx2；7 至 12 月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为 3

26、 元/件，该工厂自身 生产的工料成本为 1.5 元/件 （1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写 出 y1，y2与 x 之间的函数关系式； （2）请你求出该工厂去年（2 月至 12 月）哪个月份所需的工料总费用 W（元）最多，并求出这个最多 费用 【解答】解： （1）根据表格中数据可以得出 xy1定值，则 y1与 x 之间的函数关系为反比例函数关系： y1，将（2，6000）代入得： k2600012000， 故 y1（2x6，且 x 取整数） ； 根据图象可以得出：图象过（7，10049） ， （12，10144）点， 代入 y2ax2+c

27、（a0）得：， 解得：， 故 y2x2+10000（7x12，且 x 取整数） ； （2）当 2x6，且 x 取整数时： Wy1z1+（12000y1） z2x+（12000） （xx2） ， 1000 x2+10000 x3000， a10000，x5，2x6， 当 x5 时，W最大22000（元） ， 当 7x12 时，且 x 取整数时， W2（12000y2）+1.5y22（12000 x210000）+1.5（x2+10000） ， x2+19000， a0，x0， 当 7x12 时，W 随 x 的增大而减小， 当 x7 时，W最大18975.5（元） ， 2200018975.5，

28、去年 5 月用于所需的工料总费用最多，最多费用是 22000 元 15 （14 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，对角线 AC，BD 交于点 O点 P 从点 A 出发， 沿 AD 方向匀速运动， 速度为 1cm/s； 同时， 点 Q 从点 D 出发， 沿 DC 方向匀速运动， 速度为 1cm/s； 当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接 PO 并延长，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC，交 BD 于点 F设运动时间为 t（s） （0t6） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，AOP 是等腰三角形？ （2）设五边形 OECQF 的面积为 S（cm2）

29、 ，试确定 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S五边形OECQF：SACD9：16？若存在，求出 t 的值；若不 存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OD 平分COP？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说 明理由 【解答】解： （1）在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm， AC10， 当 APPOt，如图 1， 过 P 作 PMAO 于点 M， AMAO， PMAADC90，PAMCAD， APMACD， ， APt， 当 APAOt5， 当 t 为或 5 时，AOP 是等腰三角形； （2）过点 O 作 OHBC

30、交 BC 于点 H，则 OHCDAB3cm 由矩形的性质可知PDOEBO，DOBO，又得DOPBOE， DOPBOE（ASA） ， BEPD8t， 则 SBOEBEOH3（8t）12t FQAC， DFQDOC，相似比为， SDOCS矩形ABCD6812cm2， SDFQ12 S五边形OECQFSDBCSBOESDFQ68（12t）t2+t+12； S 与 t 的函数关系式为 St2+t+12； （3）存在， SACD6824， S五边形OECQF：SACD（t2+t+12） ：249：16， 解得 t3，或 t， t3 或时，S五边形OECQF：SACD9：16； （4）如图 3，过 D 作

31、 DMPE 于 M，DNAC 于 N， PODCOD， DMDN， ONOM， OPDM3PD， OP5t， PMt， PD2PM2+DM2， （8t）2（t）2+（）2， 解得：t16（不合题意，舍去） ，t， 当 t时，OD 平分COP 16 （16 分） 已知一次函数 y1kx+m 与二次函数 y22ax2+bx+c （a0， b 为整数） 的图象交于 A （22， 32） 、B（2+2，3+2）两点，二次函数 y22ax2+2bx+c 和二次函数 y3ax2+bx+c1 的最小值 的差为 1 （1）求 y1、y2、y3的解析式； （2）P 是 y 轴上一点，过点 P 任意作一射线分别交

32、 y2、y3的图象于 M、N，过点 M 作直线 y1 的垂 线，垂足为 G，过点 N 作直线 y3 的垂线，垂足为 H是否存在这样的点 P，使 PMMG、PNNH 恒成立，若存在，求出 P 点的坐标，并探究是否为定值；若不存 PN 在请说明理由 （3）在（2）的条件下设过 P 点的直线 l 交二次函数 y2的图象于 S、T 两点，试求+的值 【解答】解： （1）将 A（22，32） 、B（2+2，3+2）代入到 y1kx+m，得， ， 解得， y1x+1， 联立， 化简得 2ax2+（2b1）x+c10， 由根与系数关系可得， 化简得，8a+2b1， 二次函数 y22ax2+2bx+c 和二次

33、函数 y3ax2+bx+c1 的最小值的差为 1， ， b0， a， ， 将 A 点坐标代入到，得， ， c0， y1x+1，； （2）如图 1，设 P（0，t） ，M（u，v） ， PM2u2+（vt）2u2+v2+t22vt， MGv+1， PMMG， PM2MG2， u2+v2+t22vtv2+2v+1， u2+t22vt2v+1， M 点在抛物线上， ， u24v， 将上式代入到中，化简得， 2v+t22vt10， （t1） （t+12v）0， 上式对任意 v 都成立， t10， t1， P（0，1）时，使 PMMG 恒成立， 同理可得，当 P（0，1）时，使 PNNH 恒成立， P

34、点的坐标为（0，1）时，使 PMMG，PNNH 恒成立， 设 NH 与直线 y1 交于点 K，直线 y1 与 y 轴交点为 E， MGy 轴，NHy 轴， POMGNK， ， 设直线 PM 为 ykx+1， 联立， 化简得，x24kx40， ， M 的横坐标为， EG， 同理，EK4k+4， ， 即存在这样的点 P（0，1） ，使 PMMG、PNNH 恒成立，； （3）设直线 l2为 ynx+1，S（x1，y1） ，T（x2，y2） ， 联立， 化简得，x24nx40， x1+x24n，x1x24， y1+y2n（x1+x2）+24n2+2， y1y2， 如图 2，分别过 S，T 作直线 y1 的垂线，垂足为 D，Q， 由（2）可得，PSSDy1+1，PTTQy2+1， 1， 即