初三上册数学直升班培优讲 义:第2讲 可化为一元二次方程的其他方程(教师版)
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1、1 第第 2 2 讲讲 可化为一元二次方程的其他方程可化为一元二次方程的其他方程 模块一模块一 可化为一元二次方程的高次方程可化为一元二次方程的高次方程 在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时,通常有两种转化方法 1 1因式分解法:因式分解法: 如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式,可以用因式 分解法 2 2整体换元法:整体换元法: 在一个式子中要善于观察几个式子的关系,有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数 的,可以用整体换元法,实现降次的目的 模块二模块二 可化为一元二次方程的分式方程可化为一元二次方程的分式方程 在遇到这类可
2、转化为一元二次方程的分式方程时,通常有两种转化方法 1 1去分母法去分母法: 在遇到分式方程时,往往先去分母,即通分然后求解 2 2整体换元法:整体换元法: 在一个分式方程中,如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的时候 可以考虑整体换元法,实现化简的目的 注意:注意:在分式方程中,不管用什么方法解出来,最后一定要验根,因为要使得分式方程有意义,分母不为 0,在这个过程中可能产生增根 模块三模块三 可化为一元二次方程的绝对值方程可化为一元二次方程的绝对值方程 在遇到这种可转化为一元二次方程的绝对值方程时,通常有两种转化方法 1 1分类讨论法:分类讨论法:遇到绝对值
3、方程时,可以先去绝对值,而去绝对值,就意味着要分类讨论 第一步,找出分段点,考虑当绝对值符号内的式子等于 0 时,x的取值,由此划分 x 取值 第二步,根据x取值讨论去绝对值,得到相应转化的一元二次方程 第三步,用合适的方法求解,但是解得的解应该在讨论的x取值内 第四步,依次写出满足绝对值方程的所有根 2 2整体换元法:整体换元法:在遇到一个特定的方程时,如果分类讨论,虽然可行但较为繁琐,可以考虑用整体换元 法 注意:注意:在绝对值方程中,要记着考虑绝对值的非负性 模块四模块四 可转化为一元二次方程的根式方程可转化为一元二次方程的根式方程 在遇到这类可转化为一元二次方程的根式方程时,通常有两种
4、转化方法 2 1两边平方法:等式的两边同时平方,然后化简得到相应的一元二次方程 2整体换元法:在含根式方程的一个方程中,如果几个式子存在特殊的关系,可以考虑整体换元法 特别注意:特别注意:在根式中解的时候,解一定要使得根号下非负;在整体换元的时候要考虑到换的元的取值范围 内,在取值范围内的解才有意义,最后也要像分式方程那样进行验根 模块一 可化为一元二次方程的高次方程 解方程: (1)xxx (2)()xxxx (3)()() =xx 【解析】【解析】(1)由题意得()x xx , 所以x 或xx , 当xx 时,得()()xx , 此时方程无解 综上所述,原方程得解为x (2)令txx ,则
5、xxt , 代入原方程得:()tt , 即得到tt ,()t ,t , 将t的表达式代入得xx , 即xx ,解得x , 所以,xx (3)令tx,则xt, 则() =tt ,所以tt , 得t ,t, 将t的代数式代入得到x,x 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是想让学生们熟悉转化为一元二次方程的高次方程的方法,整体换元法和因式分 解法,让大家熟悉这两种方法的过程并且考查孩子们的观察能力,希望孩子们在做题前好 好分析式子的特点 模块二 可转化为一元二次方程的分式方程 例题 1 3 解分式方程: (1) x xxx (2) ()()xx xx 【解析】【解析】(1)把第三个分式的分母
6、x变形为x ,得 ()() x xxxx 方程两边都乘以()()xx, 得()()()xxxxx , 即xx ,解得x,x 检验:把x 化入最简公分母,它不等于 0,所以x 是原方程的根; 把x 代入最简公分母,它等于 0,所以x 是增根 因此原方程的根是x (2)设 x y x ,那么 x xy ,于是原方程变形为y y 方程的两边都乘以y,约去分母,得yy 解这个方程,得y ,y 当y 时, x x ,去分母,整理得xx 所以x , 当y 时, x x ,去分母,整理得xx 所以x 检验:把x ,x 分别原方程的分母,各分母都不等于 0,所以它 们都是原方程的根 综上:原方程的根是x,x,
7、x ,x 例题 2 54 【教师备课提示】【教师备课提示】 (1)这个分式方程如果用去分母法解,方程两边要同乘以()()xx,所得到的将是一个 难题的四次方程所以,要考虑别的解法 (2)观察方程的特点,可见含未知数的两部分式子 x x 与 x x 互为倒数 (3)由于具有倒数关系,如果设 x y x ,则 x xy ,原方程就可变形为 y y , 此方程去分母可化为一元二次方程xy 从中解出y,再解出x因此,原分式方 程可用换元法来解 (1) x xx xx (2)xxxx (3)xxxxx 【解析】【解析】(1)换元的方法x,x ,x (2)显然x ,两边同除以x, 得:xx xx , 即x
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