初三上册数学直升班培优讲 义:第6讲 二次函数的图像性质和解析式(教师版)
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1、第第 6 6 讲讲 二次函数的图像性质和解析式二次函数的图像性质和解析式 模块模块一:二次函数的定义一:二次函数的定义 1定义:一般地,形如 2 yaxbxc(a,b,c是常数,0a )的函数,叫做二次函数其中x是自变 量,a,b,c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 注意:注意:二次函数的二次项系数0a ,而b、c可以为零 模块模块二:二次函数的图象和性质二:二次函数的图象和性质 1二次函数的图象为抛物线,图象注意以下几点:开口方向,对称轴,顶点 2二次函数 2 yax(0)a 的性质: (1)函数 2 yax的图象与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点; 当0a
2、 时抛物线开口向下顶点为其最高点; |a决定抛物线的开口大小:|a越大,抛物线开口越小;|a越小,抛物线开口越大 (2)抛物线 2 yax的顶点是坐标原点(0, 0),对称轴是0 x (y轴) a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 (0, 0) y轴 0 x 时,y随x的增大而增大;0 x 时,y随 x的增大而减小;0 x 时,y有最小值 0 0a 向下 (0, 0) y轴 0 x 时,y随x的增大而减小;0 x 时,y随 x的增大而增大;0 x 时,y有最大值 0 3二次函数 2 (0)yaxc a的性质: a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a
3、向上 (0, c) y轴 0 x 时,y随x的增大而增大;0 x 时,y随 x的增大而减小;0 x 时,y有最小值c 0a 向下 (0, c) y轴 0 x 时,y随x的增大而减小;0 x 时,y随 x的增大而增大;0 x 时,y有最大值c 4二次函数 2 ()ya xhk(0a )的性质: a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 0a 向上 (h,k) x=h xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随 x的增大而减小;xh时,y有最小值k 0a 向下 (h,k) x=h xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随 x的增大而增大;xh时,y有最大值k 5二次函数 2 yaxbxc
4、(0a 的性质: 配方:二次函数 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 0a 向上 ( 2 b a , 2 4 4 acb a ) 2 b x a 2 b x a 时,y随x的增大而增大; 2 b x a 时,y随x的增大而减小; 2 b x a 时,y有最小值 2 4 4 acb a 0a 向下 ( 2 b a , 2 4 4 acb a ) 2 b x a 2 b x a 时,y随x的增大而减小; 2 b x a 时,y随x的增大而增大; 2 b x a 时,y有最大值 2 4 4 acb a 注意:注意:二次函数
5、2 yaxbxc与坐标轴的交点: (1)与y轴的交点:(0, ) c; (2)与x轴的交点:使方程 2 0axbxc成立的x值 模块三模块三:二次函数的:二次函数的解析式解析式 1一般式: 2 (0)yaxbxc a 已知图象上三点 11 ()x y,、 22 ()xy,、 33 ()xy,可用一般式求解二次函数解析式 2顶点式: 2 ()(0)ya xhk a 已知抛物线的顶点或对称轴,可用顶点式求解二次函数解析式 3交点式: 12 ()()(0)ya xxxxa 已知抛物线与x轴的两个交点坐标,可用交点式求解二次函数解析式 4对称式: 12 ()()(0)ya xxxxk a 已知抛物线经
6、过点 1 (, )xk、 2 (, )xk时,可以用对称式来求二次函数的解析式 注意:注意: (1)二次函数的解析式求解,最后结果一般写成一般式或顶点式,不写成交点式; (2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有 抛物线与x轴有交点,即 2 40bac时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式 可以互化 模块一 二次函数的定义 (1)在函数 2 1 31 2 yxx; 2 (32)(43)12yxxx; 2 yaxbxc(a、b、c是常数) ; 2 20yxkx(k为常数) ; 2 2 5 6yx x 中,y关于x的二次函
7、数是_ (填写序号) (2)当m _时,函数 2 24 (4)3 mm ymxx 是二次函数 (3)下列函数关系中,可以看作二次函数 2 yaxbxc(0)a 模型的是( ) A圆的周长与半径之间的关系 B在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 C矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D我国人口的自然增长率为 1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 【解析】【解析】(1); (2)3; (3)C 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的定义,判断是否是二次函数满足以下三点: (1)函数解析式在等号两边都是整式; (2)含有一个自变量,且自变量的最高次数时 2;
8、(3)二次项系数不等于零 模块二 二次函数的图象和性质 例题 1 (1)若二次函数 22 2yaxbxa(a,b为常数)的图象如图 2-1,则a的值为_ (2)如图 2-2,抛物线对应的解析式为 2 1 ya x, 2 2 ya x, 2 3 ya x, 2 4 ya x,将 1 a、 2 a、 3 a、 4 a从 小到大排列为_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】(1)2; (2) 4321 aaaa 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数中a的作用: (1)a的正负性决定抛物线的开口方向;0a ,开口向上;0a ,开口向下 (2)| |a决定抛物线的开口大小:|a越大
9、,开口越小;|a越小,开口越大 (1)抛物线 2 23yxbx的对称轴是直线2x ,则b的值为_,顶点坐标为_ (2)抛物线 2 23 (0)yaxaxa a的对称轴是直线_,与x轴的交点为_和_ (3)二次函数 2 2(1)4yxkx的顶点在y轴上,则k _,若顶点在x轴上,则k _ 【解析】【解析】(1)8,( 2, 5); (2)1x ,( 1,0),(3,0); (3)1,1 或3 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称轴和顶点的求解: (1)对称轴 2 b x a ,顶点( 2 b a , 2 4 4 acb a ) ,记住套用; x y O x y O 例题
10、2 例题 3 (2)配方求解 (1) 若点 1 (2,)Ay, 2 ( 3,)By, 3 (5,)Cy三点在抛物线 2 4yxxm的图象上, 则 1 y、 2 y、 3 y的大小关系是 ( ) A 123 yyy B 213 yyy C 231 yyy D 321 yyy (2)已知二次函数 2 4(0)yaxaxc a,当自变量x分别取2,3,0 时,对应的值分别为 1 y, 2 y, 3 y, 则 1 y, 2 y, 3 y的大小关系正确的是( ) A 321 yyy B 123 yyy C 213 yyy D 312 yyy (3)已知二次函数 2 (1)1yxmx,当1x 时,y随x的
11、增大而增大,则m的取值范围是_ 【解析】【解析】(1)C; (2)A; (3)1m 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的增减性,增减性和抛物线的对称轴、开口方向有关 (1)已知抛物线经过点( 2,7)A ,(6,7)B,(3,8)C,8D m ,则m _ (2)已知抛物线 2 21yxx经过点( , )A m n,(6, )B mn,则n _ (3)已知点 1 ( ,5)A x, 2 (,5)B x是函数 2 3yxmx上两点,则当 12 xxx和x _时的函数值相等 【解析】【解析】(1)1; (2)9; (3)0 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的
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