初三上册数学直升班培优讲 义:第8讲 二次函数的区间最值及应用(教师版)
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1、第第 8 8 讲讲 二次函数的区间最值及应用二次函数的区间最值及应用 模块模块一:二次函数的一:二次函数的区间最值区间最值 1定轴定区间 对于二次函数 2 (0)yaxbxc a在mxn 上的最值问题(其中a、b、c、m和n均为定值, max y 表示 y的最大值, min y 表示y的最小值) (1)若自变量x为全体实数,如图,函数在 2 b x a 时,取到最小值,无最大值 (2)若 2 b n a ,如图,当xm, max yy ;当x n , min yy (3)若 2 b m a ,如图,当x m , min yy ;当x n , max yy (4)若 2 b mn a , 22
2、bb nm aa ,如图,当 2 b x a , min yy ;当x n , max yy 2动轴或动区间 对于二次函数 2 (0)yaxbxc a,在mxn(m,n为参数)条件下,函数的最值需要分别讨论m,n 与 2 b a 的大小 模块二模块二:二次函数的:二次函数的应用应用 1常见应用题类型按照考频从高到低可以分为: (1)经济利润类问题; (2)方案选择类问题; (3)行程问题; (4)数学建模类问题; (5)工程问题。 x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a x=- b 2a 2解应用题的关键在于审题,理解题意,尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、
3、 一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点,在求最值的过程中一定要注意自变量 的取值范围。 模块一模块一 二次函数的区间最值二次函数的区间最值 分别求出在下列条件下,函数 2 231yxx的最值: (1)x取任意实数; (2)当20 x 时; (3)当13x 时; (4)当12x 时 【解析】【解析】(1) 2 317 2 48 yx ,当 3 4 x 时,函数的最大值为 17 8 ,无最小值; (2) 3 4 x 在20 x 右侧, 当0 x 时,函数取得最大值 1;当2x 时,函数取得最小值13; (3) 3 4 x 在13x左侧, 当1x 时,函数取得最大值 2;当
4、3x 时,函数取得最小值8; (4) 3 12 4 ,且 33 12 44 , 当 3 4 x 时,函数取得最大值 17 8 ;当1x 时,函数取得最小值4 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法(1)配方,求对称轴, (2)画草图 试求(1)(2)(3)(4)5yxxxx在33x 的最值 【解析】【解析】令 2 5txx,则有 222 (54)(56)5(4)(6)51029yxxxxtttt 当33x 时,t的取值范围是 25 24 4 t , 原题转化为当 25 24 4 t 时,求 2 1029ytt的最大值和最小值 2 54yt,故当5t 时, min 4y而当 2
5、 55xx 解得: 1,2 55 2 x , 例题 1 例题 2 又33x ,当 55 2 x 时, min 4y 当 25 4 t 时, 9 516y ;当24t 时,845y ,而 9 845516, 当24t 时,即3x 时, max 845y 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值. 已知函数 2 22yxx在1txt 范围内的最小值为s,写出函数s关于t的函数解析式 【解析】【解析】二次函数 2 22yxx的对称轴是1x , 当1t 时,对称轴在x t左边, 2 22stt; 当11tt ,即01t 时,最小值s在顶点处取得,1s ; 当1
6、1t ,即0t 时,对称轴在1xt 右边, 2 1st 综上所述: 2 2 1(0) 1(01) 22 (1) tt st ttt 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题讲解动区间最值的求法(1)配方,求对称轴, (2)画草图, (3)分类讨论 已知函数 22 962yxaxaa在区间 11 33 x 有最大值3,求实数a的值 【解析】【解析】因为 2 92 3 a yxa , 11 33 x ,它的对称轴是直线 3 a x , (1)当 1 33 a 时,即1a 时,y在区间 11 33 x 随着x的增加而减少, 这时,当 1 3 x 时,函数的最大值是 2 41aa, 2 413aa 得2
7、6a 因 1a ,故 26a (2)当 11 333 a 时,即11a 时,这时,当 3 a x 时,函数的最大值是2a, 23a 得 3 2 a ,这与11a 矛盾 例题 3 例题 4 (3)当 1 33 a ,即1a 时,y在区间 11 33 x随着x增加而增加, 这时,当 1 3 x 时,函数的最大值是 2 1a, 2 13a ,得2a 因为 1a ,故 2a 综上所述,满足题意的a为2 6 或 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解动轴最值的求法,和动区间最值求法一样 若函数 2 113 22 yx 在区间()axb ba上的最小值为 2a,最大值为 2b求a、b的值 【解
8、析】【解析】函数的对称轴为,下面分三种情况加以讨论: (1)若0ab时,即函数在区间axb上单调递减,有 2 2 113 2 22 113 2 22 ab ba ,解得 1 3 a b (2)若0ab时,则由函数图象知, 函数在ax 0上单调递增,在xb0 上单调递减, 因此在0 x 处有最大值 2b,即 13 2 2 b ,得 13 4 b 而函数的最小值在x a 或xb处取得, 又由于0a ,并且当xb时, 2 1 131339 0 24232 y , 故函数的最小值在x a 处取得,则有 2 113 2 22 aa , 解得或(舍去) 从而 217 13 4 a b (3)当0ab时,即
9、函数在区间axb上单调递增,有 2 2 113 2 22 113 2 22 aa bb 由于a、b是方程 2 113 2 22 xx 的两个根,又因为两根之积为负数, 0 x 217a 217a 例题 5 即两根异号,这与0ab矛盾,故不存在 综上所述,得 1 3 a b 或 217 13 4 a b 【教师备课提示】【教师备课提示】例题 5 和例题 6 是在动轴或动区间的基础上添加计算量,锻炼孩子们分类讨论的能力和综合 计算的能力 设 2 3yxaxa ,当22x 时,y的最小值不小于 0,求实数a的取值范围 【解析】【解析】 2 2 3 24 aa yxa ,对称轴是 2 a x 当 2
10、2 a ,即4a 时,二次函数在2x 时取得最小值73a 由730a,得 7 3 a ,这与4a 矛盾,此时a不存在 当2 2 2 a ,即44a 时,二次函数在 2 a x 时取得最小值 2 3 4 a a 由 2 2 30412062 4 a aaaa ,此时42a 当 2 2 a ,即4a 时,二次函数在2x 时取得最小值7a 由70a,得7a,此时74a 综上所述,a的取值范围是72a 模块二 二次函数的应用 某超市销售某种玩具,进货价为 20 元 根据市场调查:在一段时间内, 销售单价是 30 元时, 销售量是 400 件, 而销售单价每上涨 1 元,就会少售出 10 件玩具,超市要
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