初三上册数学直升班培优讲 义：第11讲 圆一（教师版）

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1、 1 第第 1111 讲讲 圆圆( (一一) ) 模块一模块一 圆的基本概念圆的基本概念 定 义 示例剖析 圆：圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 由圆的定义可知：由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平 面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上因此， 圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成 的图形 （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的 位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径 长确定圆的大小 表示为“O” 圆心相同且半径相

2、等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆 弦和弧：弦和弧： 1连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做 直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的 2 倍 2圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 3圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 条弧都叫做半圆 4在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫 做劣弧 表示：劣弧AB 优弧ACB或AmB 圆心角和圆周角：圆心角和圆周角： 1顶点在圆心的角叫做圆心角 2顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

3、 圆O 半径圆心 A O 等圆 O O 同心圆 O Cm 劣弧 优弧 弦 B A O O D C B A 圆周角 圆心角 2 扇形和弓形扇形和弓形 1一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫 扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长： 2 360 Sr ， 180 lr 2由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 模块二模块二 垂径定理垂径定理 1 1圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心 2 2垂径定理垂径定理 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，

4、并且平分弦所对的两条弧 注意：注意：垂径定理中的五个元素“过圆心” 、 “垂直弦” 、 “平分弦” 、 “平分优弧” 、 “平分劣弧” ，构成知二 推三. 模块三模块三 圆周角定理圆周角定理 定理 示例 定理：定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心 角的一半 如图， 1 2 ACBADBAOB 推论推论 1 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直 角，90的圆周角所对的弧（或弦）是半圆 （或直径） 如图，AB是半圆（AB是直径） ，则90ACB 扇形 A B OO B A弓形 D 图1 O C B A 图3 O C BA 3 推论推论 2 2：圆内接四边形的对角

5、互补 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，则 180ABCD ，由推论 2，我们可以得到圆内接 四边形的外角等于内对角，如图，即DCEA 模块一 圆的基本概念 判断下列正误 （1）半径相等的两个圆是等圆 （ ） （2）过圆心的线段是直径 （ ） （3）半圆所对的弦是直径 （ ） （4）直径是圆中最大的弦 （ ） （5）半圆是弧 （ ） （6）长度相等的弧是等弧 （ ） （7）两个端点能够重合的弧是等弧 （ ） （8）圆中任意一条弦所对的弧有两条，其中一条优弧，一条劣弧 （ ） （9）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于 0 且不大于 2R （ ） 【解析】【解析】正确的是（1） （3） （4

6、） （5） （9） 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查圆的基本概念 （1） 如图 2-1，AB为O的直径，CD是O的弦，AB、 CD的延长线交于点E， 若2A BD E，18E，AOC _ （2）如图 2-2，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm 2，则该半圆的半径为_ E D C B A 图4 O 例题 1 例题 2 4 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】（1）54（连结OD即可） （2）如图，连三条半径，由已知小正方形半径为 4cm， 设大正方形半径为 2x， 则 222 5(4)4xx， 整理得 2 280 xx， 解得 1 4x ， 2 2x （

7、舍去） 大正方形半径为 8cm，则半圆的半径为4 5cm 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查对圆的概念的理解，圆上所有点到圆心的距离都等于半径，连半径是一个很 好的思路 模块二模块二 垂径定理垂径定理 （1）如图 3-1，CD为O的直径，ABCD于E，8cmDE ，2cmCE ，则AB _ （2）如图 3-2，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F，8cmGB ，1cmAG ，2cmDE ，则EF _ （3） （安徽芜湖中考）如图 3-3，在O内有折线OABC，其中8OA ，12AB ，60AB ，则BC的长 为_ 图 3-1 图 3-2 图 3-3 O E D C BA

8、例题 3 A O B E D C D EF C BA G O C 5 【解析】【解析】（1）8cm； （2）过O点作OHCD于H 由题意得：4cmOG ，5cmAO ，则3cmEH ， OHEF， 1 2 EHEF，6cmEF （3）20 【教师备课提示】【教师备课提示】 这道题主要考查垂径定理的应用，作垂线， 连半径是求弦长，求半径， 求弦心距的常见思路 （1）如图 4-1，过O内一点M的最长弦长为 12cm，最短弦长为 8cm，则OM长为_ （2）如图 4-2，点P是半径为 5 的O内一点，且3OP ，在过点P的所有O的弦中，弦的长度为整数的条 数有_ 图 4-1 图 4-2 【解析】【解

9、析】（1）2 5cm； （2）4 条. 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查最短弦的问题 （1）直径为 50cm 的O中，弦AB/弦CD，又40cmAB ，48cmCD ，则AB和CD两弦的距离为_ （2） （郴州中考） 已知在O中， 半径5r ，AB、CD是两条平行弦， 且8AB ，6CD ， 则AC的长为_ 【解析】【解析】（1）22cm 或 8cm （2）此题要分四种情况讨论，不仅要讨论弦AB、CD在圆心的同、异侧，还要讨论A、C两点在两弦垂 直平分线的同、异侧如下图 例题 4 例题 5 D EF C BA G O H O M g g O P g 6 连接半径，作出垂径，求解是

10、不困难的 图（1）中2AC ；图（2）中5 2AC ；图（3）中5 2AC ；图（4）中7 2AC AC的长为2或5 2或7 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查平行线的问题，注意分类讨论 如图，P为O外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M，N分别是AB，CD的中点，连接MN交AB，CD与 E，F （1）求证：PEF为等腰三角形； （2）探究：当点P在O上或O内时其它条件不变，结论还成立吗? 图 6-1 图 6-2 图 6-3 【解析】【解析】（1）连结OM，ON，分别交AB，CD于G，H. M，N分 别 是AB，CD的 中 点 ， O MA B，ONCD， 即 90MGE

11、NHF . 又OMON，MN ，由此得MEGNFH， 即PEFPFE，PEPF，即PEF为等腰三角形. （2）PEF依旧是等腰三角形，证明方法和（1）类似. 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题是利用垂径定理证明等量关系,也是垂径定理经典应用之一. 图(4)图(3)图(2)图(1) AB CD O E F AB CD O E F AB CD O E FF E O DC BA 例题 6 P M B D N C A E F g O G H P M B D N C A E F g O P M N A B F F g O M A CN B D F E P g O 7 模块三 圆周角定理 （1）已知A

12、、B为O圆周上任意两点，C是优弧AB上一点，请你判断ACB与AOB的大小关系 根据上面的推理，可以发现_ （2）若点D是优弧AB上任意一点，试判断ADB与ACB的大小关系根据上面的推理，可以发现： _ （3）如果点D在劣弧AB上，此时ADB和ACB的大小关系还一样吗？可以得到什么结论？ 【解析】【解析】（1）应分为三种情况： 辅助线如图所示，证明过程不再赘述 可以发现：在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半 （2）由（1）可知，ADBACB ，可以发现：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等 （3）如图，ADB与ACB互补可以得到：圆内接四边形的对角互补 【教师备课提示】【教师备课提示】这

13、道题主要是用于各位老师讲解圆周角定理的证明时候用的一道题，不用自己画图了 （1）一条弦分圆为1:5两部分，则这条弦所对圆周角的度数为_ O O O O C A B D 图3图2图1 D D A B C O O C B A O C B A 图3图2图1 D D A B C O O C B A O C B A 图3图2图1 D D A B C O O C B A O C B A 例题 7 例题 8 O C D A B 8 （2） 如图 8-1，A、B、C、D是O上的点， 直径AB交CD于点E， 已知57C，45D， 则C E B_ （3）如图 8-2，AB为O的弦，ABC的两边BC、AC分别交O于

14、D、E两点，60B，70EDC，则 C_ （4）如图 8-3，ABC内接于O，AB是直径，4BC ，3AC ，CD平分ACB，则弦BD的长为_ 图 8-1 图 8-2 图 8-3 【解析】【解析】（1）30或150； （2）102； （3）50； （4） 5 2 2 【教师备课提示】【教师备课提示】 圆周角定理是圆中倒角的一个基础工具， 需要注意灵活应用,这道题主要是用于大家练习圆周 角定理 如图，ABC是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合） ，设OAB，C猜 想与之间的关系，并给予证明 【解析】【解析】与之间的关系是90 证一：连接OB，则OAOBOBAOAB 1802

15、AOB 11 (1802 )90 22 CAOB 90 证二：连接OB，则OAOB 22AOBC 过O作ODAB于点D，则OD平分AOB 例题 9 D O C B A O C B A C A E B D A C O DB g E C A B O D 9 1 2 AODAOB 在RtAOD中，90OADAOD，90 证三：延长AO交O于E，连接BE，则EC AE是O的直径，90ABE 90BAEE，90 【教师备课提示】【教师备课提示】例 8 和例 9 主要练习下孩子们的圆周角定理的倒角能力 模块一 圆的基本概念 如图，CD是O的直径，87EOD，AE交O于B，且ABOC，求A的度数 【解析】【

16、解析】连结OB，ABOC，OBOC，OBAB， 设Ax，则BOAx.2OBEBOAAx . OEOB，2OEAOBEx . 387EODEAx ，29x ，即29A. （1） 如图 2-1， 点A、D、G、M在半圆O上， 四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形， 设BCa，EFb，NHc， 则下列选项中正确的是（ ）. Aabc Babc Ccab Dbca O E D C B A O E DC B A 演练 1 演练 2 E O C B A 10 （2） （河南中考）如图 2-2，在半径为5，圆心角等于45的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA 上，点D、E在OB上，点F在A

17、B上，则阴影部分的面积为（结果保留）_ 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】（1）选 B（连接OM、OA、OD即可） ； （2） 53 82 （连接OF即可） 模块二 垂径定理 （1）如图 3-1，是一条水平铺设的直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽为 1.6 米，则这条管道中此时水最 深为_米 （2）如图 3-2，已知C是弧AB的中点，半径OC与弦AB相交于点D，如果60OAB，3AB ，那么CD _ （3）（安徽中考） 如图 3-3，O过点BC、 圆心O在等腰直角ABC的内部，90BAC，1OA，6BC ， 则O的半径为_ 图 3-1 图 3-2 图 3-3 【解析】【解析】（1）

18、0.4； （2） 3 33 2 ； （3）13 F ED C B A O 演练 3 G M D E N B A HOFC O g A D C B O g A C B 11 O F E DC BA O F E D C BA （1）过O内一点M的最长的弦长为 6cm，最短的弦长为 4cm，则OM的长等于_ （2） 已知O的直径是 10cm，O的两条平行弦6cmAB ，8cmCD ， 则弦AB与CD间的距离为_ 【解析】【解析】（1）5cm； （2）AB，CD在圆心O的同侧，当AB，CD在圆心O的同侧时，作OFAB于F， 交CD于E如右图所示 /AB CD，OECD，由垂径定理知： 1 3cm 2

19、AFAB， 1 4cm 2 CECD连结 OA与OC，5cmOAOC 3cmOE ，4cmOF ，AB与CD之间的距离431cmEF ； AB，CD在圆心O的两侧如右图所示，AB与CD之间的距离437cmEF 综上所述，距离为 7cm 或 1cm （湖北中考）如图，AB是O的直径，且10AB ，弦MN的长为 8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A、B到MN的距离分别为 1 h， 2 h，则 12 hh等于_ 【解析】【解析】解法一：设AB、MN相交于P， 过O点作OHMN于H，连接NO 由垂径定理 1 4 2 NHMN， 1 5 2 NOAB，3OH ， AEMN，BFMN，

20、OHMN，/AE OH BF， AEAP OHOP ， BFBP OHOP ，即 1 3 hAP OP ， 2 3 hBP OP ， 12 3 hhAPBP OP ， 当P点在O点左侧时，APBP，()()2APBPAOOPBOOPOP 当P点在O点右侧时，APBP，()(2APBPAOOPBOOPOP） 12 6hh 解法二：极端假设法 （1）当N点运动到与A点重合时， 1 0AEh， 2 BFhBM， 此时ABM是直角三角形， 22 6BMABMN， 12 6hh 演练 4 演练 5 A B E F M N O h1 h2 12 D AB C M NO （2）当MN与AB垂直时， 1 AE

21、hAP， 2 BFhBP， 8MN ，由垂径定理知4MPNP，3OP ， 532AP ，538BP ， 12 6hh 解法三：连接EO并延长交BF于G， 易证AOEBOG， 1 BGAEh， 21 FGhh， 由解法一可知3OH ， 21 26hhOH， 当MN在圆心O的另外一侧时， 12 6hh， 12 6hh 解法四：连接BE，作OHMN于H，延长HO交BE于I， 易得I是BE的中点，则 2 11 22 HIBFh， 1 11 22 OIAEh， 21 1 ()3 2 OHHIOIhh， 12 26hhOH 解法五：延长BF交O于G，连接AG，作OHMN于H交AG于J， 易证 1 GFAE

22、h， 12 11 () 22 OJBGhh， 12121 11 ()() 22 OHOJJHhhhhh， 12 26hhOH 如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，M是AC的中点， MNAB于N，试判断MN与AC的数量关系并证明 【解析】【解析】 1 2 MNAC 解法一：连结OM，交AC于D，M是AC的中点，OMAC， 即90ADO， 1 2 ADAC， H P A B E F M N O h1 h2 H G h2 h1 O N M F E B A I A B E F M N O h1 h2 H J AB E F M N O h1 h2 G H 演练 6 O M C A g BN

23、13 OAOM，AODMON ，AODMON， ADMN， 1 2 MNAC 解法二：补全圆，延长MN交O于E， 由垂径定理可知，ENMN，即 1 2 MNME， 2MEMA，又M是AC的中点， 2ACMA，ACME，ACME， 1 2 MNAC 模块三 圆周角定理 （1） （四川成都中考）如图 7-1，ABC内接于O，ABBC，120ABC，AD为O的直径，6AD ， 那么BD _ （2） （四川南充中考）如图 7-2，AB是O的直径，点C、D在O上，110BOC，/AD OC，则AOD （ ） A70 B60 C50 D40 （3） （山东泰安中考）如图 7-3，O的半径为 1，AB是O的一条弦，且3AB ，则弦AB所对圆周角的度 数为_ 图 7-1 图 7-2 图 7-3 【解析】【解析】（1）3 3； （2）D； （3）60或120 演练 7 ON M E C BA A O D C B A O D C B A O B 14