初三上册数学直升班培优讲 义：第14讲 圆四（教师版）

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1、第第 1414 讲讲 圆（圆（四）四） 模块一模块一 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系 由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定 设 1 O、 2 O的半径分别为r、R（其中Rr） ，两圆圆心距为d，则有： dRr两圆外离；dRr两圆外切；RrdRr两圆相交； dRr两圆内切；0dRr两圆内含 说明：说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数 来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种

2、情况；相切两 圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况 模块二模块二 圆幂定理圆幂定理 1 1相交弦定理相交弦定理 相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等 如图，弦AB和CD交于O内一点P，则PA PBPC PD 2 2切割线定理切割线定理 切割线定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项 如图，PT是O的切线，PAB为O的割线，则 2 PTPA PB 3 3割线定理割线定理 割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 如图，PAB和PCD为O的两条割线

3、，则PA PBPC PD 模块一 圆和圆的位置关系 （1）若两圆的直径分别是 2 和 6，两圆的圆心距是 4，则两圆的位置关系是（ ） A外离 B外切 C相交 D内切 （2）两圆的圆心距为 3，两圆的半径分别是方程 2 430 xx的两个根，则两圆的位置关系是（ ） A相交 B外离 C内含 D外切 （3）若两个圆相切于A点，它们的直径分别为 10cm、4cm，则这两个圆的圆心距为_ （4）已知 1 O与 2 O两圆内含， 12 3OO ， 1 O的半径为 5，那么 2 O的半径r的取值范围是_ 例题 1 A C B D P O T A O B P D A O B P C 【解析】【解析】（1）

4、B； （2）A； （3）7cm 或 3cm； （4）02r或8r 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查圆和圆的位置关系 如图， 1 O与 2 O相交于A、B两点， 1 O在 2 O的圆周上， 1 O的弦AC交 2 O于D点，求证：线段 1 O D与 BC垂直 A 1 O 2 O D C B A 1 O 2 O D C B 【解析】【解析】连 1 OC、 1 O B、AB，则 在 2 O中， 1 CABDO B 在 1 O中， 1 1 2 CABCO B， 于是有 11 1 2 DO BCO B， 即 1 O D是 1 CO B的平分线 又 11 OCO B，则 1 CO B是等腰三角

5、形， 且 1 CO B是顶角，所以 1 O DBC 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查两圆的公共弦，常作为两圆的圆周角中间的联系. （1） 如图3-1， 已知 1 O与 2 O外切， 外公切线AB与 1 O、 2 O分别相切于A、B两点，AB与 12 O O的夹角30P， 若 12 2OO ，求两圆的半径及外公切线长 （2）如图 3-2， 1 O与 2 O外离，AB，CD是内公切线交于P点， 12 O O是圆心距，若 12 10cmOO ，且 1 O的 半径为 2cm， 2 O的半径为 3cm，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数 A 1 O 2 O B P A D 1 O 2 O

6、 C P B 图 3-1 图 3-2 【解析】【解析】（1）连接 1 O A、 2 O B，作 21 O CO A于C， 则四边形 2 ACO B是矩形， 2 O CAB， 2 O BAC， 21 30CO OP ， 在 12 RtOCO中， 12 2OO ， 21 30CO O， 1 1OC 例题 2 例题 3 22 2 213O CAB， 即外公切线长为3 设 1 O、 2 O的半径分别为R、r， 则2Rr，1Rr， 3 2 R ， 1 2 r ， 即两圆半径分别为 3 2 和 1 2 （2）连接 1 O A， 2 O B，过 12 16Rrr点作 1 /O E AB交 2 O B的延长线

7、与点E， 则四边形 1 AO EB是矩形， 1 AOBE， 1 O EAB， 2 235O E 在 11 RtOO E中， 22 2 1055 3ABO E 即两圆的内公切线长为5 3cm 在 12 RtOO E中， 2 12 51 102 O E OO ， 12 30OO E， 两条内公切线夹角为60 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查公切线的求法，外公切线和内公切线的求法. （1）如图 4-1，矩形内放置 8 个半径为 1cm 的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩 形的边相切，则该矩形的面积为_ （2）如图 4-2，PQ、 1 PO、 1 OQ分别是以 1

8、 O、 2 O、 3 O为圆心的半圆 1 C、 2 C、 3 C的直径，圆 4 C内切于半圆 1 C 及外切于半圆 2 C、 3 C若24PQ ，圆 4 C的面积为_ 1 C P 213 OOO Q 2 C 3 C 4 C4 O 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】（1） 2 (189 3)cm； （2）连结 14 O O、 34 O O，设 4 O的半径为r， 24PQ ， 1 12O P ， 13 6OO ， 14 12OOr， 34 6O Or， 根据圆的对称性， 14 OOPQ， 222 (12)6(6)rr，解得4r ， 4 2 16 O Sr 【教师备课提示】【教师备课提示】这

9、道题主要考查多圆相切问题，连接圆心距 例题 4 A D 1 O 2 O C P B E A 1 O 2 O B P C 模块二 圆幂定理 （1） 如图 5-1， 已知O的弦AB、CD相交于点P，6cmPA，9cmPB ，:1:3PC PD ， 则CD _ （2） 如图5-2， 在O中， 弦AB与半径OC相交于点M， 且O M M C ，1.5AM ，4BM ， 则OC的长为_ （3） 如图5-3， 点P为弦AB上的一点， 连接OP， 过点P作PCOP，PC交O于C， 且O的半径为3 若4AP ， 1PB ，则OP的长为_ A C O P D B A C O M B A C O P B 图 5-

10、1 图 5-2 图 5-3 【解析】【解析】（1）12 2cm； （2）2 2（延长CO交O于点N即可） ； （3）5（延长CP交O于点Q即可） 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查基础的相交弦定理的应用. （1） 如图 6-1， 一圆周上有三点A，B，C， A的平分线交边BC于D， 交圆于E， 已知5BC ，4AC ，6AB ， 则AD DE_ （2）如图 6-2，已知AB为O的直径，C为O上一点，CDAB于D，9AD ，4BD ，以C为圆心，CD 为半径的圆与O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE EQ_ A E D B C A E P ODB C Q 图 6-1 图 6-

11、2 【解析】【解析】（1）AD平分BAC 42 63 DCAC DBAB 又5DCDBBC 2CD ，3BD ， 由相交弦定理，得6AD DECD BD； （2）延长DC交C于M，延长CD交O于N 例题 5 例题 6 2 CDAD DB，9AD ，4BD ， 6CD 在O、C中，由相交弦定理可知，PE EODE EMCE EN， 设CEx，则6DEx，6ENx 则(6)(6)(66)xxxx，解得3x 所以，3CE ，3DE ，9EM 所以3 927PE EQ 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查相交弦定理，相对来说比较综合. 如图，已知O的弦AB，CD相交于点P，4PA，3PB ，

12、6PC ，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于 点E，2 5EA ，求PE的长 【解析】【解析】弦AB，CD交于点P， 由相交弦定理得PA PBPC PD， 4PA，3PB ，6PC ， 2PD ， EA为O切线，由切割线定理得： 2 ()(8)AEED ECED EDDPPCED ED 2 5AE ， 2ED ，10ED （舍去） ， 224PEPDDE 如图，已知AB是O的直径，C是圆上一点，延长BC至D，使CDBC，连接AD，过C作CEAD于E，BE 交O于F求证：EF EBAE DE 【解析】【解析】连接OC、AC，OBOA，BCCD，/OC AD， CEAD，OCCE，CE是O的切

13、线 2 ECEF EB，AB是O的直径， 90ACD， CEAD，ACECDE， 2 CEDE AE， EF EBDE AE 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查切割线定理和射影模型的结合，考察综合. O F ED C B AA B C DE F O 例题 7 例题 8 O P E D C B A （1）如图9-1，过点P作O的两条割线分别交O于点A、B和点C、D，已知3PA ，2ABPC，则PD的长 是_ （2） 如图9-2，AB是O的直径， 弦CDAB， 垂足为E，P是BA延长线上的点， 连接PC交O于F， 如果7PF ， 13FC ，且:2:4:1PA AE EB ，则CD的长

14、是_ （3）如图 9-3，BC是半圆O的直径，EFBC于点F，5 BF FC 已知点A在CE的延长线上，AB与半圆交 于D，且8AB ，2AE ，则AD的长为_ P AB C O D P F C AO D B E BOF C A D E 图 9-1 图 9-2 图 9-3 【解析】【解析】（1） 15 2 ； （2）4 10； （3）连结BE，BC是O的直径， 90BECBEA ， EFBC，由射影定理得 2 5 BFBE CFCE ， 5 BE CE ， 在RtABE中， 22 2 15BEABAE， 2 3 5 BE CE 由割线定理得AD ABAE AC， 2(22 3)13 82 AE

15、 AC AD AB 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是割线定理的基础应用. 如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆O，且ABAD，DA、CB的延长线相交于P点 CEPD于E，PBBO，已知18DC ，求DE的长 例题 9 例题 10 BOF C A D E E P A D B C O E P A D B C O 【解析】【解析】连接AO，AC设O半径为r 1 2 ABBD，AOBDCB /AO DC 设ADx，则2 PAPO ADOC 2PAx 由割线定理有：PA PDPB PC，即223xxxrr 22 1 2 xr， 2 2 xr 2 2 r ABAD CDECBA ，90C

16、EDCAB ， CDECBA ABED BCDC 又 2 2 2 24 r AB BCr ， 29 2 42 DEDC 模块一 圆和圆的位置关系 （1）图中包含的两圆之间不同的位置关系有_ （2）平面直角坐标系中，O的圆心在原点，半径为 3，A的圆心A的坐标为(3,1)，半径为 1，那么O 与A的位置关系是_ （3）已知两圆相切，两圆半径分别为 6cm 和 3cm，则圆心距为_ 【解析】【解析】（1）内含、内切、相交、外切、外离； （2）内切； （3）4.5cm 或 1.5cm 演练 1 演练 2 如图， 1 O和 2 O都经过A，B两点，经过点A的直线CD与 1 O交于点C，与 2 O交于点

17、D，经过B的直线 EF与 1 O交于点E，与 2 O交于点F （1）求证：/CE DF （2）在图中，CD与EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时，过点E作直线/MN DF，试判断 直线MN与 1 O的位置关系，并证明你的结论 C A EB F D 1 O 2 O M A E B F D 1 O 2 O N 【解析】【解析】（1）在中连接AB，如图所示 ABEC是 1 O的内接四边形， BADE， ADFB是 2 O的内接四边形， 180BADF， 180EF，CEDF， （2）MN与 1 O相切， 过E作 1 O的直径EH，连接AH和AB， /MN DF，MEAD 又DABE，AB

18、EAHE， MEAAHE EH为 1 O的直径， 90EAH， 90AHEAEH， 90MEAAEH EH为 1 O的直径 MN为 1 O的切线 （1） 如图3-1， 1 O与 2 O外切于点T， 它们的半径之比为2:3，AB是它们的外公切线，A、B是切点， 且4 6AB ， 则 12 O O的值是_ （2）如图 3-2， 1 O和 2 O的半径为 1 和 2，连接 12 O O交 2 O于点P， 12 5OO ，若将 1 O绕点P按顺时针 方向旋转360，则 1 O与 2 O共相切_次 （3）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为 5cm 的钢球，测得

19、上面一个钢球顶部高16cmDC （钢管的轴截面如图 3-3 所示） ，则钢管的内直径AD长为_ 演练 3 C A EB F D 1 O 2 O M A E B F D 1 O 2 O N A 1 O 2 O T B A D BC 图 3-1 图 3-2 图 3-3 【解析】【解析】（1）连结 1 O A、 2 O B，过 1 O作 12 OCO B于C， 则四边形 1 O ABC是矩形， 1 4 6OCAB， 1 BCAO 设 1 2AOk， 2 3BOk， 221 32COBOAOkkk， 12 235OOkkk， 在 12 RtOCO中， 12 90OCO， 222 1212 OCO CO

20、O，即 222 (4 6)(5 )kk，解得2k ， 12 10OO （2）3（如右图所示） （3）18cm 模块二 圆幂定理 （1）如图 4-1，O的弦AB与CD相交于点P，已知3cmPA，4cmPB ，2cmPC ，PD _ （2）如图 4-2，已知O中，弦25cmAB ，M是AB上一点，13cmOA，5cmOM ，则AM _ A C D B O P A B O M 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】（1）6cm； （2）作过O、M两点的直径，分别交O于C、D， 则由相交弦定理可知8 18144AM BMCM DM ， 又25AMBM， 16cmAM 或 9cm PO2 O1 演练

21、4 演练 5 1 OP 2 O AOB C P D （1）如图，PC是半圆的切线，且PBOB，过B的切线交PC于点D，若6PC ，则O半径为_， :CD DP _ （2） （2014 石室联中月考）点A是半径为 3 的圆外一点，它到圆的最近点的距离为 5，则过点A的切线长为 _ （3）如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若12AB ，9CD ，则MD _ 【解析】【解析】（1）2 3；1:2； （2）55； （3）AB是两圆的公切线， 2 AMMD MC， 2 BMMD MC， 6AMBM， 2 6(9)MD MD，解得3MD 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查切割线定理的基础应

22、用. 如图， 四边形ABCD是边长为a的正方形， 以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P 延 长AP交BC于点N，求 BN NC 的值 【解析】【解析】连结BP并延长交AD于E，连结CP并延长交AB于M，交DA延长线于F 易知BECF，由弦图的基本模型可知BECM，BMAE， 又由切割线定理可知 2 MAMP MC， 2 MBMP MC， MAMB，即M是AB中点， 1 2 AMBMAEa， 由此可知AFBCa， 3 2 EFa， /DF BC，EPFBPC，APFNPC， 3 2 EFPFAF BCPCCN ， 2 3 CNa， 21 33 BNaaa， 1 2 BN NC 演练 6 D C AB N E P M F D C AB N P M D C BA