初三上册数学直升班培优讲 义：第15讲 四点共圆一（教师版）

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1、 1 第第 1515 讲讲 四点共圆四点共圆（一一） 模块一：辅助圆思想模块一：辅助圆思想 平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分 简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础 几何条件：OAOBOC 辅助圆：以O为圆心、OA为半径作圆O OAOBOC，点B、C在O上 几何条件：OCOD,2CODCAD 辅助圆：以O为圆心、OC为半径作圆O OCOD，2CODCAD ，点A、D在O上 模块二：四点共圆的模块二：四点共圆的判定（一）判定（一） 若平面上A、B、C、D四个点满足ABDACD ，则A、B、 C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的

2、圆上（可证 EAEBECED） 若平面上A、B、C、D四个点满足ABCADC ，则A、B、 C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证 EAEBECED） 若平面上A、B、C、D四个点满足ADBACB ，则A、B、C、D 四点共圆 证明条件：线段同侧张角相等 若平面上A、B、C、D四个点满足ABCADC，则A、B、 C、D四点共圆 证明条件：1四边形对角互补； 2四边形外角等于内对角 O A B C O DC A 2 A B C D E E D C B A H O D C BA O D C B A 2 模块一 辅助圆思想 （1）如图 1-1，四边形ABCD中，ABACAD，若76CAD

3、，13BDC，则CBD_，BAC _ （2）如图 1-2，已知四边形ABCD，AB/CD，ABACADa，BCb，且2ab，求BD的值 图 1-1 图 1-2 【解析】【解析】（1）以A为圆心，AB为半径作辅助圆，则C、D均在A上， 1 38 2 CBDCAD，226BACBDC （2）以A为圆心，以a为半径作圆则点B、C、D都在圆上， 延长BA交A于E点，连接ED， AB/CD， ， 在ABC和DAE中， ，, 是直径， 由勾股定理得 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解OAOBOC时，辅助圆思想 （1） 如图 2-1，平面上有四个点A、O、B、C，其中120AOB，60ACB，A

4、OBO，2 3AB ，则OC _ （2）如图 2-2，在ABC中，90ACB?，ACBC=，点P为ABC外一点（P与C在直线AB异侧） ，且 45APB?设点P关于AB的对称点为E，连接PE、CE，试判定线段AB与CE的数量关系，并给予证明 CABDCA， .DAECDA ACAD DCACDA，DAECAB， , , . ADAC DAECAB AEAB CABDAEEDBCb BE 90EDB 222. EDBDBE 222222 (2 )4.BDBEEDabab 例题 1 例题 2 E DC BA A B C D D C A B 3 图 2-1 图 2-2 【解析】【解析】（1）2； （

5、2）点P、点E关于AB对称， 45APBAEB?， 90ACB?，ACBC=， A、B、E在以C为圆心的圆上， CACBCE=， 2ABCA， 2ABCE， 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解OCOD，2CODCAD 时，辅助圆思想 如图，E，B，A，F四点共线，点D是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB上异于A，B的一个动点， 且满足30CPD，则（ ） A点P一定在射线BE上 B点P一定在线段AB上 C点P可以在射线AF上，也可以在线段AB上 D点P可以在射线BE上，也可以在线段AB上 【解析】【解析】取BC中点O及点O关于AC的对称点 O ， 分别以O、 O 为圆心

6、，OC、O C长度为半径作圆， 两圆与直线EF有两个交点（如图） ，一个是点B，另外一个是线段AB的中点， 所以满足条件的P点一定在线段AB上，应选B 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要是对辅助圆思想的练习和拔高 P O O F E D C B(P) A C D A B E F A O C B A E C B P A E C B P 4 模块二模块二 四点共圆的判定（一）四点共圆的判定（一） 如图，AB是O的直径，CD是弦，且CDAB于KE为劣弧AC上的一点，连接AE交DC延长线于F求证： E、F、B、K四点共圆 【解析】【解析】连接BE、BF， AB是O的直径，90AEBBEF ，

7、CDAB，90FKB， E、F、B、K四点共圆 （1）如图 5-1，四边形ABCD内接于O，P、Q、R分别是AB、BC、AD的中点连接PQ与DA的延长线交于S， 连接PR与CB延长线交于T求证：S、T、Q、R四点共圆 （2）如图 5-2，ABC中，以AB为直径作圆，交BC于H，交BAC的平分线于D，作CKAD于K，M为BC 中点求证：D、M、K、H四点共圆 图 5-1 图 5-2 【解析】【解析】（1）连接AC、BD， P、Q、R都是中点，PQ/AC，PR/BD， PQBACB，PRAADB， ADBACB，PRAPQB， S、T、Q、R四点共圆 （2）延长CK交AB于P，连接DH， AD平分

8、BAC，CKAD， ACKAPK，PKCK， M是BC的中点，MK/AB，CMKB ， ADHABC，CMKADH ， D、M、K、H四点共圆 O K F E DC B A A B C D E F K O O T S P Q RD C B A O H K M D C B A 例题 4 例题 5 P A BC D M K H O A B C DR Q P S T O 5 H F E D CB A 【教师备课提示】【教师备课提示】例 4 和例 5 主要考查同侧张角相等去判断四点共圆，建议老师们讲一道练一道 （1）如图 6-1，BCAE，EDAB，且BC、DE相交于GH为AE延长线上的一点，CHAC

9、求证：B、G、 E、H四点共圆 （2）如图 6-2，P为ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、 F四点共圆，求证：B、D、P、F也四点共圆 图 6-1 图 6-2 【解析】【解析】（1）BCAE，EDAB， 90BDEBCE ，DBCCED ， ACCH，ABBH，ABCHBC ， CEDHBC ，B、G、E、H四点共圆 （2）连接PE、PF、PD， A、E、P、F四点共圆，AFPCEP ， C、D、P、E四点共圆，BDPCEP ， AFPBDP ，B、D、P、F四点共圆 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查对角互补的四边形是圆内

10、接四边形，建议老师们讲一道练一道 AD、BE、CF是ABC的三条高，相交于垂心H，在A、B、C、D、E、F、H七点中，有六组四点共圆，试逐一举 出，并问各圆心在何处？ 【解析】【解析】（1）A、E、H、F四点共圆，圆心是AH的中点； （2）B、D、H、F四点共圆，圆心是BH的中点； （3）C、D、H、E四点共圆，圆心是CH的中点； （4）A、B、D、E四点共圆，圆心是AB的中点； （5）B、C、E、F四点共圆，圆心是BC的中点； （6）A、C、D、F四点共圆，圆心是AC的中点 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要让孩子们综合练习，找全四点共圆 E H G D C B A P F E D

11、CB A 例题 6 例题 7 A BC D E F P 6 C C BA O 模块一 辅助圆思想 在ABC中，BABC，BAC ，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2 得到线段PQ线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示） ，并加以证明. 【解析】【解析】如图，连接PC，可得，PA PCPQ ， 于是以点P为圆心，以PA长为半径作P，则点A、C、Q都在P上， 1 2 ACQAPQ，又90DMC，90CDB 平面上有四个点A、O、B、C，其中120AOB，60ACB，2AOBO，则满足题意的OC长度的整数 的值可以是_ 【解析】【解析】

12、整数值可以是 2，3，4. 如图，OC长为长度的最小值，OC长为长度的最大值 模块二 四点共圆的判定（一） M Q P D C B A A B C D P Q M 演练 1 演练 2 7 如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法： 当ACBD时，M、E、N、F四点共圆 当ACBD时，M、E、N、F四点共圆 当ACBD，且ACBD时，M、E、N、F四点共圆 其中正确的是_ 【解析】【解析】 如图，PA、PB切O于A、B两点，过P作割线交O于C、D，过B作BE/CD，连接AE交PD于M，求证：A、 M、O、P四点共圆 【解析】【解

13、析】连接OA、OM、OP，BE/CD，AMCE， PA、PB都是切线，AOPBOP ， AOPAEB ，AMPAOP ，A、M、O、P四点共圆 过两圆交点A、B之一的点A，引两条直线CAD、PAQ，分别与两圆交于C、D、P、Q，设CP与DQ的交点为R，求 证：B、C、R、D四点共圆 【解析】【解析】四边形ABDQ是圆内接四边形， PQRABD 又P、C、A、B共圆，PABC 由、，得CBDPRQP ， 180CBDCRD 因此四点B、D、R、C在同一圆周上 M E O P D C B A A B C D P O E M 演练 3 演练 4 演练 5 B D A M F NC E R C P A Q D B 8