初三上册数学直升班培优讲 义：第17讲 托勒密定理（教师版）

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1、第第 1717 讲讲 托勒密定理托勒密定理 （托勒密定理）四边形ABCD内接于圆，求证：AC BDAD BCAB CD 【解析】【解析】如图，在BD上取一点P，使其满足12 34 ，ACDBCP， ACAD BCBP ， 即AC BPAD BC 又ACBDCP ，56 ， ACBDCP， ABAC DPCD ，AC DPAB CD +，有AC BPAC PDAD BCAB CD 即()AC BPPDAD BCAB CD，故AC BDAD BCAB CD 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆 （1）如图 2-1，点P为等边ABC外接圆的BC上一点，线段PA、PB

2、、PC间的数量关系为_ （2）如图 2-2，AB为O的直径，ABD=45，点C为ABD外接圆的AB上一点，线段CA、CB、CD间的数 量关系为_ （3）如图 2-3，30ABCACB ，点D为ABC外接圆的BC上一点，线段DA、DB、DC间的数量关系为 _ 图 2-1 图 2-2 图 2-3 【解析】【解析】（1）PAPBPC； （2）2CACBCD； （3）3DBDCDA O D C B A 例题 1 例题 2 A BC P O D A B O C D C AB D C 1 2 6 345 P AB 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要利用托勒密定理解决圆中的 Y 字模型，建议讲 2

3、中方法 如图，O的直径AB的长为 10，直线EF经过点B，且CBFCDB ，连接AD （1）求证：直线EF是O的切线； （2）若点C是弧AB的中点，6BD ，求CD的长 【解析】【解析】（1）AB是O的直径， 90ADB即90ADCCDB， ADCABC ，CBFCDB ， 90ABCCBF，即90ABF， ABEFEF是O的切线； （2）法 1：作BGCD，垂足是G， 由题45ADCCDB ，3 2BGDG， DABDCB ， 3 tan 4 BG DCB CG ， 4 2CG ，4 23 27 2CDCGDG 法 2：由托勒密定理，214BDADCD，7 2CD 【教师备课提示】【教师备课

4、提示】这道题主要让孩子们练习哈，注意书写过程 （1） （13 年成外直升）如图 4-1，ABC内接于O，ABAC；当动点P在O上从点B出发，按逆时针方 向向点C运动时， PBPC PA 的值（ ） A保持不变 B先减小后增大 C先增大后减小 D无法判断 （2） （2013 成都中考）如图 4-2，A，B，C为O上相邻的三个n等分点，ABBC，点E在弧BC上，EF为O 的直径， 将O沿EF折叠， 使点A与A重合， 点B与B重合， 连接EB，EC，EA.设EBb，ECc，EAp 先 探究b，c，p三者的数量关系：发现当3n 时，pbc请继续探究b，c，p三者的数量关系：当4n 时， p _；当12

5、n 时，p _ （参考数据： 62 sin15cos75 4 ， 62 cos15sin75 4 ） 图 4-1 图 4-2 【解析】【解析】（1）A； （2）2pcb； 62 2 pcb 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查托勒密定理中考和直升考试中的应用，等腰三角形的 Y 字模型 例题 3 例题 4 A F A B O B C E A D O E B CF A D O E B CF G A B O P C 如图，过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：AP ABAQ ADAR AC 【解析】【解析】连接PQ、PR、QR 在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定

6、理得AP QRAQ PRAR PQ 又12 ，34 ，PQRCAB，于是 QRPRPQ ABBCCA 设上面的比值为k，并考虑到BCAD有QRk AB，PRk AD，PQk CA， 于是可推得AP ABAQ ADAR AC 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要考查托勒密定理和相似综合 如图， 圆G过坐标原点， 交y轴于点A， 交x轴于点B， 点C为圆上一点， 且OC平分AOB交AB于点FCEy 轴于E交AB于点H，连接EG （1）求证：CBFCOB； （2）请探究OE、AE和EG这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明 【解析】【解析】（1）证明：OC平分AOB， AC BC ，45

7、AOCCOB ， 45CBFCOB ，OBCBCF （公共角） ， CBFCOB； （2）法 1：连接CG，则290AGCAOC ，90AGCAEC ， A、E、C、G四点共圆，由托勒密定理2CEAEEG，又CEOE， 2OEAEEG； 法 2：在CE上截取CQAE，连接GC、GQ，EG AC BC ，CGAB，90GCQGHC， CEy轴，90GAEAHE，AHEGHC ，GAEGCQ， EAGQCG，EGGQ，AGECGQ， 90EGQAGEAGQAGQCGQ，EGGQ， EGQ是等腰直角三角形，2EQEG，又OECE，AEQC， 2OEAECECQEQEG；2OEAEEG 【教师备课提示

8、】【教师备课提示】这道题主要考查要用托勒密定理，先证四点共圆 例题 5 例题 6 DC Q A R P B DC Q A R P B 1 4 2 3 y x OB A E H C G F 已知AB为O的直径，CD为O的一条弦，顺次连接AC、CB、BD、DA （1）当45ACD（如图 1-1）时，线段CA、CB、CD间的数量关系为_； （2）当30ACD（如图 1-2）时，求证：32CACBCD 图 1-1 图 1-2 【解析】【解析】（1）2ACBCCD； （2）如图，过点A作AECD，过点O作OFBC，连接OC、OD 30ACD， 90AEC， 3 2 CEAC OFBC， 1 2 CFBC

9、 30ACD，60AOD 又OAOD，AOD为等边三角形ADOC 1 2 ADCAOC， 1 2 OCFAOC，ADCOCF 在ADE和OCF中， AEDOFC ADCOCF ADOC ， ADEOCFDECF 1 2 DEBC CEEDCD， 31 22 ACBCCD 32ACCBCD 另解：直接用托勒密定理 演练 1 A D O C B A D O C B A D O C B E F 如图，A，P，B，C是O上的四个点，60APCBPC ，过点A作O的切线交BP的延长线于点D （1）求证：ADPBDA； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论 【解析】【解析】（1）

10、证明：作O的直径AE，连接PE， AE是O的直径，AD 是O的切线， 90DAEAPE ， 90PADPAEPAEE ， PADE， PBAE， PADPBA， PADPBA，ADPBDA， ADPBDA； （2）PAPBPC， 证明：在线段PC上截取PFPB，连接BF， PFPB，60BPC， PBF是等边三角形， PBBF，60BFP， 180120BFCPFB， 120BPAAPCBPC ， BPABFC ， 在BPA和BFC中， PABFCB BPABFC PBFB ， AASBPABFC （）， PAFC，ABCB， PAPBPFFCPC 另解：直接利用托勒密定理 点D为RtACB边

11、BC延长线上一点， 点E在边AC上， 点M、N分别为线段AB、AE的中点， 连接DE、DA，90ACB?， ABCCED? （1）若45ABC?，如图 3-1，求证： 1 2 MNAD； （2）在（1）的条件下，连接BE并延长BE交线段AD于点F，连接FC，如图 3-2，请你判断线段FE、FC与线 段FD之间的数量关系 演练 2 演练 3 D A P O B C 图 3-1 图 3-2 【解析】【解析】（1）90ACB?，ABCCED?，45ABC?， BCAC=，CECD=， 在BCE和ACD中，90 BCAC BCEACD CECD ， (SAS)BCEACD，BEAD=， 点M、N分别为

12、线段AB、AE的中点， 1 2 MNBE， 1 2 MNAD； （2）BCEACD，CBEEAF?，BECAEF?， 90AFBACB?，A、B、C、F共圆， ABFACF?， AEBFEC?，AEBFEC ，:FE AEFC AB=， AE FEFC AB ， 90BAFABF?，90FCDACF?，FCDBAD?， FDCBDA?，FCDBDA，:FD BDFC AB=， BD FDFC AB ， AEBD FEFDFC AB ， ACBC=，CECD=，2AEBDAC ECBCCDAC+=+=， 在RtABC中，2ABAC， 22 2 2 AEBDACAC ABABAC ，2FEFDFC； 另解：直接利用托勒密定理 A BCD F M E N A BCD F M E N