2019-2020学年山西省长治市高三（上）9月联考数学试卷（文科）含详细解答

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1、2019-2020 学年山西省长治市高三（上）学年山西省长治市高三（上）9 月联考数学试卷（文科）月联考数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ）分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若，则 ab（ ） A1 B C D2 3 （5 分）已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为

2、（ ） Aacb Babc Cbca Dcab 4 （5 分）函数 f（x）（x）cosx（x 且 x0）的图象可能为（ ） A B C D 5 （5 分）设函数 f（x）log2x，在区间（0，5）上随机取一个数 x，则 f（x）2 的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）已知向量 （1，2） ， （2，3） ， （4，5） ，若（ + ） ，则 （ ） A B C2 D2 7 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序 框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a（ ） A0 B2 C4 D14 8 （5 分）已知 A，B，C

3、 在圆 x2+y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0） ，则|的 最大值为（ ） A6 B7 C8 D9 9 （5 分）设函数 f（x）+log2，定义 Snf（）+f（）+f（） ，其中，nN+，n2，则 Sn（ ） A Blog2（n1） C D+log2（n1） 10 （5 分）如图所示，有一条长度为 1 的线段 MN，其端点 M，N 在边长为 3 的正方形 ABCD 的四边上滑 动，当点 N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点 P 所形成轨迹的长度为（ ） A B8+ C D12+ 11 （5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上

4、的动点，若三棱锥 OABC 体 积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ） A36 B64 C144 D256 12 （5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 （0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对 满足|f（x1）g（x2）|2 的 x1、x2，有|x1x2|min，则 （ ） A B C D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答卷纸的相应位置上）分把答案填在答卷纸的相应位置上） 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 ylnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（e

5、，1） （e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是 14 （5 分）已知直线 ax+by1 经过点（1，2） ，则 2a+4b的最小值为 15 （5 分）在ABC 中，ABBC，若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 16 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足条件 f（x+）f（x） ，且函数 yf（x）为奇函 数，给出以下四个命题： 函数 f（x）是周期函数； 函数 f（x）的图象关于点（，0）对称； 函数 f（x）为 R 上的偶函数； 函数 f（x）为 R 上的单调函数； 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：共三、解答题：共 70

6、 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2an2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnanlog2an+1求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 （）证明：PB平面 AEC；

7、（）设 AP1，AD，三棱锥 PABD 的体积 V，求 A 到平面 PBC 的距离 19 （12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图： （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 （）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量 附注： 参考数据：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646 参考公式： 相关系数 r， 回归过程 t 中斜率和截距最小二乘估计 公式分别为 ， 20 （12 分） 已知抛物线 C： x22py （p0） ， 其

8、焦点到准线的距离为 2， 直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点， 过 A，B 分别做抛物线 C 的切线 l1，l2交于点 M （）求抛物线 C 的方程 （）若 l1l2，求MAB 面积的最小值 21 （12 分）已知 x1 是函数 f（x）ax的极值点 （）求实数 a 的值； （）求证：函数 f（x）存在唯一的极小值点 x0，且 0 （参考数据：ln20.69） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选选 修修 4 一一 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数

9、方程（本题满分（本题满分 10 分）分） 22 （10 分）直角坐标系中曲线 C 的参数方程为（ 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）经过点 M（0，1）作直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点（A 在 B 上方） ，且满足|BM|2|AM|，求直线 l 的方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x+a|+|x2| （）当 a3 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）若 f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围 2019-2020 学年山西省长治市高三（上）学年山西省长治市高三（上）9 月联考数学试

10、卷（文科）月联考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ）分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 【分析】先分别求出集合 A 和 B，再求出 AB 和 AB，由此能求出结果 【解答】解：集合 Ax|x1， Bx|3x1x|x0， ABx|x0，故 A 正确，D 错误； ABx|x1，故 B 和 C 都错误 故选：A 【点评

11、】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理 运用 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若，则 ab（ ） A1 B C D2 【分析】利用复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求 【解答】解：， ， 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题 3 （5 分）已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Babc Cbca Dcab 【分析】本题先将 a、b、c 的大小与 1 作个比较，发现 b1，a、c 都小于 1再对 a、c 的表达式进行变 形，判

12、断 a、c 之间的大小 【解答】解：由题意，可知： alog521， blog0.50.2log25log242 c0.50.21， b 最大，a、c 都小于 1 alog52，c0.50.2 而 log25log242， ac， acb 故选：A 【点评】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数 1 作为中间量来比较本题属基础 题 4 （5 分）函数 f（x）（x）cosx（x 且 x0）的图象可能为（ ） A B C D 【分析】 由条件可得函数 f （x） 为奇函数， 故它的图象关于原点对称； 再根据但是当 x 趋向于 0 时， f （x） 0，结合所给的选项，得出结论 【解

13、答】解：对于函数 f（x）（x）cosx（x 且 x0） ，由于它的定义域关于原点对称， 且满足 f（x）（+x）cosxf（x） ，故函数 f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称 故排除 A、B 当 x，f（x）0，故排除 C， 但是当 x 趋向于 0 时，f（x）0， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题 5 （5 分）设函数 f（x）log2x，在区间（0，5）上随机取一个数 x，则 f（x）2 的概率为（ ） A B C D 【分析】解不等式 f（x）2 的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解：log2x，x

14、（0，5） 由 f（x）2， 得 log2x2 解得 0 x4， 根据几何概型的概率公式可得若从区间（0，5）内随机选取一个实数 x， f（x）2 的概率为：， 故选：D 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出不等式的解，利用长度比是解决本题 的关键 6 （5 分）已知向量 （1，2） ， （2，3） ， （4，5） ，若（ + ） ，则 （ ） A B C2 D2 【分析】可求出，根据即可得出，进行数量 积的坐标运算即可求出 【解答】解：； 又； ； 解得 2 故选：C 【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算 7 （5 分）如图程序框图的算法

15、思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序 框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a（ ） A0 B2 C4 D14 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，b 的值，当 ab2 时不满足条件 ab，输 出 a 的值为 2 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a14，b18 满足条件 ab，不满足条件 ab，b4 满足条件 ab，满足条件 ab，a10 满足条件 ab，满足条件 ab，a6 满足条件 ab，满足条件 ab，a2 满足条件 ab，不满足条件 ab，b2 不满足条件 ab，输出 a 的值为 2 故选：B 【点评】本题主要考查了循环结构

16、程序框图，属于基础题 8 （5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0） ，则|的 最大值为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】由题意，AC 为直径，所以|2+|B 为（1，0）时，|2+|7，即可 得出结论 【解答】解：由题意，AC 为直径，所以|2+| 所以 B 为（1，0）时，|2+|7 所以|的最大值为 7 另解：设 B（cos，sin） ， |2+|2 （2， 0） + （cos2， sin） | （cos6， sin） |， 当 cos1 时，B 为（1，0） ，取得最大值 7 故选：B 【点评】本题考查向量知识的运用，考查学

17、生分析解决问题的能力，比较基础 9 （5 分）设函数 f（x）+log2，定义 Snf（）+f（）+f（） ，其中，nN+，n2，则 Sn（ ） A Blog2（n1） C D+log2（n1） 【分析】根据所给函数，确定 f（x）+f（1x）1，进而利用倒序相加，即可求得结论 【解答】解：f（x）+log2， f（1x）+log2， f（x）+f（1x）+log2+log21 Snf（）+f（）+f（） ， Snf（）+f（）+f（） 两式相加可得：2Snn1 Sn 故选：C 【点评】本题考查数列求和，考查函数性质，确定 f（x）+f（1x）1，进而利用倒序相加，是解题的 关键 10 （5

18、分）如图所示，有一条长度为 1 的线段 MN，其端点 M，N 在边长为 3 的正方形 ABCD 的四边上滑 动，当点 N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点 P 所形成轨迹的长度为（ ） A B8+ C D12+ 【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根 据圆的周长公式进行计算即可求解 【解答】解：由题意，轨迹为四条线段加四个四分之一的圆 如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为 0.5 的圆，周长为：20.5， 再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为 2， 合起来就是：24+8+ 故选：B 【点评】本题考查了点的轨迹与正方形的四

19、条边都相等的性质，判断出轨迹是四条弧与四条相等的线段 的和是解题的关键，也是解本题的难点 11 （5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体 积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ） A36 B64 C144 D256 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，利用三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O 的表面积 【解答】解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VOABCVCAOB3

20、6，故 R6，则球 O 的表面积为 4R2 144， 故选：C 【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时， 三棱锥 OABC 的体积最大是关键 12 （5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 （0）个单位后得到函数 g（x）的图象若对 满足|f（x1）g（x2）|2 的 x1、x2，有|x1x2|min，则 （ ） A B C D 【分析】利用三角函数的最值，求出自变量 x1，x2的值，然后判断选项即可 【解答】解：因为将函数 f（x）sin2x 的周期为 ，函数的图象向右平移 （0）个单位后得 到函数 g（x）的图象若对满足

21、|f（x1）g（x2）|2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有 |x1x2|min， 不妨 x1， x2， 即 g （x） 在 x2， 取得最小值， sin （22） 1， 此时 ， 不合题意， x1，x2，即 g（x）在 x2，取得最大值，sin（22）1，此时 ，满 足题意 另解：f（x）sin2x，g（x）sin（2x2） ，设 2x12k+，kZ，2x22+2m，mZ， x1x2+（km）， 由|x1x2|min，可得，解得 ， 故选：D 【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的 能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可

22、以回代验证的方法快速解答 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答卷纸的相应位置上）分把答案填在答卷纸的相应位置上） 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 ylnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（e，1） （e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是 （e，1） 【分析】设 A（x0，lnx0） ，利用导数求得曲线在 A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解 x0即可 【解答】解：设 A（x0，lnx0） ，由 ylnx，得 y， ，则该曲线在点 A 处的切线方程为 ylnx0， 切线

23、经过点（e，1） ， 即，则 x0e A 点坐标为（e，1） 故答案为： （e，1） 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题 14 （5 分）已知直线 ax+by1 经过点（1，2） ，则 2a+4b的最小值为 2 【分析】由于直线 ax+by1 经过点（1，2） ，可得 a+2b1再利用基本不等式和指数的运算性质即可 得出 【解答】解：直线 ax+by1 经过点（1，2） ， a+2b12a+4b222， 当且仅当 2a4b时，a+2b1，即 a，b时取等号 2a+4b的最小值 故答案为 【点评】本题考查了点与直线的关系、基本不等式的性质、指

24、数的运算性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 15 （5 分）在ABC 中，ABBC，若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 【分析】 设 ABBC1， 则， 由此可知， 从而求出该椭圆的离心率 【解答】解：设 ABBC1，则， ， 答案： 【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算 16 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足条件 f（x+）f（x） ，且函数 yf（x）为奇函 数，给出以下四个命题： 函数 f（x）是周期函数； 函数 f（x）的图象关于点（，0）对称； 函数 f（x）为 R 上的偶函数； 函数 f（x）为 R 上的单调函

25、数； 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 【分析】用 x+替换公式 f（x+）f（x）里的 x，即可得出 f（x）的周期；根据函数 f（x）与 f（x ）的关系可得对称中心；根据 f（x）周期性和奇偶性得出 f（x）的奇偶性；利用 f（x）的奇偶 性判断单调性 【解答】解：对于，f（x+）f（x） ，f（x+3）f（x+） ， f（x）f（x+3） ， f（x）是周期为 3 的函数，故正确； 对于，函数 yf（x）为奇函数，yf（x）的图象关于点（0，0）对称， yf（x）的函数图象是由 yf（x）的图象向右平移个单位得到的， yf（x）的函数图象关于点（，0）对称，故正确； 对于，

26、f（x+）f（x） ，f（x+）f（x） ，即 f（x）f（x） ， 又 f（x）的周期为 3，f（x）f（x+3）f（x+） ， f（x）f（x+） ， 又 yf（x）是奇函数，f（x）f（x） ， f（x+）f（x） ，令 x+t，则 f（t）f（t） ， f（t）是偶函数，即 f（x）是偶函数，故正确； 对于，由知 f（x）是偶函数， f（x）在（，0）和（0，+）上的单调性相反， f（x）在 R 上不单调，故错误； 故答案为 【点评】本题考查了函数周期性、奇偶性判断，函数图象的平移变换，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写

27、出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2an2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnanlog2an+1求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）推导出 a1S12a12，解得 a12，当 n2 时，anSnSn1（2an2）（2an12） 2an2an1，从而 an2an1，进而数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，

28、由此求出 an2n （2）由 bnanlog2an+12n （n+1） ，利用错位相减法能求出数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2an2， a1S12a12，解得 a12， 当 n2 时，anSnSn1（2an2）（2an12）2an2an1， an2an1， 数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， an2n （2）bnanlog2an+12n （n+1） ， 数列bn的前 n 项和： Tn22+322+423+（n+1）2n， 2Tn222+323+424+（n+1）2n+1， ，得：Tn2+2+22+23+24+2n（n+1）2n

29、+1 2+（n+1）2n+1 n2n+1， Tnn2n+1 【点评】本题考查数列的通项公式、前 n 项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查 考生的逻辑思维能力、运算求解能力、转化能力、数据处理能力，是中档题 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 （）证明：PB平面 AEC； （）设 AP1，AD，三棱锥 PABD 的体积 V，求 A 到平面 PBC 的距离 【分析】（） 设 BD 与 AC 的交点为 O， 连结 EO， 通过直线与平面平行的判定定理证明 PB平面 AEC； （）通过 AP1，AD，三棱锥

30、 PABD 的体积 V，求出 AB，作 AHPB 角 PB 于 H，说明 AH 就是 A 到平面 PBC 的距离通过解三角形求解即可 【解答】解： （）证明：设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO， ABCD 是矩形， O 为 BD 的中点 E 为 PD 的中点， EOPB EO平面 AEC，PB平面 AEC PB平面 AEC； （）AP1，AD，三棱锥 PABD 的体积 V， V， AB，PB 作 AHPB 交 PB 于 H， 由题意可知 BC平面 PAB， BCAH， 故 AH平面 PBC 又在三角形 PAB 中，由等面积法可得： A 到平面 PBC 的距离 【点评】本题考查直线与平

31、面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力 19 （12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图： （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 （）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量 附注： 参考数据：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646 参考公式： 相关系数 r， 回归过程 t 中斜率和截距最小二乘估计 公式分别为 ， 【分析】 （）由折线图中数据和附注中参考数据，计算相关系数 r，即可判断 y 与 t 的线

32、性相关程度； （）计算相关系数，写出回归方程，利用回归方程计算 2020 年对应的函数值即可 【解答】解： （）由折线图中数据和附注中参考数据得 （1+2+3+4+5+6+7）4， （14）2+（24）2+（34）2+（44）2+（54）2+（64）2+（74）228； tiyi40.17，0.55，2.646， （ti ） （yi ）tiyityi40.1749.322.89， 相关系数 r0.99， 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系； （）由 yi9.321.331，计算回归方程 t 中 0.

33、103， 1.3310.10340.92， 所以 y 关于 t 的回归方程为 0.92+0.10t， 将 2020 年对应的 t13 代入回归方程中，计算 0.92+0.10132.22， 所以预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理将约为 2.22 亿吨 【点评】本题考查了线性回归模型的应用问题，也考查了相关系数的计算问题，是中档题 20 （12 分） 已知抛物线 C： x22py （p0） ， 其焦点到准线的距离为 2， 直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点， 过 A，B 分别做抛物线 C 的切线 l1，l2交于点 M （）求抛物线 C 的方程 （）若 l1l2，求MAB 面积的最

34、小值 【分析】 （）由题意可得 p2，进而得到所求抛物线方程； （）求得 y的导数，设 A（x1，） ，B（x2，） ，可得切线的方程，再由两直线垂直的条 件可得 x1x24，设直线 l：ykx+m，联立抛物线方程，运用判别式大于 0，以及韦达定理，可得 m 1，可得直线 l 的方程 ykx+1，联立 l1，l2，可得 M 的坐标，求得 M 到直线 l 的距离和弦长|AB|，由三角 形的面积公式，即可得到所求最小值 【解答】解： （）抛物线 C：x22py（p0） ，其焦点到准线的距离为 2， 可得 p2，则抛物线的方程为 x24y； （）由 x24y，即 y的导数为 yx， 设 A（x1，）

35、 ，B（x2，） ，则 l1：y（xx1） ， l2：y（xx2） ， l1l2，可得1，即 x1x24， 设直线 l：ykx+m，联立抛物线方程 x24y，可得 x24kx4m0， 16k2+16m0，x1+x24k，x1x24m4，即 m1， 可得直线 l：ykx+1， 联立可得，即 M（2k，1） ， M 到直线 l 的距离为 d， |AB|4（1+k2） ， 则MAB 面积为 S4 （1+k2） 4 （1+k2） 4， 当 k0 时， MAB 面积取得最小值 4 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物 线方程，运用韦达定理，考查化简整

36、理的运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知 x1 是函数 f（x）ax的极值点 （）求实数 a 的值； （）求证：函数 f（x）存在唯一的极小值点 x0，且 0 （参考数据：ln20.69） 【分析】 （）根据 f（1）0 求得 a；通过导数验证函数的单调性，可知 a时极值点为 x1，满 足题意； （）根据（）可知极小值点位于（2，+） ，此时 g（x）的零点 x0（3，4） ，且此时 x0为极小值点， 代入 f（x）得到关于 x0的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论 【解答】解： （）因为 f（x）2axlnx，且 x1 是极值点 所以据 f（1）0，即据 f（1）2a0，a， 此

37、时 f（x）lnx， 设 g（x）f（x） ，则 g（x） 则当 0 x2 时，g（x）0，g（x）为减函数 又 g（1）0，g（2）ln20， 当 0 x1 时，g（x）0，f（x）为增函数， 当 1x2 时，g（x）0，f（x）为减函数， 即当 x1 时，f（x）取得极大值，符合题意； （）由（）知，0 x2 时，不存在极小值点， 当 x2 时，g（x）0，g（x）为增函数，且 g（4）2ln20，g（2）0， 所以存在 x0（2，4） ，g（x0）0， 结合（）可知当 1xx0时，g（x）0，f（x）为减函数；xx0 时，g（x）0，f（x）为增函数， 所以函数 f（x）存在唯一的极小值

38、点 x0， 又 g（3）1ln30，所以 3x04， 且满足lnx00 所以 f（x0）+x0lnx0+x0， 由二次函数图象可知：f（4）f（x0）f（3） ， 又 f（3）+3，f（4）+44+40， f（x0）（0，） ， 即 0成立 【点评】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理 确定零点所处的范围，从而可将证明问题转化为在某一区间内二次函数值域问题的求解 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选选 修修 4 一

39、一 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本题满分（本题满分 10 分）分） 22 （10 分）直角坐标系中曲线 C 的参数方程为（ 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）经过点 M（0，1）作直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点（A 在 B 上方） ，且满足|BM|2|AM|，求直线 l 的方程 【分析】 （1）消去参数，即可求曲线 C 的直角坐标方程； （2）利用参数的几何意义，即可求直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，曲线 C 的直角坐标方程为： （2）设直线 l 的参数方程为（为参数）代入曲线 C 的方程有： （7sin

40、2+9）t2+32sint128 0，设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t22t1， 则， sin21， 直线 l 的方程为：x0 【点评】本题考查参数方程化为直角坐标方程，考查参数方程的运用，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x+a|+|x2| （）当 a3 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）若 f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所 求 （2）原命题等价于2xa2x 在1，2上

41、恒成立，由此求得求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a3 时，f（x）3 即|x3|+|x2|3， 即，或，或； 解可得 x1，解可得 x，解可得 x4 把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1 或 x4 （2）原命题即 f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x 在1，2上恒成立， 等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x 在1，2上恒成立 故当 1x2 时，2x 的最大值为213，2x 的最小值为 0， 故 a 的取值范围为3，0 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现 了分类讨论的数学思想，属于中档题